Μάριους Σόφους Λι.

[Δροσος Γεωργιος]

Μάριους Σόφους Λι: Ο «κατάσκοπος» των μαθηματικών.

Συνδυάζοντας τη γλώσσα των ομάδων με αυτή της γεωμετρίας και της γραμμικής άλγεβρας, ο Μάριους Σόφους Λι (Marius Sophus Lie) δημιούργησε ένα από τα πιο ισχυρά εργαλεία των μαθηματικών.Στα μαθηματικά, τα πανταχού παρόντα αντικείμενα που ονομάζονται ομάδες εμφανίζουν σχεδόν μαγικές δυνάμεις. Αν και ορίζονται από λίγους μόνο κανόνες, οι ομάδες βοηθούν στο να φωτιστεί ένα εκπληκτικό φάσμα μυστηρίων. Για παράδειγμα, μπορούν να σας πουν ποιες πολυωνυμικές εξισώσεις είναι επιλύσιμες, ή πώς είναι διατεταγμένα τα άτομα σε έναν κρύσταλλο.Ανάμεσα στα διάφορα είδη των ομάδων ξεχωρίζουν οι ομάδες Λι. Ορίστηκαν στις αρχές της δεκαετίας του 1870 και παίζουν σημαντικό ρόλο στην θεμελιώδη θεωρητική φυσική. Το κλειδί της επιτυχίας τους είναι ο τρόπος με τον οποίο συνδυάζουν την θεωρία ομάδων, τη γεωμετρία και τη γραμμική άλγεβρα.Γενικά, μια ομάδα είναι ένα σύνολο στοιχείων εφοδιασμένο με μια πράξη (όπως πρόσθεση ή πολλαπλασιασμό), η οποία συνδυάζει δύο στοιχεία παράγοντας ένα τρίτο που ανήκει στο ίδιο σύνολο. Συχνά, θεωρούμε ως ομάδα τις συμμετρίες ενός σχήματος – τους μετασχηματισμούς που αφήνουν το σχήμα αμετάβλητο.

