Paul Dirac.

[Δροσος Γεωργιος]

Η εξίσωση του Dirac και η εξέλιξή της.

Η εξίσωση του Dirac, ειδικά όταν εφαρμόστηκε στο άτομο του υδρογόνου, πέτυχε:
 ● να αναπαραγάγει όλες τις επιτυχίες του μη σχετικιστικού ατομικού μοντέλου του Schrödinger,
 ● να ενσωματώσει την αναλλοιότητα Lorentz της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας, προβλέποντας έτσι τις μικρές σχετικιστικές διορθώσεις στα ενεργειακά επίπεδα, οι οποίες είχαν παρατηρηθεί πειραματικά,
 ● να προβλέψει φυσιολογικά το σπιν, μια εγγενή μαγνητική ροπή του ηλεκτρονίου, που μεταξύ άλλων, διπλασιάζει τον αριθμό των ηλεκτρονιακών καταστάσεων για έναν δεδομένο κύριο κβαντικό αριθμό n, από n2 καταστάσεις σε 2n2 καταστάσεις,
 ● να προβλέψει τα αντισωματίδια (δηλαδή την αντιύλη) από τις λύσεις αρνητικής ενέργειας και τον σωστό τρόπο να «γεμίσουν οι οπές» στη θάλασσα Dirac αυτών των λύσεων.

