2ος Σώμα σε σύγχρονη τροχία πίσω από τη Σελήνη - γίνεται;

[dimos]

Ήθελα να εξετάσω ένα πρόβλημα το οποίο αφορούσε αν μπορούσε να σταθεί ένα 2ο μεγάλο ουράνιο σώμα ακριβώς πίσω από τη Σελήνη σε σύγχρονη τροχιά και να ισορροπεί το όλο βαρυτικό σύστημα Γης-Σελήνης-Λίλιθ(το μυθολογικό όνομα του 2ου σώματος).

Και αν γίνεται τότε τι μάζα θα πρέπει να έχει και σε ποια απόσταση θα πρέπει να βρίσκεται αυτό;

Ένας καλός φίλος κάθησε και έκανε τους παρακάτω υπολογισμούς και βρήκε ότι γίνεται, αλλά το σώμα θα πρέπει να έχει ακριβώς 2 φορές τη μάζα της Σελήνης και ότι θα πρέπει να βρίσκεται 66000 χλμ πίσω από τη Σελήνη.

 

Ο φίλος επίσης μου είπε ότι κατα πάσα πιθανότητα η συγκεκριμένη σύγχρονη τροχιά θα ήταν ασταθής και θα χρειαζόταν διωρθώσεις πορείας για να συντηρηθεί...

 

Αυτοί είναι υποχρεωτικοί αριθμοί γι'αυτό το σώμα ώστε να μπει σε τέτοιου είδους τροχιά;

 

Θα ήθελα επίσης να επιβεβαιώσω το ορθό των υπολογισμών.

 

Ποιο είναι το σχόλιο των φυσικομαθηματικών του astrovox για το παρόν πρόβλημα;

 

[inest]

Συγνωμη που στο λεω αλλα αυτου του ειδους η αναλυση δεν ειναι καθολου μα καθολου σωστη!!!

Για να αναλυσεις το συστημα πρεπει να χρησιμοποιησεις μηχανικη κατα Xamilton διαφορικες εξισωσεις κτλ.... Μαλιστα οταν τα σωματα ειναι τρια τοτε το χαος μπαινει δυνατα στο παιχνιδι και τετοιου ειδους απλες και αριθμητικες αναλυσεις ειναι απλα μη εφαρμοσιμες!!!! Επισης απο τα λιγα που ξερω απο θεωρητικη μηχανικη τετοια συστηματα ειναι εξαιρετικα απιθανο να δημιουργηθουν. Βεβαια πρεπει να κανεις πληρη αναλυση για να δεις τι συμβαινει, αλλα διαισθητικα νομιζω οτι το συστημα που αναφερεις πρεπει να ειναι ασταθες!!!

 

Να σε ρωτησω μονο θα ηθελα το λογο που σε εκανε να πας να ψαξεις αυτο το θεμα. Απο την στιγμη που ειναι γνωστο οτι πισω απο την σεληνη δεν υπαρχει ουτε lilith ουτε τιποτα αλλο, τι πας και μπλεκεσαι???

[Heal]

Πέρα από όσα σωστά λέει ο αγαπητός inest, αν τσεκάρεις το αποτέλεσμα που βγάζει, ανικαθιστώντας στην πρώτη εξίσωση που δίνει δεν το επαλυθεύει, μάλιστα νομίζω το αριστερό από το δεξί μέλος είναι πενταπλάσια. Η κανονικοποίηση που κάνει είναι ελαφρώς παραπλανητική μιας και η διαφορά είναι της τάξης του 10^-18 και φαίνεται ασήμαντι ενώ δεν είναι... Πάντως αν προσαρμοστεί μπορεί να γινει μια ενδιαφέρουσα άσκηση φυσικής που μπορεί να λυθεί με γνώσεις λυκείου.

[dimos]

Απλά θέλω να μάθω αν οι υπολογισμοί είναι σωστοί και αν γίνεται να σταθεί ένα ουράνιο σώμα πίσω από τη Σελήνη σε σύγχρονη τροχιά με το όλο σύστημα.

Η αστρολογία αν δεν κάνω λάθος εμπεριέχει τη Λίλιθ.

Έτσι ήθελα να δω ποια είναι η απάντηση των μαθηματικών και της αστρονομίας πάνω σε αυτό το πρόβλημα.

Είναι και ένα πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα μηχανικής ουράνιων σωμάτων όπως και να το κάνουμε...

 

Ηeal, τι εννοείς αν "προσαρμοστεί"; Τι είδους προσαρμογή πρέπει να γίνει στο πρόβλημα ώστε να λυθεί με γνώσεις λυκείου?

 

Αν κατάλαβα καλά και οι δύο συμφωνείτε ότι οι υπολογισμοί του φίλου μου είναι τελείως λάθος;;;

[Heal]

Ναι Δήμο, η λύση είναι λάθος.

 

Επειδή τα κοιτούσα χτες μέσα στα άγρια μεσάνυχτα, ξαναείδα σήμερα το ζήτημα. Κατ΄αρχάς η επίλυση της εξίσωσης 2 που κάνει αριθμητικά δίνει 64000 χιλιόμετρα και όχι 66000, αλλά αυτό μικρή διαφορά είναι και δεν είναι πρόβλημα.

