Emmy Noether.

[Δροσος Γεωργιος]

Τα μαθηματικά πίσω από τη συμμετρία του σύμπαντος.

Πώς το θεώρημα της Emmy Noether, διαμέσου της Λαγκρανζιανής, μας δίνει την εξίσωση για να υπολογίσουμε τις διατηρούμενες ποσότητες σε ένα συμμετρικό σύστημα, όπως αυτό των πλανητικών τροχιών.

Η Emmy Noether απέδειξε ότι για κάθε συνεχή συμμετρία της δράσης ενός συστήματος, υπάρχει μια διατηρούμενη ποσότητα. Όμως, πώς ακριβώς λειτουργεί αυτό; Για να κατανοήσουμε τον συλλογισμό της πρέπει να διεισδύσουμε λίγο περισσότερο στις θεμελιώδεις αρχές της θεωρητικής φυσικής και σε ορισμένες έννοιες που προέρχονται από τον απειροστικό λογισμό.Κατά την επίλυση ορισμένων προβλημάτων στα μαθήματα φυσικής, για παράδειγμα, τον καθορισμό της τροχιάς ενός πλανήτη γύρω από ένα άστρο ή την πορεία μιας μπάλας, χρησιμοποιούμε Νευτώνεια δυναμική. Για παράδειγμα, στην περίπτωση πλανήτη-άστρου η βαρυτική δύναμη μεταξύ δύο σωμάτων ισούται με την μάζα επί την επιτάχυνση του πλανήτη. Αυτή η προσέγγιση αποδίδει μια εξίσωση κίνησης, η οποία μας λέει πού και πότε θα βρίσκεται το εν λόγω αντικείμενο.Όμως, υπάρχει και μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, βασισμένη στην ενέργεια αντί για τη δύναμη. Φυσικά, οι προσεγγίσεις είναι ισοδύναμες και οδηγούν στα ίδια αποτελέσματα. Όμως η ενεργειακή προσέγγιση αποδεικνύεται πιο πρακτική σε πολλές καταστάσεις, και είναι επίσης ευκολότερη στη γενίκευσή της. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο χρησιμοποιείται για την απόδειξη του θεωρήματος της Noether.Η ενεργειακή μέθοδος είναι λίγο πιο αφηρημένη σε σχέση με την δυναμική προσέγγιση. Επιπλέον, απαιτούνται προχωρημένες γνώσεις απειροστικού λογισμού για να γίνουν κατανοητά τα επιμέρους βήματα υπολογισμού που τελικά οδηγούν στις εξισώσεις κίνησης.Η βασική ιδέα, ωστόσο, είναι απλή: η λεγόμενη αρχή της ελάχιστης δράσης συχνά περιγράφεται εκλαϊκευτικά λέγοντας ότι η φύση είναι «τεμπέλικη». Η φράση είναι χρήσιμη ως εικόνα, αρκεί να θυμόμαστε ότι το «ελάχιστη» δεν σημαίνει πάντα μαθηματικό ελάχιστο. Ακριβέστερα, η πραγματική τροχιά είναι εκείνη για την οποία η δράση είναι στάσιμη, δηλαδή δεν μεταβάλλεται στην πρώτη τάξη για μικρές αλλαγές της τροχιάς. Όταν ένα σύστημα μεταβαίνει από μια θέση (στην απλούστερη περίπτωση μια μπάλα εκτοξεύεται από το έδαφος) προς μια άλλη θέση (η μπάλα επιστρέφει στο έδαφος), ακολουθεί την διαδρομή της ελάχιστης «προσπάθειας». Αυτή η «προσπάθεια» είναι γνωστή στη φυσική ως δράση. Η εν λόγω διαπίστωση συγγενεύει μαθηματικά με την αρχή του Fermat, σύμφωνα με την οποία όταν το φως κινείται μεταξύ δυο σημείων διασχίζει τη διαδρομή για την οποία ο χρόνος είναι στάσιμος (συνήθως ελάχιστος). Όμως και άλλα συστήματα φαίνεται να ακολουθούν επίσης αυτήν την αρχή. Υποθέτοντας αυτή την αρχή και εφαρμόζοντας λίγους υπολογισμούς, μπορεί κανείς να πάρει τις εξισώσεις κίνησης, όπως οι τροχιές των πλανητών γύρω από τον ήλιο.

