Σφαιρικά τρίγωνα

[Tsaprazi]

Στο βιβλίο "Ιστορία, τεχνολογία και επιστήμη της Αστρονομίας" του κ.Αυγολούπη αναφέρεται στη σελ.49 ότι τα σφαιρικά τρίγωνα έχουν άθροισμα γωνιών μικρότερο των 180 μοιρών. Από τη γεωμετρία όμως γνωρίζουμε ότι μόνο τα τρίγωνα σε επιφάνειες που υπακούν στη γεωμετρία του Lobatchevsky έχουν άθροισμα γωνιών <180. Επιπλέον, στον πρώτο τόμο του "Σύμπαν που Αγάπησα" των κ.Δανέζη και κ.Θεοδοσίου επισημαίνεται χαρακτηριστικά ότι τα σφαιρικά τρίγωνα έχουν άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο των 180 μοιρών. Τι ισχύει τελικά απ' όλα αυτά;

[giorgosgr]

Σφαιρικα τριγωνα είναι αυτά που οι πλευρές τους είναι τόξα μεγίστων κύκλων σφαίρας και έχουν άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο των 180 μοιρών.

Φαντάσου ένα τρίγωνο πχ με μια κορυφή το βόρειο πόλο της γης, τις δυο πλευρές του μεσημβρινούς και την τρίτη πλευρά τον γήινο ισημερινό. Οι δυο γωνιες στον ισημερινό είναι από 90 μοίρες η κάθε μία και ας είναι όσο θέλει αυτή στον βόρειο πόλο. 90+90+κατι>180.

Ως γωνια θεωρούμε την γωνία των εφαπτομένων των πλευρών στις κορυφές του τριγώνου.

[Tsaprazi]

Συμφωνώ και να συμπληρώσω επίσης ότι εφόσον οι εφαπτομένες στις γωνίες του τριγώνου δε σχηματίζουν κλειστή τεθλασμένη καμπύλη ορίζουν σίγουρα γωνίες με άθροισμα μεγαλύτερο των 180. Αυτό που με προβληματίζει όμως είναι γιατί στο βιβλίο αναφέρει το αντίθετο.

[3c273]

Στο βιβλίο "Ιστορία, τεχνολογία και επιστήμη της Αστρονομίας" του κ.Αυγολούπη αναφέρεται στη σελ.49 ότι τα σφαιρικά τρίγωνα έχουν άθροισμα γωνιών μικρότερο των 180 μοιρών. Από τη γεωμετρία όμως γνωρίζουμε ότι μόνο τα τρίγωνα σε επιφάνειες που υπακούν στη γεωμετρία του Lobatchevsky έχουν άθροισμα γωνιών <180. Επιπλέον, στον πρώτο τόμο του "Σύμπαν που Αγάπησα" των κ.Δανέζη και κ.Θεοδοσίου επισημαίνεται χαρακτηριστικά ότι τα σφαιρικά τρίγωνα έχουν άθροισμα γωνιών μεγαλύτερο των 180 μοιρών. Τι ισχύει τελικά απ' όλα αυτά;

 

Συγχαρητήρια για τις ανησυχίες σου και την διάθεση σου να διαβάζεις και αυτές τις μέρες τέτοια βιβλία.Δεν είμαι ούτε μαθηματικός ούτε φυσικός για να σου απαντήσω. Απόσα γνωρίζω όμως ισχύουν και τα δύο. Σε γεωμετρίες διαφορετικές από την ευκλείδια που όλοι μαθαίνουμε στο σχολείο (μήκος, πλάτος, ύψος). Η μία είναι η γεωμετρία του Lobatchevsky που ανέφερες και η άλλη η γεωμετρία του Riemann.Μάλιστα θα μπορούσα να προσθέσω ότι το σύμπαν είναι Riemann γιατί αποδεδειγμένα ισχύει η θεωρία της σχετικότητας , της οποίας βασικό συστατικό είναι η γεωμετρία Riemann. Σίγουρα όμως υπάρχουν μαθηματικοί και φυσικοί που θα σου δώσουν πληρέστερες απαντήσεις.