 

Ενα ακόμα λάθος είναι ότι στην δεύτερη εξίσωση όπου λέει:

 

m1'=(1/R^2-kR)*r^2 και κοτσάρει ένα αποτέλεσμα m1=0.0024,

 

αν οι πράξεις γίνουν σωστά τότε το αποτέλεσμα είναι αρνητικός αριθμός (-0,00022 στις μονάδες που χρησιμοποιεί) για αυτή τη μάζα, άτοπο, που καταδεικνύει το λάθος του προβλήματος μιας και αρνητική μάζα δεν μπορεί να υπάρξει φυσικά.

 

Ηeal, τι εννοείς αν "προσαρμοστεί"; Τι είδους προσαρμογή πρέπει να γίνει στο πρόβλημα ώστε να λυθεί με γνώσεις λυκείου?

 

Το πρόβλημα που σκεφτόμουν είναι: αν υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ακλόνητο σώμα μάζας Μ και δύο άλλα σώματα μάζας μ1 και μ2 μπορούν να είναι σε κυκλικές τροχιές με την ίδια περιόδο και να βρισκονται συνεχώς στην ίδια ευθεία;

[bandito]

Το πρόβλημα που σκεφτόμουν είναι: αν υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ακλόνητο σώμα μάζας Μ και δύο άλλα σώματα μάζας μ1 και μ2 μπορούν να είναι σε κυκλικές τροχιές με την ίδια περιόδο και να βρισκονται συνεχώς στην ίδια ευθεία;

 

Αν δεν κάνω λάθος η περίοδος της τροχιας ενός σώματος δεν έχει καμμιά σχέση με τη μάζα του αλλά μόνο με την ακτίνα της τροχιάς. Άρα είναι αδύνατο τα δύο σώματα να έχουν τροχιές με διαφορετικές ακτίνες αλλά με την ίδια περίοδο..

 

Σωστά;

[Heal]

Ναι αλλά στην δεύτερη περίπτωση έχουμε τρία σώματα και η βαρυτική δύναμη του ενός προς το άλλο εξαρτάται από τη μάζα τους. Αυτή με τη σειρά της καθορίζει τις περιόδους, οπότε είναι απαραίτητο δεδομένο.

[Vegan]

Κώστα δε νομίζω πως ένα τέτοιο πρόβλημα τριών σωμάτων μπορεί να λυθεί με γνώσεις λυκείου, ακόμα και στην απλή μορφή που το θέτεις.

 

Γενικά οι συντονισμοί 1:1 είναι πολύ ασταθείς και τέτοιες τροχιές δε θα μπορούσαν να υπάρχουν για μεγάλο χρονικό διάστημα

[Heal]

Γιάννη το κοίταξα το θέμα και τελικά έχουμε και οι δύο από λίγο δίκιο, αν και η λύση βασίζεται στον 2ο νόμο του Νεύτωνα και στον τύπο της κεντρομόλου δύναμης, εντούτοις εμφανίζονται εξισώσεις 3ου βαθμού... Οπότε είναι εκτός ύλης Λυκείου.

[George Makris]

Η Λιλήθ είναι ένα μυθικό πρόσωπο, που εμφανίζεται σε γνωστικές και αποκρυφιστικές δοξασίες. Υποτίθεται ότι ήταν η πρώτη γυναίκα του .... Αδάμ. Δεν περίμενα ότι θα άνοιγε και ...επιστημονική συζήτηση εδώ για αυτήν.

Τελικά είναι απίστευο το τι απόψεις κυκλοφορούν γύρω μας.

[dimos]

Ευχαριστώ τους φίλους επιστήμονες για τις απαντήσεις τους.

 

Θα έρθω σε επικοινωνία με τον φίλο μου και θα δω αν γίνεται να σας απαντήσει σε αυτά που γράψατε για τα λάθη στους υπολογισμούς.

 

Το συμπέρασμα σας ποιο είναι;

 

Μπορεί τελικά να σταθεί με τους νόμους της μηχανικής ένα ουράνιο σώμα (σημαντικής μάζας) πίσω από τη Σελήνη ώστε το τρίδυμο Γη-Σελήνη-Υποθετικό Σώμα να είναι σε συνεχή ευθύγραμμη θέση και σύγχρονη τροχιά;

 

Aν κατάλαβα καλά ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να υπάρξει άλλα όχι για μεγάλο διάστημα;

Θα ήταν δηλαδή ασταθές;

 

Επίσης τι μαθηματικά εργαλεία χρειάζονται για να επεξεργαστείς τέτοιου είδους προβλήματα τριών ή περισσότερων σωμάτων;

Κάτι διάβασα και για εισαγωγή του χάους στο όλο σύστημα...

