Theodor Kaluza και Oskar Klein.

[Δροσος Γεωργιος]

Μέσα από την 5η διάσταση.

Πώς η θεωρία Kaluza-Klein ενοποίησε Βαρύτητα με Ηλεκτρομαγνητισμό και άνοιξε τον δρόμο στην Θεωρία των Χορδών.

Mια από τις εντυπωσιακότερες αναζητήσεις του εικοστού αιώνα συμπυκνώνεται στην απλή μαθηματική σχέση: , όπου  το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο,  η ταχύτητα του φωτός,  η σταθερά Planck/2π,  σταθερά της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα,  η ηλεκτροστατική σταθερά του νόμου Coulomb και  η ακτίνα μιας αόρατης πέμπτης διάστασης. Γίνεται απλούστερη αν γραφεί στο φυσικό σύστημα(*) μονάδων ως .(1)
Η σχέση αυτή συνδέει το στοιχειώδες ηλεκτρικό φορτίο  με την σταθερά  του νόμου της βαρύτητας του Νεύτωνα και την ακτίνα  μιας αόρατης πέμπτης διάστασης. Προκύπτει από την θεωρία Kaluza-Klein η οποία έδειξε πώς η βαρύτητα και ο ηλεκτρομαγνητισμός μπορούν να εμφανιστούν ως διαφορετικές εκδηλώσεις μιας κοινής πενταδιάστατης γεωμετρικής θεωρίας, τις μόνες δυνάμεις που ήταν γνωστές όταν διατυπώθηκε η θεωρία.Ήδη από τον 19ο αιώνα, o ηλεκτρομαγνητισμός, εκφρασμένος από τις εξισώσεις του Maxwell, αποτέλεσε την πρώτη ενοποίηση δυνάμεων, δείχνοντας ότι ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός δεν είναι ανεξάρτητα φαινόμενα, αλλά οι δύο όψεις του ιδίου νομίσματος. Ο ηλεκτρομαγνητισμός, πέρα από το ότι από μόνος του είναι μια ενοποιημένη θεωρία, διαθέτει και μια ακόμη εντυπωσιακή ιδιότητα: είναι εγγενώς συμβατός με την ειδική σχετικότητα του Einstein.Μετά την δημοσίευση της γενικής θεωρίας της σχετικότητας το 1915 και την επιτυχή αντικατάσταση της βαρυτικής δύναμης από τη δυναμική του χώρου και του χρόνου, αναζητήθηκε μια γεωμετρική εξήγηση και για τις υπόλοιπες δυνάμεις της φύσης … δηλαδή την ηλεκτρομαγνητική, την μόνη – μετά την βαρυτική – γνωστή δύναμη εκείνη την εποχή.Σύμφωνα με την θεωρία των Theodor Kaluza και Oskar Klein, που διατυπώθηκε μετά την γενική θεωρία της σχετικότητας του Einstein, ενώ η βαρύτητα αντικατοπτρίζει το σχήμα των οικείων σε εμάς τεσσάρων χωροχρονικών διαστάσεων, ο ηλεκτρομαγνητισμός αναδύεται μέσα από την γεωμετρία μιας επιπρόσθετης πέμπτης διάστασης, η οποία είναι πολύ μικρή για να παρατηρηθεί απευθείας. Ο Einstein γοητεύτηκε ιδιαίτερα από αυτή τη θεωρία.