Ο Dirac πήρε το βραβείο Νόμπελ για αυτήν τη θεμελιώδη ανακάλυψη.Η πρώτη επιτυχία δεν ήταν εύκολη ούτε εγγυημένη. Ο Schrödinger ήταν στην πραγματικότητα ο πρώτος που δοκίμασε την εξίσωση που γνωρίζουμε σήμερα ως εξίσωση Klein-Gordon, πριν από τους Klein και Gordon. Για να προάγει το μοντέλο του σε σχετικιστικό, ξεκίνησε από τη γνωστή σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής: .
Αντικαθιστώντας την ενέργεια και την ορμή με τους αντίστοιχους κβαντικούς τελεστές ( και ), κατέληξε σε μια εξίσωση με δεύτερες παραγώγους: .
Ωστόσο, η εξίσωση αυτή – η οποία σήμερα γνωρίζουμε ότι περιγράφει σχετικιστικά σωματίδια με σπιν 0 – παρουσίαζε δύο σοβαρά προβλήματα. Αφενός, αποτύγχανε να περιγράψει σωστά την λεπτή υφή στο φάσμα του υδρογόνου. Αφετέρου, επειδή περιείχε δεύτερες παραγώγους ως προς τον χρόνο, η διατηρούμενη πυκνότητα πιθανότητας δεν είναι θετικά ορισμένη και συνεπώς δεν μπορεί να ερμηνευθεί ως πιθανότητα. Αγνοώντας το σπιν του ηλεκτρονίου, έδινε λύσεις που δεν συμφωνούσαν πλήρως με το πείραμα. Ωστόσο, ο Dirac αναζητούσε μια εξίσωση συμβατή με την ειδική σχετικότητα, η οποία – όπως και η εξίσωση Schrödinger – να είναι πρώτης τάξης ως προς τον χρόνο, αλλά ταυτόχρονα και πρώτης τάξης ως προς τις χωρικές παραγώγους. Έτσι, πρότεινε μια σχέση της μορφής: , η οποία, σε μορφή διαφορικής εξίσωσης με τελεστές, γράφεται: . Για να είναι αυτή η γραμμική μορφή μαθηματικά συμβατή με τη σχέση , ο Dirac συνειδητοποίησε ότι οι συντελεστές  και  δεν μπορούσαν να είναι απλοί αριθμοί, αλλά έπρεπε να ικανοποιούν συγκεκριμένους κανόνες αντιαντιμετάθεσης: , , . Έπρεπε δηλαδή να είναι πίνακες.Αν δούμε την μονοδιάστατη εξίσωση Dirac (έστω μόνο κατά τον άξονα x), η εξίσωση απλοποιείται αισθητά σε: . Σε αυτή την απλή μονοδιάστατη περίπτωση, τα  και  μπορούν να αναπαρασταθούν μέσω των πινάκων Pauli  και η κυματοσυνάρτηση  έχει μόνο 2 συνιστώσες. Όμως, στις τρεις χωρικές διαστάσεις, απαιτούνται τέσσερις πίνακες (τρεις για το διάνυσμα  και ένας για το ). Από την δομή της άλγεβρας Clifford προκύπτει ότι η ελάχιστη μη τετριμμένη αναπαράσταση απαιτεί πίνακες διαστάσεων 4×4. Έτσι, η κυματοσυνάρτηση  μετατρέπεται αναγκαστικά σε ένα «σπίνορα» τεσσάρων συνιστωσών. Πίσω από αυτή τη μαθηματική δομή (που ορίζει μια Άλγεβρα Clifford) κρυβόταν νέα φυσική. Η δομή αυτή ενσωμάτωνε φυσικά τόσο τις δύο καταστάσεις σπιν όσο και την ύπαρξη λύσεων που αντιστοιχούν σε αντισωματίδια.Οι λύσεις αρνητικής ενέργειας αποτέλεσαν αρχικά ένα βαθύ θεωρητικό πρόβλημα. Ο Dirac πρότεινε ότι, λόγω της απαγορευτικής αρχής του Pauli, όλες οι καταστάσεις αρνητικής ενέργειας είναι ήδη κατειλημμένες στο θεμελιώδες κενό, σχηματίζοντας την λεγόμενη “θάλασσα του Dirac”. Έτσι, μπορούμε να διεγείρουμε το κενό είτε προσθέτοντας ηλεκτρόνια θετικής ενέργειας είτε αφαιρώντας ένα ηλεκτρόνιο από μια κατειλημμένη κατάσταση αρνητικής ενέργειας. Η απουσία αυτή εμφανίζεται ως “οπή” που συμπεριφέρεται σαν σωματίδιο με θετικό φορτίο: το ποζιτρόνιο. Η εικόνα της θάλασσας του Dirac υπήρξε ιστορικά καθοριστική για την πρόβλεψη της αντιύλης, αν και αργότερα αντικαταστάθηκε από την πληρέστερη ερμηνεία της Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου, όπου τα αντισωματίδια προκύπτουν φυσικά μέσω της κβάντωσης των πεδίων.Ήδη από τις αρχές της δεκαετίας του 1930, η εξίσωση του Dirac ενσωματώθηκε στην Κβαντική Θεωρία Πεδίου, όπου το  ερμηνεύτηκε όχι ως απλή χωρική κυματοσυνάρτηση, αλλά ως φερμιονικό πεδίο του οποίου οι τελεστές υπακούν σε σχέσεις αντιαντιμετάθεσης. Σε αντίθεση με τα μποζονικά πεδία (όπως το ηλεκτρομαγνητικό), η αντιαντιμεταθετικότητα των φερμιονίων – δηλαδή η αλλαγή προσήμου κατά την εναλλαγή τους – αποτελεί την μαθηματική έκφραση της απαγορευτικής αρχής του Pauli. Αυτό το θεμελιώδες χαρακτηριστικό αποτρέπει τη συνύπαρξη δύο ηλεκτρονίων στην ίδια ακριβώς κατάσταση, εξασφαλίζοντας έτσι την σταθερότητα της ύλης. Πλέον, μέσω τέτοιων πεδίων, τα οποία έχουν την ιδιότητα να δημιουργούν και να καταστρέφουν σωματίδια, περιγράφονται όλες οι γνωστές μη βαρυτικές θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις στη Φύση.Έτσι, το άτομο του υδρογόνου κατά Dirac ενσωματώθηκε για πρώτη φορά στη θεωρία της Κβαντικής Ηλεκτροδυναμικής (QED). Η θεωρία αυτή συνδύασε το πεδίο Dirac με το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο. Τη δεκαετία του 1940, οι φυσικοί ανέπτυξαν τεχνικές για να υπολογίζουν ολοένα και πιο λεπτές κβαντικές διορθώσεις («διορθώσεις βρόχου»), και σταδιακά, μέσω της ανάπτυξης θεωριών βαθμίδας Yang–Mills, της ηλεκτρασθενούς ενοποίησης και της κβαντικής χρωμοδυναμικής, η θεωρία εξελίχθηκε τελικά στο σύγχρονο Καθιερωμένο Πρότυπο των στοιχειωδών σωματιδίων.Ωστόσο, όταν προσπαθούμε να συνδυάσουμε το Καθιερωμένο Πρότυπο με τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας του Αϊνστάιν, προκύπτουν σοβαρές θεωρητικές δυσκολίες, κυρίως επειδή η κβαντική βαρύτητα δεν είναι επανακανονικοποιήσιμη με τις συνήθεις διαταρακτικές μεθόδους. Η Θεωρία των Χορδών έχει προταθεί ως ένα κομψό θεωρητικό πλαίσιο που δυνητικά επιλύει αυτές τις ασυνέπειες, ωστόσο παραμένει μέχρι σήμερα πειραματικά αναπόδεικτη.Αυτά τα ανοιχτά ερωτήματα εμφανίζονται σε πολύ πιο περίπλοκο επίπεδο από αυτό που μελέτησε ο Dirac. Ενώ η συνεισφορά του ήταν θεμελιώδης, ο ίδιος διαφώνησε έντονα με εξελίξεις όπως η τεχνική της επανακανονικοποίησης (renormalization), την οποία απέρριψε ως ένα «μαθηματικό τρικ» συγκάλυψης των απείρων. Πρακτικά, η επανακανονικοποίηση λειτουργεί εξαιρετικά και αποτελεί βασικό εργαλείο της σύγχρονης Κβαντικής Θεωρίας Πεδίου.Σήμερα κατανοούμε ότι η επανακανονικοποίηση είναι ένα απαραίτητο μαθηματικό εργαλείο των κβαντικών θεωριών πεδίου. Ωστόσο, μέσω των Ενεργών Θεωριών Πεδίου (EFT),αναγνωρίζουμε ότι το Καθιερωμένο Πρότυπο πιθανότατα αποτελεί προσέγγιση χαμηλών ενεργειών μιας βαθύτερης θεωρίας, επιβεβαιώνοντας κατά κάποιο τρόπο την διαίσθηση του Dirac ότι η τελική θεωρία δεν θα έπρεπε να παράγει καθόλου άπειρα.

πηγή: Why did Dirac’s 1928 relativistic hydrogen model stand out, and what limitations does it still face today?

διαβάστε επίσης: Aπό την εξίσωση του αρμονικού κύματος στην εξίσωση Dirac

https://physicsgg.me/2013/02/21/aπό-την-εξίσωση-του-αρμονικού-κύματος-σ/

Ο Paul Dirac

H εξίσωση του Dirac γραμμένη στην πιο κομψή και συμπαγή εκδοχή της