Χρειάζεται η χρήση υπερυπολογιστών για να λυθούν αυτά τα προβλήματα;

 

Όσον αφορά για αυτούς που αναρωτιούνται γιατί επιλέξαμε το όνομα λίλιθ για το δεύτερο υποθετικό δορυφόρο της Γης, αυτή η αναφορά γίνεται επίσης εκτενέστερα και στην αστρολογία όπου η λίλιθ αναφέρεται ως η σκοτεινή σελήνη, το δεύτερο φεγγάρι!

[inest]

Το συμπέρασμα σας ποιο είναι;

Οτι απλα δεν γινεται!!!!!

Να ξερεις οτι το προβλημα των τριων σωματων (ποσο μαλλον παραπανω) δεν ειναι επιλυσιμο αναλυτικα!!

Όσον αφορά για αυτούς που αναρωτιούνται γιατί επιλέξαμε το όνομα λίλιθ για το δεύτερο υποθετικό δορυφόρο της Γης, αυτή η αναφορά γίνεται επίσης εκτενέστερα και στην αστρολογία όπου η λίλιθ αναφέρεται ως η σκοτεινή σελήνη, το δεύτερο φεγγάρι!

Σαν συμβουλη, μην μπλεκεσαι με αστρολογιες!!!!

[dimos]

Φίλε μου, με παρεξήγησες.

Γνωρίζω από αστρολογία αλλά δεν πιστεύω στην αστρολογία!

Βέβαια πολλοί άλλοι πιστεύουν αλλά αυτό είναι μια άλλη κουβέντα...μη επιστημονική/μη αστρονομική...

 

Και κάτι άλλο. Για να σε καταλάβω ...

 

Όταν λες δεν γίνεται, εννοείς ότι δεν γίνεται να σταθεί ένα τριπλό σύστημα σωμάτων σε τέτοιου είδους τροχιά, ή ότι δεν γίνεται να επιλυθεί ένα τέτοιου είδους σύστημα με τα φυσικά και μαθηματικά εργαλεία που έχουμε μέχρι στιγμής;

[George Makris]

Η Λιλήθ είναι μυθικό πρόσωπο. Συγκεκριμένα είναι ένας θηλυκός δαίμονας στην μυθολογία της Μεσοποταμίας που εμφανίζεται σε πολλές αποκρυφιστικές δοξασίες.

 

http://en.wikipedia.org/wiki/Lilith

 

Η Λιλήθ δεν αναφέρεται στην αστρολογία. Στις αστρολογικές δοξασίες αναφέρονται υπαρκτά ουράνια σώματα των οποίων οι θέσεις και οι κινήσεις (υποτίθεται) ότι καθορίζουν τον ανθρώπινο χαρακτήρα και πεπρωμένο.

[dimos]

Κάνεις λάθος, η Λίλιθ έχει δεσπόζουσα θέση στην αστρολογία.

Είναι η σκοτεινή Σελήνη και καταγράφεται στα αστρολογικά charts.

Lilith, The Dark Moon

The Shadowy Figure In your Astrology Chart and What It Can Tell You

http://www.mariashaw.com/starscopes/2003-05/lilith.html

Αλλά καλύτερα ας μην το καταντήσουμε εδώ αστρολογική κουβέντα...

 

Εμένα με ενδιαφέρουν κυρίως οι παραπάνω υπολογισμοί και αν γίνεται ή όχι να στηθεί βαρυτικώς ένα τέτοιο τριπλό σύστημα σωμάτων...

[Vegan]

Η Λιλήθ είναι μυθικό πρόσωπο. Συγκεκριμένα είναι ένας θηλυκός δαίμονας στην μυθολογία της Μεσοποταμίας που εμφανίζεται σε πολλές αποκρυφιστικές δοξασίες.

 

Παλιά ο παππούς μου στο Ελληνοχώρι είχε μια αγελαδα και τη φώναζε έτσι(δεν κανω πλάκα)

[Ηπειρώτης]

Γεια σας. Εγώ είμαι που έκανα τους υπολογισμούς που παρέθεσε ο dimos.

 

Κατ' αρχάς να συγχαρώ τον Heal που μπήκε στον κόπο να μελετήσει αυτό το configuration ουρανίων σωμάτων, και βρήκε και το λάθος στον υπολογισμό της μάζας - και όπως σωστά διαπίστωσε, το άτοπο της αρνητικής μάζας δείχνει ότι δεν γίνεται να υπάρξει τρίτο αντικείμενο σε συγχρονισμένη τροχιά (για τις δεδομένες μάζες και αποστάσεις γης-σελήνης). Όπως επίσης σωστά διαπίστωσε, γενικότερα είναι μαθηματικά δυνατό να υπάρξουν 3 αντικείμενα σε αυτό το configuration.

 

Κάτι όμως που αγνοήσαμε και οι δύο, φίλε Heal, αλλά αποδεικνύεται σημαντικό παρακάτω, είναι ότι η γη δεν είναι σταθερή, αλλά όλο το σύστημα περιστρέφεται γύρω από κάποιο σημείο Ο σε απόσταση 4700 km από το κέντρο της γης.

 

 

Όπως θα ξέρεις, το σημείο αυτό συμπίπτει με το κέντρο μάζας, για σύστημα 2 αντικειμένων (ίσως και για 3 αντικείμενων).