Αυτές οι συμμετρίες είναι διακριτές: Σχηματίζουν ένα σύνολο διακριτών μετασχηματισμών που πρέπει να εφαρμοστούν σε ξεχωριστά, ασύνδετα βήματα. Αλλά μπορείτε επίσης να μελετήσετε συνεχείς συμμετρίες. Δεν έχει σημασία, για παράδειγμα, αν περιστρέψετε έναν δίσκο 1,5ο ή 15ο ή 150ο – μπορείτε να το περιστρέψετε κατά οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό και θα φαίνεται το ίδιο. Σε αντίθεση με το τρίγωνο, έχει άπειρες συμμετρίες.Αυτές οι περιστροφές σχηματίζουν μια ομάδα που ονομάζεται SO(2). Κάθε περιστροφή του δίσκου μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα σημείο στο επίπεδο συντεταγμένων. Αν απεικονίσετε όλες τις πιθανές περιστροφές του δίσκου με αυτόν τον τρόπο, θα καταλήξετε σε άπειρα πολλά σημεία που όλα μαζί σχηματίζουν έναν κύκλο. Αυτή η επιπλέον ιδιότητα είναι που καθιστά την SO(2) μια ομάδα Λι – μπορεί να απεικονιστεί ως ένα λείο, συνεχές σχήμα που ονομάζεται πολλαπλότητα.Άλλες ομάδες Λι μπορεί να μοιάζουν με την επιφάνεια ενός ντόνατ, ή μια σφαίρα υψηλών διαστάσεων, ή κάτι ακόμα πιο παράξενο: Η ομάδα όλων των περιστροφών μιας μπάλας στον χώρο, γνωστή στους μαθηματικούς ως SO(3), είναι ένα συνονθύλευμα σφαιρών και κύκλων. Όποιες και αν είναι οι λεπτομέρειες, η ομαλή γεωμετρία των ομάδων Λι είναι το μυστικό συστατικό που τις αναβαθμίζει μεταξύ των ομάδων.Ο Μάριους Σόφους Λί χρειάστηκε χρόνο για να βρει τον δρόμο του προς τα μαθηματικά. Μεγαλώνοντας στη Νορβηγία τη δεκαετία του 1850, ήλπιζε να ακολουθήσει στρατιωτική καριέρα μόλις τελείωνε το γυμνάσιο. Αντ’ αυτού, αναγκασμένος να εγκαταλείψει το όνειρό του λόγω κακής όρασης, κατέληξε στο πανεπιστήμιο, αβέβαιος για το τι να σπουδάσει. Παρακολούθησε μαθήματα αστρονομίας και μηχανικής και φλέρταρε για λίγο με τη φυσική, τη βοτανική και τη ζωολογία, προτού τελικά τον τραβήξουν τα μαθηματικά – και συγκεκριμένα η γεωμετρία.Στα τέλη της δεκαετίας του 1860, συνέχισε τις σπουδές του, πρώτα στη Γερμανία και στη συνέχεια στη Γαλλία. Βρισκόταν στο Παρίσι το 1870 όταν ξέσπασε ο Γαλλοπρωσικός πόλεμος. Σύντομα προσπάθησε να εγκαταλείψει τη χώρα, αλλά οι σημειώσεις του για τη γεωμετρία, γραμμένες στα γερμανικά, θεωρήθηκαν από άγνοια ως κωδικοποιημένα μηνύματα και συνελήφθη, κατηγορούμενος ως κατάσκοπος. Αφέθηκε ελεύθερος από τη φυλακή ένα μήνα αργότερα και επέστρεψε γρήγορα στα μαθηματικά.Ο Σόφους Λι ήταν συνηθισμένος στις πεζοπορίες στην ύπαιθρο της Νορβηγίας. Κάποτε είχε διανύσει 60 χιλιόμετρα από την πρωτεύουσα μέχρι το πατρικό του – μόνο και μόνο για να διαπιστώσει ότι οι γονείς του δεν βρίσκονταν εκεί. Έκανε απλώς μεταβολή και περπάτησε άλλα 60 χιλιόμετρα πίσω στο σπίτι του. Έτσι, μια πορεία με αφετηρία το Παρίσι και με προορισμό το Μιλάνο διαμέσου των ελβετικών Άλπεων ήταν κάτι που ο Λι περίμενε με ανυπομονησία. Ήταν τόσο σκληραγωγημένος πεζοπόρος ώστε, όταν έβρεχε, έβγαζε απλώς τα ρούχα του, τα έχωνε στο γυλιό του για να μην βραχούν, και συνέχιζε την πορεία του, τσίτσιδος κυριολεκτικά!
Δεν μας εκπλήσσει λοιπόν που μια στρατιωτική μονάδα θεώρησε κάπως ύποπτο τον γυμνό πεζοπόρο, το οποίο εντόπισε να κινείται 50 χιλιόμετρα έξω από το Παρίσι, και τον συνέλαβε. Όταν η αστυνομία ανακάλυψε ότι ο περίεργος αυτός τύπος είχε ξενική προφορά και η τσάντα του ήταν γεμάτη επιστολές γραμμένες στα γερμανικά και με ολόκληρες σελίδες κωδικογραφημένα μηνύματα που έβριθαν αινιγματικών συμβόλων, δεν χρειάστηκε πολύ για να συμπεράνουν ότι μάλλον είχαν να κάνουν με Γερμανό κατάσκοπο.
Ο Λι προσπάθησε να τους εξηγήσει ότι δεν ήταν παρά απλοί μαθηματικοί τύποι, η αστυνομία όμως διατηρούσε τις υποψίες της. Προκάλεσαν τον Λι να εξηγήσει τις γραμμένες στα χαρτιά αυτά θεωρίες του. «Δεν θα καταφέρετε ποτέ, στον αιώνα τον άπαντα, να τα κατανοήσετε!» διαμαρτυρήθηκε. Οι καιροί όμως ήταν σκοτεινοί, και οι κατάσκοποι τότε εκτελούνταν χωρίς πολλά πολλά. ΄Ετσι, αποφάσισε να κάνει μια προσπάθεια. «Λοιπόν, κύριοι, θέλω να φανταστείτε τρεις άξονες κάθετους τον έναν προς τον άλλον, τον άξονα x, τον άξονα y και τον άξονα z…», και, κάπως έτσι, επιδόθηκε σε μια περιγραφή της γεωμετρίας που ο ίδιος είχε αναπτύξει μαζί με τον Κλάιν.
Πεπεισμένοι πλέον ότι ο Λι ήταν εξίσου παράφρων όσο και κατάσκοπος, οι αστυνομικοί τον πέταξαν σε ένα μπουντρούμι στο Φιντενεμπλό. Επί τέσσερις εβδομάδες έμεινε δεσμώτης μέσα στο σκοτεινό και καταθλιπτικό κελί του, με μοναδική του συντροφιά μια γαλλική μετάφραση ενός μυθιστορήματος του Γουόλτερ Σκοτ και τα μαθηματικά του. Όπως και με τον Γκαλουά παλαιότερα, έτσι και με την περίπτωση του Λι η απομόνωση αποδείχθηκε εξαιρετικά παραγωγική για την ανάπτυξη του αφηρημένου γεωμετρικού του κόσμου: «Πιστεύω ότι η φυλακή είναι ένα σχετικά καλό μέρος για έναν μαθηματικό».