Η αναζήτηση από τον Einstein μιας ενοποιημένης θεωρίας συχνά μνημονεύεται ως αποτυχημένη, ενώ στην ουσία ήταν αδύνατον να επιτευχθεί εκείνη την εποχή. Έπρεπε πρώτα να κατανοηθούν οι πυρηνικές δυνάμεις και ο κρίσιμος ρόλος της κβαντικής θεωρίας πεδίου στη Φυσική, μια έρευνα που άρχισε από τις πρώτες δεκαετίες του εικοστού αιώνα και οδήγησε πολύ αργότερα στο Καθιερωμένο Πρότυπο των στοιχειωδών σωματιδίων. Στην «εικασία» Kaluza-Klein (όπως και στη θεωρία των χορδών) οι φυσικοί νόμοι «που παρατηρούμε» ελέγχονται από το σχήμα και το μέγεθος των επιπρόσθετων μικροσκοπικών διαστάσεων. Οι Kaluza και Klein διατύπωσαν την ιδέα τους περί μιας πέμπτης διάστασης στις αρχές του 20ού αιώνα, όταν γνωρίζαμε μόνο τη βαρυτική και την ηλεκτρομαγνητική δύναμη. To ότι και οι δύο ήταν ανάλογες του αντιστρόφου τετραγώνου της απόστασης δεν ήταν από μόνη της απόδειξη ότι οι δύο δυνάμεις συνδέονται μεταξύ τους. Η πραγματική γοητεία της ιδέας ήταν ότι ο ηλεκτρομαγνητισμός μπορούσε να προκύψει από την ίδια γεωμετρική δομή που περιγράφει τη βαρύτητα.Αν η επιπρόσθετη χωρική διάσταση έχει συμπαγοποιηθεί, δηλαδή έχει «τυλιχθεί» σχηματίζοντας έναν αρκετά μικρό κύκλο, θα έχει διαφύγει από τα μικροσκόπιά μας – τους επιταχυντές. Επιπλέον, γνωρίζουμε ήδη από την γενική θεωρία της σχετικότητας ότι ο χώρος είναι εύκαμπτος. Οι 3 διαστάσεις που αντιλαμβανόμαστε διαστέλλονται, ενώ κάποτε υπήρξαν πολύ μικρότερες, οπότε δεν αποτελεί μεγάλο νοητικό άλμα να φανταστούμε ότι υπάρχει μια ακόμα διάσταση που παραμένει μικρή. Αυτή η μικρή επιπρόσθετη διάσταση θα είχε σημαντικές έμμεσες επιδράσεις, οι οποίες θα μπορούσαν να παρατηρηθούν. Τότε η γενική θεωρία της σχετικότητας θα περιέγραφε την γεωμετρία ενός πενταδιάστατου χωρόχρονου.Για να περιγραφεί αυτός ο πενταδιάστατος χωρόχρονος, ο Kaluza προσάρμοσε τις μαθηματικές εξισώσεις του Einstein προσθέτοντας απλώς τους όρους της νέας, αόρατης διάστασης. Μπορούμε να διαχωρίσουμε τη γεωμετρία αυτή σε 3 στοιχεία:
(α) στο σχήμα των τεσσάρων μεγάλων χωροχρονικών διαστάσεων (δηλαδή την συνήθη βαρύτητα που βιώνουμε καθημερινά)
(β) στη «γωνία» μεταξύ της μικρής διάστασης και των υπολοίπων (η οποία τελικά αποκαλύπτεται ότι λειτουργεί ακριβώς όπως το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο)
(γ) και στην περιφέρεια της μικρής διάστασης (η οποία καθορίζει τη σχετική ισχύ μεταξύ ηλεκτρομαγνητισμού και βαρύτητας)