 

Να τονίσω ότι τη θέση του σημείου Ο τη βρίσκουμε μετρώντας το wobble της γης, ΟΧΙ υπολογίζοντας το κέντρο μάζας.

 

Οι εξισώσεις λοιπόν αλλάζουν, και το τελικό αποτέλεσμα είναι θετική μάζα. Αλλά πριν πάμε στους υπολογισμούς, ας ξεκαθαρίσουμε μερικά πράγματα για τη μέθοδο:

 

Φίλε inest, πιστεύω θα συμφωνήσεις μαζί μου ότι για την επίλυση ενός δυνάμει χαοτικού συστήματος, ο γενικός δρόμος είναι:

 

1. Επιλέγουμε τις κατάλληλες γενικευμένες συνιστώσες (καρτεσιανές συντεταγμένες, γωνίες προσανατολισμού κλπ)

 

2. Γράφουμε τις εξισώσεις του σε μορφή state space:

 

dp/dt = f(p)

 

όπου το διάνυσμα p περιέχει όλες τις συνιστώσες και τις παραγώγους τους, που στην περίπτωση των 3 σημειακών μαζών μας στο επίπεδο είναι:

 

p = [ x1 y1 x2 y2 x3 y3 Vx1 Vy1 Vx2 Vy2 Vx3 Vy3 ]

 

όπου τα V είναι ταχύτητες.

 

Οι εξισώσεις Hamilton που ανέφερες απλά μας βοηθάνε να προσδιορίσουμε την f(p), η οποία στο τέλος-τέλος ΔΕΝ έχει τίποτα παράγωγα ή ολοκληρώματα μέσα, είναι ένας αριθμητικά υπολογίσιμος τύπος.

 

Για να επιλύσουμε λοιπόν το σύστημα, παίρνουμε τις αρχικές θέσεις και ταχύτητες, υπολογίσουμε τη μεταβολή τους σε ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα Δt σύμφωνα με τη συνάρτηση f(p), αλλάζουμε τις τιμές των ταχυτήτων και των θέσεων, και επαναλαμβάνουμε ξανά και ξανά. Βλέπουμε έτσι το σύστημα να εξελίσσεται βήμα-βήμα.

 

Για λόγους ακρίβειας και αριθμητικής σταθερότητας, κάθε βήμα γίνεται δοκιμαστικά 1-3 φορές πριν γίνει το τελικό βήμα (2nd- or 4th-order Runge Kutta).

 

Το αποτέλεσμα λοιπόν, είναι μια προσομοίωση της κίνησης των 3 αντικειμένων.

 

Με τον Heal, δεν κάνουμε επίλυση του συστήματος. Απλά τεστάρουμε μία έτοιμη λύση. Η οποία έτοιμη λύση, είναι η κυκλική κίνηση. Αν μας προκύψει άτοπο, πχ αρνητική μάζα, τότε ξέρουμε ότι δεν γίνεται.

 

Αν όλα πάνε καλά και δεν προκύψει κανένα άτοπο, απομένει το ερώτημα: η ισορροπία που ανακαλύψαμε, είναι ασταθής ή σταθερή;

 

Όπως είπε και ο dimos από την αρχή, συμφωνώ μαζί σου ότι διαισθητικά το σύστημα είναι μάλλον ασταθές. Αλλά εδώ κάνουμε ένα θεωρητικό - μαθηματικό ερώτημα. Μας ενδιαφέρει μεν αν είναι σταθερή ή ασταθής η ισορροπία, και νομίζω αυτό προκύπτει από τα eigen values των πινάκων στην f(p), αλλά αυτό είναι άλλη ιστορία.

 

Και τώρα ο νέος υπολογισμός μου. Προσέξτε ότι οι σταθερές έχουν τώρα περισσότερα σημαντικά ψηφία. Επίσης ο υπολογισμός γίνονταν πάντα στο Excel, οι υπολογισμοί γίνονται πολύ ακριβέστερα από ότι φαίνεται (εκτός βέβαια από το γράφημα). Αυτό για τον Heal, που κάτι είπε για την κανονικοποίηση αλλά δεν το κατάλαβα (το αποτέλεσμα της αφαίρεσης είναι 2 τάξεις μεγέθους πιο μικρό από τα αφαιρούμενα, και το Excel έχει καμιά 20αριά σημαντικά ψηφία, οπότε δεν γίνεται καμία καταστροφική στρογγυλοποίηση, και επίσης, με ή χωρίς κανονικοποίηση, η ακρίβεια είναι η ίδια).

 

 

Ένα ερώτημα που απομένει είναι: Αν κάνουμε την προσομοίωση με την μάζα και τροχιά Λίλιθ που βρήκαμε, πόσο ασταθής είναι η τροχιά της Λίλιθ (ή ακόμα και της Σελήνης);

 

Πόσο εύκολο είναι να φύγει ο υποθετικός δορυφόρος Λίλιθ από την πορεία του, όταν, ας πούμε, η Αφροδίτη περνάει κοντά από τη γη; Πόση ενέργεια θα χρειαζόταν για να διατηρηθεί μια τέτοια ισορροπία.

