Υπολογίστε την απόσταση της Σελήνης με παράλλαξη

Αφορμή για αυτό τον υπολογισμό είναι αυτή η υπέροχη φωτογραφία του Αντώνη: http://www.astrovox.gr/forum/album_pic.php?pic_id=3783

 

Η φωτογραφία αυτή είναι σύνθεση δύο φωτογραφίων που έχουν ληφθεί ακριβώς την ίδια στιγμή από την Ελλάδα και την Αγγλία. Έχουν ευθυγραμμιστεί έτσι, ώστε η εικόνα της Σελήνης να ταυτίζεται στις δύο φωτογραφίες, ενώ το άλλο αστέρι που φαίνεται, ο Βασιλίσκος του αστερισμού του Λέοντα, φαίνεται ότι έχει μετακινηθεί λιγάκι.

 

Αυτό που θα προσπαθήσουμε να κάνουμε είναι να εφαρμόσουμε τη μέθοδο της παράλλαξης και να υπολογίσουμε πόσο μακριά είναι ο φυσικός μας δορυφόρος.

 

Πάμε λοιπόν:

 

Η φαινόμενη διάμετρος της Σελήνης αντιστοιχεί σε 0.5 μοίρες (1800" του τόξου), έχοντας αυτή την απόσταση για κλίμακα, μπορούμε να βγάλουμε το συμπερασμα ότι η γωνιώδης απόσταση των δύο ειδώλων του Βασιλίσκου, που το ένα έχει ληφθεί στην Αγγλία και στην το άλλο στην Ελλάδα, απεχουν περίπου 1100". Στην πράξη βέβαια ο Βασιλίσκος είναι απλανής στο ουράνιο στερέωμα, και η Σελήνη υφίσταται παράλλαξη, αλλά αυτό δεν αλλάζει σε κάτι τους υπολογισμούς μας. Μέχρι ώρας λοιπόν έχουμε βγάλει ότι η Σελήνη σε Ελλάδα και Αγγλία προβάλλεται στον ουράνιο θόλο με απόσταση 1100 δευτερολέπτων του τόξου. Η γωνία αυτή αντιστοιχεί σε παράλλαξη 550 δευτερολέπτων του τόξου.

 

Το άλλο στοιχείο που χρειαζόμαστε είναι η απόσταση, σε ευθεία, των δύο παρατηρητών. Μια ματιά σε ένα χάρτη και στην κλίμακά του μας δίνει το χοντρικό αποτέλεσμα των 2500 χιλιομέτρων, αν κάνουμε ακριβέστερους υπολογισμούς με βάση το γεωγραφικό πλάτος και μήκος των τόπων παρατήρηση καταλήγουμε ότι η χορδή που συνδέει τους δύο παρατηρητές έχει μήκος περίπου 2350 χιλιόμετρα.

 

Τώρα τα πράγματα είναι απλά:

Η εφαπτομένη της γωνίας της παράλλαξης είναι ίση με το πηλίκο του μισού της απόστασης των παρατηρητών (έστω δ) διά της απόστασης του ουράνιου σώματος που μας ενδιαφέρει

 

εφ παρ=δ/Δ

 

Για την περίπτωση μας: εφ παρ=0.00266

δ=1175 χιλιόμετρα

Λύνοντας για το Δ η απόσταση της Σελήνης είναι τελικά με αυτό τον υπολογισμό 440000 χιλιόμετρα.

 

Έχουμε πέσει περίπου 10% από όσο γνωρίζουμε ότι είναι η απόσταση Γης Σελήνης, το σφάλμα αυτό μπορεί να οφείλεται είτε σε μικρή χρονική απόκλιση των δύο φωτογραφίων, για κάθε δευτερόλεπτο που απέχουν οι δύο φωτογραφίες χάνουμε περί τα 1000 χιλιόμετρα στη μέτρηση μας.

πολυ ενδιαφερον... αν και ειχα ακουσει για το συγκεκριμενο τροπο υπολογισμου δν ειχα καταλαβει πως λειτουργουσε,σας ευχαριστουμε πολυ!!!

Αρκετά ενδιαφέρον!!!!! Δεν το ήξερα!!!! Ένα μπράβο στον Heal!