Κάποια στιγμή, μαθεύτηκαν επιτέλους τα νέα του Λι και παρέξω. Πηχιαίοι τίτλοι στο νορβηγικό τύπο ανακοίνωναν: «Νορβηγός επιστήμων φυλακισμένος ως Γερμανός κατάσκοπος». Τελικά, επενέβη η μαθηματική κοινότητα της Γαλλίας για να τον σώσει. Μάλιστα, κάποια μέλη της τον επισκέφτηκαν στη φυλακή. Έπεισαν τους δεσμοφύλακές του ότι τα ιερογλυφικά αυτά ήταν πράγματι αφηρημένα μαθηματικά και τίποτα ύποπτο. «Πρώτη φορά έβλεπα τον ήλιο τόσο λαμπερό, τα δέντρα τόσο πράσινα», έγραψε ο Λι για την αποφυλάκισή του.
Στη συνέχεια επιστρέφει στη Νορβηγία και συνεχίζει την έρευνά του. Το 1871 αναπτύσσει τις πρώτες ιδέες για τις ομάδες Λι, που αποτελούν τις βάσεις της σύγχρονης μαθηματικής φυσικής. (πηγή: Marcus du Satoy, «Θεωρία Ομάδων», 2009, εκδόσεις Τραυλός)Μετά την αποφυλάκισή του άρχισε να εργάζεται με ομάδες. Σαράντα χρόνια νωρίτερα, ο μαθηματικός Εβαρίστ Γκαλουά είχε χρησιμοποιήσει μια κατηγορία ομάδων για να κατανοήσει τις λύσεις πολυωνυμικών εξισώσεων. Ο Λι ήθελε τώρα να κάνει το ίδιο πράγμα για τις λεγόμενες διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τις αλλαγές διαφόρων φυσικών συστημάτων με την πάροδο του χρόνου.Όταν οι μαθηματικοί προσπαθούν να κατανοήσουν μια ομάδα Λι, μπορούν να χρησιμοποιήσουν όλα τα εργαλεία της γεωμετρίας και του λογισμού – κάτι που δεν ισχύει απαραίτητα για άλλα είδη ομάδων. Αυτό συμβαίνει επειδή κάθε πολλαπλότητα που αντιστοιχεί στην ομάδα έχει μια ωραία ιδιότητα: Αν εστιάσετε σε μια αρκετά μικρή περιοχή, οι καμπύλες της εξαφανίζονται, όπως ακριβώς η σφαιρική Γη φαίνεται επίπεδη σε όσους από εμάς περπατάμε στην επιφάνειά της.Για να δούμε γιατί αυτό είναι χρήσιμο στη μελέτη ομάδων, ας επιστρέψουμε στην SO(2). Θυμηθείτε ότι η SO(2) συνίσταται από όλες τις περιστροφές ενός δίσκου και ότι αυτές οι περιστροφές μπορούν να αναπαρασταθούν ως σημεία σε έναν κύκλο. Προς το παρόν, ας επικεντρωθούμε σε ένα κομμάτι του κύκλου που αντιστοιχεί σε πολύ μικρές περιστροφές – ας πούμε,περιστροφές μικρότερες από μία μοίρα.Αυτό το χαρακτηριστικό είναι εξαιρετικά χρήσιμο. Τα μαθηματικά είναι πολύ πιο εύκολα σε ευθεία γραμμή παρά σε καμπύλη. Και η άλγεβρα Λι περιέχει δικά της στοιχεία (συχνά απεικονιζόμενα ως βέλη που ονομάζονται διανύσματα) που οι μαθηματικοί μπορούν να χρησιμοποιήσουν για να απλοποιήσουν τους υπολογισμούς τους σχετικά με την αρχικήομάδα.
Οι μαθηματικοί υποστηρίζουν ότι, ένα από τα ευκολότερα είδη μαθηματικών στον κόσμο είναι η γραμμική άλγεβρα, και η θεωρία των ομάδων Λι έχει σχεδιαστεί με τέτοιο τρόπο ώστε να κάνει σταθερή χρήση της γραμμικής άλγεβρας. Ας υποθέσουμε ότι θέλετε να συγκρίνετε δύο διαφορετικές ομάδες. Οι αντίστοιχες άλγεβρες Λι απλοποιούν τις βασικές τους ιδιότητες, καθιστώντας αυτή τη δουλειά πολύ πιο απλή. Η αλληλεπίδραση μεταξύ αυτών των δύο δομών, όσον αφορά τις ομάδες Λι και τις άλγεβρές τους, είναι κάτι που δημιουργεί μια τεράστια ποικιλία συνεπειών.Ο φυσικός κόσμος είναι γεμάτος από είδη συνεχών συμμετριών που αποτυπώνουν οι ομάδες Λι, καθιστώντας τες απαραίτητες στη φυσική. Πάρτε για παράδειγμα την βαρύτητα. Η βαρυτική έλξη μεταξύ Ήλιου και Γης εξαρτάται μόνο από την απόσταση μεταξύ τους. Έτσι, στη γλώσσα των ομάδων Λι η βαρύτητα είναι «συμμετρική κάτω από την SO(3)». Παραμένει αμετάβλητη όταν το σύστημα στο οποίο δρα περιστρέφεται στον τρισδιάστατο χώρο. Στην πραγματικότητα, όλες οι θεμελιώδεις δυνάμεις στη φυσική – η βαρύτητα, ο ηλεκτρομαγνητισμός και οι δυνάμεις που συγκρατούν τους ατομικούς πυρήνες – ορίζονται από τις συμμετρίες ομάδων Λι. Χρησιμοποιώντας αυτές τις συμμετρίες, οι φυσικοί μπορούν να εξηγήσουν βασικά αινίγματα σχετικά με την ύλη, όπως γιατί τα πρωτόνια ζευγαρώνουν με νετρόνια και γιατί η ενέργεια ενός ατόμου εμφανίζεται σε διακριτές ποσότητες.Το 1918, η Emmy Noether άφησε άναυδους μαθηματικούς και φυσικούς αποδεικνύοντας ότι οι ομάδες Λι αποτελούν επίσης την βάση μερικών από τους πιο βασικούς νόμους διατήρησης στη φυσική. Έδειξε ότι για οποιαδήποτε συμμετρία σε ένα φυσικό σύστημα που μπορεί να περιγραφεί από μια ομάδα Λι, υπάρχει ένας αντίστοιχος νόμος διατήρησης. Για παράδειγμα, το γεγονός ότι οι νόμοι της φυσικής είναι οι ίδιοι σήμερα όπως ήταν χθες και θα είναι αύριο – μια συμμετρία γνωστή ως συμμετρία χρονικής μετατόπισης, η ομάδα Λι που αποτελείται από τους πραγματικούς αριθμούς – υποδηλώνει ότι η ενέργεια του σύμπαντος πρέπει να διατηρείται και αντιστρόφως.