[Vakoo-Lee]

Παράθεση:

Η Λιλήθ είναι μυθικό πρόσωπο. Συγκεκριμένα είναι ένας θηλυκός δαίμονας στην μυθολογία της Μεσοποταμίας που εμφανίζεται σε πολλές αποκρυφιστικές δοξασίες.

 

 

Παλιά ο παππούς μου στο Ελληνοχώρι είχε μια αγελαδα και τη φώναζε έτσι(δεν κανω πλάκα)

 

 

[dimos]

Eυχαριστώ τον καλό φίλο Ηπειρώτη για την παρέμβασή του και τους νέους υπολογισμούς..

 

Από ότι βλέπω η μάζα της Λίλιθ πλέον διαφοροποιείται αρκετά αλλά η υποχρεωτική απόσταση της από τη Σελήνη παραμένει το ίδιο μικρή, πράγμα που μου φαίνεται ολίγον τι αφύσικο για ένα τόσο μεγάλο σώμα.

 

Επίσης θα ήθελα να ρωτήσω αν από το wobbling της Γης μπορούμε να μάθουμε λεπτομέρειες για τις μάζες των δορυφόρων της, και της Λίλιθ;

[George Makris]

Σύμφωνα με τους νόμους του Κέπλερ σύγχρονη τροχιά δεν γίνεται γιατί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής είναι συνάρτηση της απόστασης, ε;

 

Απορώ (ακόμα) πως γίνεται κουβέντα επιστημονική με αφετηρία ....μυθολογική .

[Heal]

Αγαπητέ Γιώργο,

 

Η απλή εφαρμογή των νόμων του Κέπλερ δε μπορεί να γινει στην περίπτωση αυτή γιατί δεν έχουμε ένα ελκτικό δυναμικό που είναι της μορφής 1/r αλλά κάτι ιδιαίτερα πιο πολύπλοκο. Γενικά το ζήτημα έχει μεγάλο ενδιαφέρον σαν πρόβλημα μηχανικής, όχι φυσικά σαν αστρολογικό ζήτημα βέβαια, δεν τίθεται θέμα να υπάρχει τόσο μεγάλο σώμα τόσο κοντά μας και να μη το έχουμε πάρει χαμπάρι. Δεν αποκλείται να είναι η αγελάδα του παππού του Βέγκαν σε τροχιά...

 

Αγαπητέ Ηπειρώτη ενδιαφέρουσα η λύση εκ πρώτης όψεως αλλά θέλω να την κοιτάξω πιο προσεκτικά:

α) πόσα είναι τα σημαντικά ψηφία που έχουν ληφθεί στα δεδομένα του προβλήματος και αν η μάζα του τρίτου σώματος είναι μεγαλύτερη από την ακρίβεια των δεδεομένων, αυτό σημαίνει ότι μια στρογγυλοποίηση που έγινε μπορεί να δώσει αρνητική η θετική μάζα (δεν κατακρίνω τη λύση αλλα επισημαίνω μερικά ενδεχόμενα προβλήματα)

β) πόσο μετατοπίζει το κέντρο μάζας του συστήματος η παρουσία ενός τρίτου σώματος; Αν είναι μεγάλη τότε η "διαταρακτική λύση" που δοκιμάσαμε δεν είναι ασφαλής.

 

Επειδή έχω πολύ τρέξιμο αυτές τις μέρες δε μπορώ να το κοιτάξω αναλυτικά. Γενικά τέτοιου είδους προβλήματα μπορούν να λυθούν κάνοντας ορισμένες παραδοχές. Μια απλούστερη εκδοχή του προβλήματος είναι η εξής:

 

Αν θεωρήσουμε δύο σώματα που εκτελούν κυκλική κίνηση γύρω από το κέντρο μάζας τους. Θεωρώντας ένα τρίτο σώμα αμελητέας μάζας σε σύγκριση με τα άλλα δύο (ώστε η μετατόπιση του κέντρου βάρους του συστήματος να ειναι αμετλητέα και να μη διαταράξει την τροχιά των άλλων δύο, οπότε η βαρυτική επίδραση στα άλλα δύο είναι αμελητέα) μπορεί να τοποθετηθεί σε σύγχρονη τροχιά με τα άλλα δύο; Και αν ναι είναι ευσταθής αυτή η τροχιά (ευσταθής σημαίνει ότι εάν του αλλάξουμε λίγο την ταχύτητα ή την θέση θα παραμείνει σε κοντινή τροχιά).

[Heal]

Αγαπητέ Ηπειρώτη,

 

Τελικά επειδή είχα περιέργεια ελυσα το ζήτημα αναλυτικά, η απόσταση ® που μπορεί να βρεθεί ένα τριτο σώμα το οποίο να περιφέρεται γύρω από το κέντρο μάζας του συστήματος με την ίδια γωνιακή ταχύτητα με τη σελήνη είναι η λύση της εξίσωσης:

 

1/d^2+r/d^3+q*r/d^3=1/(d+r)^2+q/r^2,

 

όπου r η ζητούμενη απόσταση από τη Σελήνη, q ο λόγος μάζας Σελήνης/Γης, d η απόσταση Γης Σελήνης.