Ο μεγάλος χωρόχρονος συμπεριφέρεται σύμφωνα με την συνήθη τετραδιάστατη σχετικότητα. Σε κάθε σημείο του, «η γωνία και η περιφέρεια» λαμβάνουν από μία τιμή, μοιάζουν δηλαδή με δύο πεδία που διαπερνούν τον χωρόχρονο λαμβάνοντας συγκεκριμένες τιμές σε κάθε σημείο του. Προς γενική έκπληξη, προκύπτει ότι το πεδίο της γωνίας προσιδιάζει στο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο ενός τετραδιάστατου κόσμου, δηλαδή οι εξισώσεις που διέπουν τη συμπεριφορά του είναι πανομοιότυπες με εκείνες του ηλεκτρομαγνητισμού. Η δε περιφέρεια καθορίζει τη σχετική ισχύ μεταξύ των ηλεκτρομαγνητικών και των βαρυτικών δυνάμεων. Καθώς η μικρή διάσταση είναι ένας κλειστός κύκλος ακτίνας , οποιοδήποτε σωματίδιο κινείται μέσα της «εγκλωβίζεται» συμπεριφερόμενο σαν ένα στάσιμο κύμα. Λόγω αυτού του περιορισμού, η ορμή του σωματιδίου στην 5η διάσταση δεν μπορεί να είναι τυχαία, αλλά εξαρτάται αντιστρόφως ανάλογα από την ακτίνα του κύκλου (). Το εντυπωσιακό είναι ότι το ηλεκτρικό φορτίο  που παρατηρούμε εμείς στον δικό μας κόσμο, δεν είναι τίποτα άλλο παρά αυτή η κρυμμένη ορμή! Αν συνδυάσουμε αυτή την ορμή με την σταθερά της παγκόσμιας έλξης  – που συνδέεται με την γεωμετρία και το μέγεθος της μικρής διάστασης, παίρνουμε τελικά την σχέση .Δυστυχώς όμως η κομψότητα αυτής της προσέγγισης δεν αρκεί για να περιγράψει πειστικά την φυσική πραγματικότητα. Για να ισχύει θα έπρεπε η ακτίνα  να είναι ασύλληπτα μικρή, στην κλίμακα του μήκους Planck, γεγονός που θα οδηγούσε θεωρητικά σε αδιανόητα τεράστιες μάζες για στοιχειώδη σωματίδια όπως το ηλεκτρόνιο. Για ένα R της τάξης του μήκους Planck, προκύπτει μάζα της τάξης μάζας Planck, 1022 MeV, ενώ η μάζα του ηλεκτρονίου είναι μόλις 0,511 MeV.Με τον τρόπο αυτό, από μια θεωρία αποκλειστικά και μόνο για τη βαρύτητα στις 5 διαστάσεις απορρέει μια θεωρία που περιγράφει την βαρύτητα και τον ηλεκτρομαγνητισμό στις 4 διαστάσεις. Η θεωρία των χορδών είναι πιο περίπλοκη από τη θεωρία Kaluza-Klein, αλλά η μαθηματική της δομή είναι ουσιαστικά πληρέστερη και επιτυγχάνει μεγαλύτερο βαθμό ενοποίησης. Όμως ο βασικός ισχυρισμός της θεωρίας Kaluza-Klein διατηρείται: Οι φυσικοί νόμοι που παρατηρούμε εξαρτώνται από τη γεωμετρία των επιπρόσθετων κρυμμένων διαστάσεων. Η θεωρία Kaluza-Klein αποκάλυπτε τη γοητεία και τη δύναμη της συμμετρίας.Αργότερα αποδείχθηκε, σύμφωνα με την θεωρία των χορδών, ότι αν προσθέσουμε επιπλέον διαστάσεις στην παλιά θεωρία του Einstein, τότε το σχήμα και οι πολύπλοκες συμμετρίες τους, καθώς και οι χορδές που ταλαντώνονται μέσα σε αυτές, παράγουν τα μποζόνια W και Z και τα γλοιόνια που βρίσκουμε στις ασθενείς και ισχυρές πυρηνικές δυνάμεις! Παρότι η θεωρία Kaluza-Klein δεν ήταν δυνατόν να είναι σωστή, μπορούμε να πούμε ότι ήταν ένας ουσιαστικός πρόδρομος της θεωρίας των χορδών.

πηγές: On hidden realities – https://www.quantum-bits.org/?p=1078, Η θεωρία Kaluza-Klein – https://physicsgg.me/2010/12/29

(*) στο φυσικό σύστημα μονάδων που χρησιμοποιήθηκε θεωρούμε (2)