Κωστα,σε ευχαριστουμε,το ζωντανο παραδειγμα ειναι το καλλυτερο μαθημα.

Λύνοντας για το Δ η απόσταση της Σελήνης είναι τελικά με αυτό τον υπολογισμό 440000 χιλιόμετρα.

Κωστα,

 

Το τελικο σφαλμα στους υπογισμους μας απο χθες ηταν 2% ... γιατι; Λοιπον, εχω μια μικρη εργασια αυτο το Σ/Κ ωστε να προγραμματισω την πληρης αναλυση:

 

Anthony Ayiomamitis wrote:

 

> [concerning http://www.perseus.gr/Astro-Lunar-Parallax.htm]

>

> Thanks for the feedback Ernie.

 

 

Thanks to you and Pete for a fascinating collaborative exercise!

 

I hope you'll forgive me now for blathering a bit, but it'll lead to a much better estimate of the Moon's distance derived from your images.

 

We both got estimates of about 440,000 km, somewhat higher than the true distance of about 396,000 km, and I mentioned yesterday that most of the error is because the base of the triangle we're using, the line between Selsey and Athens, is skewed. The base we *should* be using is a line that directly faces the Moon.

 

The situation looks something like this:

 

. * Selsey

. \

. \ --------> to the Moon

. \

. * Athens

 

The base we should be using,

 

. * Selsey ....... |

. |

. | --------> to the Moon

. |

. * Athens ... |

 

is the projection of the Selsey-Athens line onto the image plane. Its length is just the dot product of two vectors: the Selsey-Athens line and the Earth-Moon line. To find the vectors, we need a common coordinate system for Athens, Selsey, and the Moon.

 

I used geocentric equatorial coordinates. The r.a. and dec. of the Moon are easy enough to find. The coordinates for the cities are just the r.a. and dec. of the zenith at the time of the observation, which are the local sidereal time and geographic latitude, respectively.

 

Convert these to cartesian coordinates in the usual way:

 

x = cos( dec ) * cos( ra )

y = cos( dec ) * sin( ra )

z = sin( dec )

 

Subtract the Athens (x, y, z) from the Selsey (x, y, z) and normalize (divide by the vector length) to get a unit vector pointing from one to the other. The dot product of this direction vector with the one for the Moon is the cosine of the angle between them. The length of the projection we want is the cosine of the difference between this angle and 90 degrees.

 

When I did this, I got a length factor of 0.928. Multiplying this by the chord length distance between Athens and Selsey (2356 km) gives a triangle base of 2186 km. Using your (probably more careful than mine) estimate of the parallax angle, 1113.6", yields a distance estimate of 404,897 km, for an error of only a little more than 2%. That's pretty cool!

 

> Anyway, a nice exercise. Just ask Oriel.

 

Too bad Gerald's not equipped to appreciate it. It very much has the flavor of the Ancient Greek efforts to measure the scale of the solar system.

Θα ήθελα και εγώ να τον συγχαρώ από μέρος μου!!!

Πράγματι Αντώνη, στον πρόχειρο υπολογισμό μας παραλείψαμε αυτή την παράμετρο που τελικά μας κόστισε αρκετά.

Η παραπάνω μέθοδος που υποδεικνύει ο Ernie, είναι η σωστή.

συγχαρητήρια Αντώνη και για αυτην την επιτυχια,

ευχαριστούμε Κώστα για την παρουσίαση

 

φίλοι, δυο java animation που δειχνουν πως λειτουργει το φαινομενο της παράλλαξης (πρόκειται για ένα από τα εργαλέια που έχουν οι αστρονόμοι να μετράν αποστάσεις στο σύμπαν- και μάλιστα αυτό με την μεγαλύτερη ακρίβεια, (αλλά με το μικρότερο βελληνεκές))

 

Μπράβο σας! δεν πίστευα ότι μπορεί να "δουλέψει" και σε "ερασιτεχνικά" χέρια!!!

 

http://instruct1.cit.cornell.edu/courses/astro101/java/parallax/parallax.html

 

http://www.astro.washington.edu/labs/parallax/solar.html

Φιλε Νικο,

 

Γνωριζω πολυ καλα ποσο σου αρεσουν τετοιες εργασιες.

 

Θα παρω το θεμα στην επομενη διασταση ... λιγη υπομονη.