 

Αντικαθιστώντας για τις τιμές των σωμάτων βρίσκουμε (ο υπολογιστής βρίσκει για εμάς) r=6,45x10^7m, όσο την υπολόγισες και εσύ. Η διαφορά όμως είναι ότι δε μπορούμε να εξάγουμε συμπέρασμα για τη μάζα του σώματος. Αυτό θα ίσχυε αν και μόνον αν η Σελήνη δεν ικανοποιούσε τον τρίτο νόμο του Κέπλερ για την τροχιά της ως προς τη Γη (φυσικά αγνοούμε την περιφορά όλου του συστήματος ως προς τον ήλιο) όμως με τα νούμερα που δίνονται παραπάνω και αγνοώντας το ότι η Σελήνη και η Γη δεν είναι σημειακά αντικείμενα (οπότε η ιδιοπεριστροφή πρέπει να ληφθεί υπόψιν) η Σελήνη ικανοποιεί τον 3ο νόμο του Κέπλερ με ακρίβεια 0,97=(παρατηρούμενη συχνότητα-θεωρητική συχνότητα)/παρατηρούμενη συχνότητα. Αυτό το μικρό περιθώριο 3% που φαίνεται σαν απόκλιση θα μπορούσε κανείς να υποθέσει ότι οφείλεται στη παρουσία μια τρίτης μάζας που διαταράσσει την τροχιά της Σελήνης, αλλά κάτι τέτοιο δεν ισχύει για δύο λόγους:

 

α) Η περίοδος της Σελήνης που παρατηρούμε είναι μικρότερη από όσο θα έπρεπε άρα κινείται πιο γρήγορα από ότι υποδεικνύει ο 3ο νόμος του Κέπλερ. Μια μάζα εξωτερικά της Σελήνης θα μείωνε την συνισταμένη δύναμη πάνω στη Σελήνης μιας και θα αφαιρείτο διανυσματικά από τη δύναμη που ασκείται από τη Γη στη Σελήνη. Αυτό θα οδηγούσε σε μικρότερη κεντρομολο δύναμη και κατά συνέπεια σε μεγαλύτερη περίδο (η κεντρομόλος δύναμη είναι αντιστρόφως ανάλογη με το τετράγωνο της ταχύτητας της κυκλικής κίνησης).

β) Εχουμε αγνοήσει παντελώς την επίδραση του ήλιου, το γεγονός ότι η Σελήνη και η Γη δεν είναι σημειακά αντικείμενα και το ότι οι κινήσεις δεν είναι κυκλικές αλλά ελλείψεις.

 

Όλη η ανάλυση που κάνουμε κατά βάση αποσκοπεί στο να βρούμε τα σημεία Λαγκράντζ του συστήματος Γης-Σελήνης συγκεκριμένα αναζητούμε το σημείο L2 http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_point#L2 το οποίο βρίσκεται σε απόσταση 6,1x10^7 μετρα από τη Σελήνη προς αντιδιαμετρική κατεύθυνση της Γης (αν η ανάλυση γίνει με μεγαλύτερη λεπτομέρεια αυτή είναι η ορθή τιμή και είναι πολύ κοντά σε αυτή που βρηκαμε και εμείς με πρόχειρους υπολογισμούς). Το σημείο αυτό είναι σαγματικό και δεν μπορεί να προσφέρει ευσταθή ισορροπία διότι μια μικρή μετακίνση θα οδηγήσει το σώμα σε απομάκρυνση από αυτό το σημείο.

 

Φυσικά δεν είναι κάτι που ανακαλύφθηκε πρόσφατα αλλά η ύπαρξη του και οι ιδιότητες του είναι γνωστές από την μελέτη που έκανε ένας από τους μεγαλύτερους φυσικούς και μαθηματικούς όλων των εποχών ο J. Lagrange το 18ο αιώνα.

[dimos]

Θυμάσε Ηπειρώτη που σου λεγα για τα langrange points??

 

Τώρα το επιβεβαιώνει και ο Heal...

[Ηπειρώτης]

> Όλη η ανάλυση που κάνουμε κατά βάση αποσκοπεί στο να βρούμε τα σημεία Λαγκράντζ του συστήματος Γης-Σελήνης

 

Εδώ κάνεις λάθος αγαπητέ. Τα σημεία Lagrange προϋποθέτουν το "restricted" σύστημα 3 σωμάτων. Οπου δηλαδή η μία μάζα είναι απειροελάχιστη. Αλλά το δικό μας σύστημα έχει 3 σώματα άγνωστης μάζας. Είναι αυθαιρεσία να υποθέσουμε απειροελάχιστη την τρίτη μάζα.

 

Είναι σαν να λέμε: Λύσε μου ένα σύστημα 5 εξισώσεων με 5 αγνώστους. Απάντηση: αν ο ένας άγνωστος είναι απειροελάχιστος, η λύση είναι αυτή.