Η συμμετρία βρίσκεται παντού, και γι αυτό οι ομάδες Λι παραμένουν ένα ζωτικό εργαλείο τόσο για τους μαθηματικούς όσο και για τους φυσικούς.

(*) Κάθε στοιχείο της ομάδας SO(2) που εκφράζει τις στροφές στο επίπεδο, μπορεί να έχει την μορφή ενός πίνακα 2×2: . Εύκολα αποδεικνύεται ότι ο πολλαπλασιασμός του πίνακα R(θ) επί του διανύσματος ως προς την αρχή των αξόνων με συντεταγμένες (x,y): , στρέφει το διάνυσμα κατά γωνία θ. Η παράγωγος του πίνακα των στροφών για θ=0 (η παράγωγος του μοναδιαίου στοιχείου I):  μας δίνει τον γεννήτορα των στροφών: . Σε μορφή εκθετικού: .

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες: Leila Sloman, What Are Lie Groups? –https://www.quantamagazine.org/what-are-lie-groups-20251203/

Θεωρείστε τις συμμετρίες του ισόπλευρου τριγώνου. Σχηματίζουν μια ομάδα έξι στοιχείων, όπως φαίνεται εδώ:(Εφόσον μια πλήρης περιστροφή φέρνει κάθε σημείο του τριγώνου πίσω στο σημείο που ξεκίνησε, οι μαθηματικοί παύουν να μετρούν τις περιστροφές πέραν των 360ο)

Ο Marius Sophus Lie το 1896

Η Γεωμετρία των Ομάδων: Οι ομάδες Λι είναι ομάδες που σχηματίζουν επίσης γεωμετρικά σχήματα, τις επονομαζόμενες πολλαπλότητες. Για παράδειγμα, σκεφτείτε την ομάδα όλων των περιστροφών που αφήνουν έναν δίσκο αμετάβλητο, την οποία οι μαθηματικοί ονομάζουν SO(2)

Στο παραπάνω σχήμα η καμπύλη της SO(2) είναι μόλις αντιληπτή. Όταν ένας δίσκος περιστρέφεται κατά 1ο ή λιγότερο, οποιοδήποτε δεδομένο σημείο στο χείλος του ακολουθεί μια σχεδόν γραμμική τροχιά. Αυτό σημαίνει ότι οι μαθηματικοί μπορούν να προσεγγίσουν αυτές τις περιστροφές με μια ευθεία γραμμή που αγγίζει τον κύκλο σε ένα μόνο σημείο – μια εφαπτομένη. Αυτή η εφαπτομένη ονομάζεται άλγεβρα Λι (*).