[giorgosgr]

Αυτό που με προβληματίζει όμως είναι γιατί στο βιβλίο αναφέρει το αντίθετο.

 

Γιατί προβληματίζεσαι; προφανώς έχει κάνει λάθος.

[Tilemachos Athanasiadis]

Απόσα γνωρίζω όμως ισχύουν και τα δύο. Σε γεωμετρίες διαφορετικές από την ευκλείδια που όλοι μαθαίνουμε στο σχολείο (μήκος, πλάτος, ύψος).

 

Πράγματι μπορούν να ισχύουν και τα δύο αλλα στην περίπτωση μας, από τη στιγμή που μιλάμε για σφαιρικά τρίγωνα ισχύει ΜΟΝΟ ότι το άθροισμα των γωνιών είναι μεγαλύτερο από 180 μοίρες. Προφανώς έχει γίνει λάθος, αν γράφει κάτι τέτοιο.

 

 

 

υ.γ.

Και ένας ωραιος, εύκολος, σχετικός γρίφος-αίνιγμα:

Είμαι σε κάποιο σημείο της γης. Ταξιδεύω 100 km νότια, συνεχίζω όσο θέλω κατα τα ανατολικά, και μόλις βαρεθώ ταξιδεύω 100 km βόρεια και ξαφνικά συνειδητοποιώ ότι βρίσκομαι στο σημείο που ξεκίνησα!! Σε ποιο μέρος της γης βρίσκομαι;

[Tsaprazi]

Και ένας ωραιος, εύκολος, σχετικός γρίφος-αίνιγμα:

Είμαι σε κάποιο σημείο της γης. Ταξιδεύω 100 km νότια, συνεχίζω όσο θέλω κατα τα ανατολικά, και μόλις βαρεθώ ταξιδεύω 100 km βόρεια και ξαφνικά συνειδητοποιώ ότι βρίσκομαι στο σημείο που ξεκίνησα!! Σε ποιο μέρος της γης βρίσκομαι;

 

Θεωρητικά αυτό ισχύει για κάθε σημείο της Γης, έτσι;

[ammonite]

υ.γ.

Και ένας ωραιος, εύκολος, σχετικός γρίφος-αίνιγμα:

Είμαι σε κάποιο σημείο της γης. Ταξιδεύω 100 km νότια, συνεχίζω όσο θέλω κατα τα ανατολικά, και μόλις βαρεθώ ταξιδεύω 100 km βόρεια και ξαφνικά συνειδητοποιώ ότι βρίσκομαι στο σημείο που ξεκίνησα!! Σε ποιο μέρος της γης βρίσκομαι;

 

Στο Βόρειο Πόλο?

 

υ.γ.

Ανεξάρτητα αν είναι η σωστή απάντηση, θέλω πολύ να πάω εκεί!

[vtsamis]

Και ένας ωραιος, εύκολος, σχετικός γρίφος-αίνιγμα:

Είμαι σε κάποιο σημείο της γης. Ταξιδεύω 100 km νότια, συνεχίζω όσο θέλω κατα τα ανατολικά, και μόλις βαρεθώ ταξιδεύω 100 km βόρεια και ξαφνικά συνειδητοποιώ ότι βρίσκομαι στο σημείο που ξεκίνησα!! Σε ποιο μέρος της γης βρίσκομαι;

 

Θεωρητικά αυτό ισχύει για κάθε σημείο της Γης, έτσι;

 

Ισχύει ΜΟΝΟ για το σημείο της σφαίρας που έχεις δεχθεί ότι είναι Αρχή Πολικών Συντεταγμένων.

Στην περίπτωσή μας ο Β.Π. της Γης.

Για οποιοδήποτε σημείο της Γης, θα μπορούσε να ισχύει με την προϋπόθεση ότι η δεξιόστροφη ή αριστερόστροφη μετακίνησή σου (το "όσο θέλω") να αντιστοιχεί σε γωνία 2π ή πολλαπλάσιό της - δηλαδή στη δεύτερη "βόλτα" να έχεις κάνει έναν ή περισσότερους πλήρεις κύκλους (γεωγραφικός παράλληλος) και να ξαναγυρίσεις στο σημείο που βρέθηκες κατά την πρώτη μετατόπισή σου.