 

Επίσης, φίλε Heal, κάνεις την υπόθεση ότι η λύση που θα βρούμε αν κάνουμε τον υπολογισμό σωστά και με άπειρη ακρίβεια, είναι: μάζα απειροελάχιστη, και τοποθετημένη στο σημείο Lagrange 2. Είναι αυθαίρετη η υπόθεση αυτή, και είναι και μάλλον λάθος, αφού θεωρητικά υπολογίσαμε θετική και αξιοσημείωτη μάζα Λίλιθ όταν δουλέψαμε με κυκλικές τροχιές και χωρίς τον Ήλιο.

 

Οι ελλειπτικές τροχιές δεν δείχνουν το σημείο Lagrange 2 σαν λύση, ούτε η παρουσία του Ήλιου (με το βαρυτικό gradient που προκαλεί κατά μήκος της τροχιάς της σελήνης). Πιθανόν, έχουμε 2 λύσεις. Μία λύση με απειροελάχιστη μάζα στο Lagrange point 2, κι άλλη μία ενδεχόμενη με αξιοσημείωτη μάζα σε κάποιο άλλο σημείο (όπως η μάζα που προέκυψε αναλυτικά για κυκλικές τροχιές, και χωρίς τον Ήλιο).

 

Μη με παρεξηγείς, δεν πάω να κατακρίνω, θα εκτιμήσω πολύ τις γνώσεις που έχεις. Πχ, ποιες είναι οι ακριβέστερες τιμές που έχουμε για τα αστρονομικά δεδομένα; Πως προσδιορίσαμε τη μάζα της γης με τόσα σημαντικά ψηφία; Δεν πιστεύω να το κάναμε μόνο από την περίοδο και την απόσταση της Σελήνης (από το κέντρο περιστροφής);

 

Προς Dimo: Όταν γράφουμε 3.5210 x 10^23, αυτό σημαίνει 35210 +/- 0.5 κλπ κλπ, όπως ίσως θα ξέρεις. Με άλλα λόγια, το μηδενικό στο τέλος δηλώνει την ακρίβεια της μέτρησης. Όταν πολλαπλασιάζουμε δύο μετρήσεις που η μία έχει ακρίβεια 5 ψηφίων και η άλλη 7, το αποτέλεσμα έχει αναγκαστικά 5 ψηφία. Δεν έχουμε δικαίωμα να βάλουμε παραπάνω από 5 ψηφία στο αποτέλεσμα. Αλλιώς λέμε ψέματα για την ακρίβεια του αποτελέσματος. Στην διαίρεση συμβαίνει ακριβώς το ίδιο.

 

Στην πρόσθεση και την αφαίρεση, αλλάζουν τα πράγματα. Εκεί θέλει προσοχή, γιατί μπορεί να χάσουμε όλη την ακρίβειά μας!

 

Πχ όταν πάμε να βγάλουμε την μάζα της Λίλιθ, προκύπτει η εξής αφαίρεση:

 

( 1 / R^2 - kL ) =

 

0.000000000000000006768 (4 σημαντικά ψηφία)

-0.000000000000000006747 (4 σημαντικά ψηφία)

=0.000000000000000000021 (2 σημαντικά ψηφία)

 

Το αποτέλεσμα έχει μόνο 2 σημ. ψηφία, και άρα στην αριθμητική που κάνουμε στη συνέχεια, οι αριθμοί θα έχουν μόνο 2 σημαντικά ψηφία.

 

Αν ξεκινάγαμε με 2 σημαντικά ψηφία, μετά την αφαίρεση δε θα μας έμενε κανένα! Γι' αυτό έβαλα 4 σημαντικά ψηφία σε όλα τα αστρονομικά δεδομένα.

 

Για να δούμε τώρα. Είναι η επιρροή του wobble της γης αρκετή για να μας χαλάσει την ακρίβεια 2 σημαντικών ψηφίων στη μάζα της Λίλιθ; Στο πρώτο spreadsheet αγνοήσαμε το wobble, και μας προέκυψε αρνητική μάζα. Στο δεύτερο βάλαμε και το wobble, και το αποτέλεσμα άλλαξε δραστικά και έγινε θετική μάζα. Άρα δεν έχουμε δικαίωμα να αγνοήσουμε το wobble.

 

> Η περίοδος της Σελήνης που παρατηρούμε είναι μικρότερη από όσο θα έπρεπε

 

Εδώ Heal, αγνοείς το wobble της γης, κάτι που απεδείχθη κρίσιμο. Με άλλα λόγια, άλλο η βαρυτική απόσταση R, άλλο η ακτίνα περιστροφής L. Άμα εξισώσεις βαρύτητα GM/R^2, και κεντρομόλο Lω^2 (όχι Rω^2), βγάζει ότι η σελήνη έχει μεγαλύτερη περίοδο από ότι θα έπρεπε! Λες και κάτι την τραβάει προς την αντίθετη κατεύθυνση, και της μειώνει την κεντρομόλο...

 

Dimo, κατάλαβες τι λαβράκι βρήκαμε εδώ; Η Σελήνη πάει πιο αργά απ΄ ότι θα έπρεπε! Πιο αργά απ' ότι προβλέπει η απόστασή της από τη γη! Λες και κάτι αρκετά μεγάλο την έλκει προς τα πίσω!