[Tilemachos Athanasiadis]

υ.γ.

Και ένας ωραιος, εύκολος, σχετικός γρίφος-αίνιγμα:

Είμαι σε κάποιο σημείο της γης. Ταξιδεύω 100 km νότια, συνεχίζω όσο θέλω κατα τα ανατολικά, και μόλις βαρεθώ ταξιδεύω 100 km βόρεια και ξαφνικά συνειδητοποιώ ότι βρίσκομαι στο σημείο που ξεκίνησα!! Σε ποιο μέρος της γης βρίσκομαι;

 

Στο Βόρειο Πόλο?

 

 

Σωστός!

 

υ.γ.

Tsaprazi, γιατί να ισχύει αυτό για κάθε σημείο της γης;

[Tilemachos Athanasiadis]

Και ένας ωραιος, εύκολος, σχετικός γρίφος-αίνιγμα:

Είμαι σε κάποιο σημείο της γης. Ταξιδεύω 100 km νότια, συνεχίζω όσο θέλω κατα τα ανατολικά, και μόλις βαρεθώ ταξιδεύω 100 km βόρεια και ξαφνικά συνειδητοποιώ ότι βρίσκομαι στο σημείο που ξεκίνησα!! Σε ποιο μέρος της γης βρίσκομαι;

 

Θεωρητικά αυτό ισχύει για κάθε σημείο της Γης, έτσι;

 

Ισχύει ΜΟΝΟ για το σημείο της σφαίρας που έχεις δεχθεί ότι είναι Αρχή Πολικών Συντεταγμένων.

Στην περίπτωσή μας ο Β.Π. της Γης.

Για οποιοδήποτε σημείο της Γης, θα μπορούσε να ισχύει με την προϋπόθεση ότι η δεξιόστροφη ή αριστερόστροφη μετακίνησή σου (το "όσο θέλω") να αντιστοιχεί σε γωνία 2π ή πολλαπλάσιό της - δηλαδή στη δεύτερη "βόλτα" να έχεις κάνει έναν ή περισσότερους πλήρεις κύκλους (γεωγραφικός παράλληλος) και να ξαναγυρίσεις στο σημείο που βρέθηκες κατά την πρώτη μετατόπισή σου.

 

 

Ο φίλος Βαγγέλης παίρνει δέκα με τόνο... στο φίλο ammonite θα βάλουμε απλά δέκα..

[alepohori]

Για οποιοδήποτε σημείο της Γης, θα μπορούσε να ισχύει με την προϋπόθεση ότι η δεξιόστροφη ή αριστερόστροφη μετακίνησή σου (το "όσο θέλω") να αντιστοιχεί σε γωνία 2π ή πολλαπλάσιό της -

Σε ακτίνια ή σε μοίρες; Πλήρης περιστροφή (-φες) εν ολίγοις.

[vtsamis]

Σε ακτίνια ή σε μοίρες;

 

Ρε Δημήτρη, αν σου δίναν από μια pizza 2π μοίρες κομμάτι, θα χόρταινες;

[Tilemachos Athanasiadis]

Σε ακτίνια ή σε μοίρες;

 

Ρε Δημήτρη, αν σου δίναν από μια pizza 2π μοίρες κομμάτι, θα χόρταινες;

 

 

 

και σκεφτόμουν τι εξυπνάδα να του απαντήσω.... τόση ώρα!!!

[Tsaprazi]

υ.γ.

Tsaprazi, γιατί να ισχύει αυτό για κάθε σημείο της γης;

 

Επειδή απλά παρέβλεψα το γεγονός ότι τα τόξα που διαγράφουμε κατά την οριζόντια μετατόπιση, μπορεί να μην είναι ακέραια πολλαπλάσια του 2π.

[alepohori]

Σε ακτίνια ή σε μοίρες;

 

Ρε Δημήτρη, αν σου δίναν από μια pizza 2π μοίρες κομμάτι, θα χόρταινες;

Ούτε μια ολόκληρη δε μου φτάνει Βαγγέλη!