 

Τι γίνεται με την επίδραση του Ηλίου; Γη, σελήνη και Λίλιθ δέχονται την ίδια κεντρομόλο από τον Ήλιο, η οποία προστίθεται στην κεντρομόλο μεταξύ τους, με αποτέλεσμα σαν να μην υπήρχε ο ήλιος + κυκλική κίνηση γύρω από τον Ήλιο.

 

Για μισό λεπτό όμως. Δέχονται όλα τα αντικείμενα την ίδια κεντρομόλο από τον Ήλιο; Άλλη ηλιακή βαρύτητα δέχεται η σελήνη όταν είναι κοντύτερα στον Ήλιο, άλλη όταν είναι στο πιο μακρυνό σημείο. Η Σελήνη κινείται σε ακτίνα R=3.844E8 m, και το όλο σύστημά μας κινείται γύρω από τον Ήλιο σε ακτίνα H=1.496E11 m. Άρα ο λόγος ηλιακή βαρύτητα στο κοντύτερο σημείο / ηλιακή βαρύτητα σε 'μέσο' σημείο, είναι ανάλογος προς τα τετράγωνα των αποστάσεων από τον Ήλιο, δηλαδή 1/(H-R)^2 / 1/H^2 = ( 1 - R/H )^-2 = 1.0052

 

Άρα η Ηλιακή βαρύτητα ποικίλει κατά 0.52% κατά μήκος της τροχιά της Σελήνης. Αυτό σημαίνει ότι δικαιούμαστε μόνο 2 σημαντικά ψηφία στους υπολογισμούς μας! Που σημαίνει ότι χάνουμε τη δυνατότητα να υπολογίσουμε την μάζα της Λίλιθ όταν κάνουμε την αφαίρεση! Με άλλα λόγια, η τροχιά της Σελήνης γύρω από τη γη διαφέρει αρκετά από κύκλο για να μας χαλάει τον υπολογισμό. Δεν είναι καν έλλειψη. Mόνο κατά προσέγγιση.

 

Αυτά σημαίνουν ότι δεν μπορούμε να αποφανθούμε για τη μάζα της Λίλιθ αναλυτικά. Μόνο με προσομοίωση του συστήματος Ήλιος - γη - σελήνη - λίλιθ. Μόνο έτσι θα πάρουμε ατράνταχτες αποδείξεις.

 

Ωστόσο ο αναλυτικός υπολογισμός μας, έδωσε ένα χρήσιμο αρχικό σημείο [ μάζα Λίλιθ απόσταση από Σελήνη ], από το οποίο να ξεκινήσουμε τη βελτιστοποίηση μας.

 

Δηλαδή τρέχουμε την προσομοίωση χιλιάδες φορές, αλλάζοντας κάθε φορά τη μάζα και την θέση της Λίλιθ, μέχρι να βρούμε το συνδυασμό που "κλείνει" καλύτερα την τροχιά της Λίλιθ! Φυσικά η "κίνηση" μας στο χώρο του διανύσματος [μάζα Λίλιθ απόσταση από Σελήνη] δεν είναι τυφλή, αλλά καθοδηγείται από τα υπολογιζόμενα gradients στο χώρο της βελτιστοποίησης - steepest decent).

 

Πάντως, και μόνο ότι η Σελήνη πάει πιο αργά από ότι πρέπει, φωνάζει για την ύπαρξη της Λίλιθ... Τώρα πως δεν την πήραμε χαμπάρι... Άλλα κόλπα.

 

Μεταξύ μας, πως την ξέρουμε την μάζα της σελήνης; Μήπως αυτό που μετρήσαμε για μάζα σελήνης, ήταν η μάζα της Σελήνης και της Λίλιθ μαζί, ένας (γραμμικός) συνδυασμός των δύο; Και η πραγματική μάζα της Σελήνης είναι μικρότερη, οπότε τα πάντα αλλάζουν;

 

Όποτε μπορέσω θα κάνω μερικές προσομοιώσεις και βελτιστοποιήσεις, και θα ποστάρω τα αποτελέσματα.

 

Dimo, ένα άλλο θέμα που μπορούμε να δούμε με προσομοιώσεις: τι γίνεται αν η γη γίνει κομμάτια/εξαφανιστεί, πως επηρεάζονται οι τροχιές των υπόλοιπων πλανητών...

[inest]

Πάντως, και μόνο ότι η Σελήνη πάει πιο αργά από ότι πρέπει, φωνάζει για την ύπαρξη της Λίλιθ... Τώρα πως δεν την πήραμε χαμπάρι... Άλλα κόλπα

Eπειδη εγω δεν φημιζομαι για την εξυπναδα μου, μπορεις να μου εξηγησεις ξανα πως βγαινει ακριβως οτι η σεληνη πηγαινει πιο αργα??

Δηλαδη την συγκριση με τι την κανεις???

Οχι τιποτα αλλο αλλα εδω θιγεις βασικες αρχες της μηχανικης!!!