Εισαγωγή στη Λαγκρανζιανή: Μια θεμελιώδης συνάρτηση στη Φυσική

Για να χαρακτηριστεί πλήρως ένα δυναμικό σύστημα, όπως αυτό μιας μπάλας που εκτοξεύεται προς τα πάνω, πρέπει να γνωρίζουμε τις ταχύτητες και τις θέσεις σε κάθε στιγμή. Η ταυτόχρονη παρακολούθηση όλων αυτών των μεγεθών μπορεί να προκαλέσει σύγχυση, δεδομένου ότι περιγράφονται από ένα διανυσματικό μέγεθος έξι διαστάσεων (τρεις χωρικές συντεταγμένες για την θέση και τρεις για την ταχύτητα) που λαμβάνει διαφορετικές τιμές σε οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή. Γι’ αυτό, χρησιμοποιείται ένα βαθμωτό μέγεθος που εξαρτάται από αυτές τις μεταβλητές και συνοψίζει τη δυναμική του συστήματος: η λεγόμενη Λαγκρανζιανή.Οι μεταβολές στην τιμή της αποτυπώνουν την δυναμική εξέλιξη του συστήματος μέσω της δράσης. Η δράση (ή η «προσπάθεια» που απαιτείται για να μετακινηθεί ένα σύστημα από μια κατάσταση σε μια άλλη μέσα σε συγκεκριμένο χρόνο) συνδέεται στενά με τη Λαγκρανζιανή: προκύπτει από το άθροισμα (ολοκλήρωμα) των Λαγκρανζιανών σε κάθε επιμέρους χρονική στιγμή. Με άλλα λόγια, η δράση αναθέτει μια αριθμητική τιμή σε κάθε πιθανή τροχιά ενός συστήματος. Και, όπως έχουν δείξει οι φυσικοί, η σωστή κίνηση ενός φυσικού συστήματος αντιστοιχεί στην αρχή της ελάχιστης δράσης ή στη συντομότερη διαδρομή(*).Στον απειροστικό λογισμό, οι μαθητές μαθαίνουν να βρίσκουν τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία μιας συνάρτησης μέσα σε ένα δεδομένο διάστημα ή σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού της. Αυτά τα μέγιστα και ελάχιστα σημεία είναι γνωστά συλλογικά ως ακρότατα. Τα βρίσκεις μέσω της μελέτης συνάρτησης: παραγωγίζεις και θέτεις το αποτέλεσμα ίσο με το μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, ωστόσο, η δράση δεν είναι μια απλή συνάρτηση αλλά ένας συγκεκριμένος τύπος συνάρτησης που ονομάζεται συναρτησιακό. Και αυτή η μικρή διαφορά στη λέξη έχει σημασία. Η δράση ολοκληρώνει τη Λαγκρανζιανή ως προς το χρόνο και η ίδια η Λαγκρανζιανή αποτελείται από χρονικά εξαρτώμενες συναρτήσεις, όπως η ταχύτητα και η θέση του υπό εξέταση αντικειμένου. Επομένως, πρέπει να προχωρήσουμε πιο προσεκτικά για να προσδιορίσουμε τα ακρότατα της δράσης.Ένας τρόπος για να γίνει αυτό είναι μέσω του λογισμού των μεταβολών. Η αρχή είναι παρόμοια με αυτή που χρησιμοποιείται για τις συνηθισμένες συναρτήσεις: τροποποιούμε ελαφρώς τις πιθανές τροχιές που μπορεί να ακολουθήσει το σύστημα και βρίσκουμε πού η δράση μεταβάλλεται λιγότερο. Με αυτόν τον τρόπο, λαμβάνουμε εξισώσεις που αντιστοιχούν στις εξισώσεις κίνησης του περιγραφόμενου συστήματος, για παράδειγμα, τις τροχιές των πλανητών.

Το «κόλπο» της Noether: Κάθε συμμετρία δίνει μια διατηρούμενη ποσότητα

Μετά από αυτή την περιήγηση στην κλασσική μηχανική και τον απειροστικό λογισμό, πιθανώς αναρωτιέστε τι σχέση έχουν όλα αυτά με το θεώρημα της Noether. Στην πραγματικότητα, η Λαγκρανζιανή μάς επιτρέπει να προσδιορίσουμε τις συνεχείς συμμετρίες ενός δεδομένου συστήματος.Αν εφαρμόσουμε έναν μετασχηματισμό συμμετρίας (όπως μια μετατόπιση στις συντεταγμένες x) στις μεταβλητές της Λαγκρανζιανής  χωρίς να αλλάξει κάτι, – ή γενικότερα, αν η δράση μείνει αναλλοίωτη – τότε έχουμε βρει μια συμμετρία. Για παράδειγμα, αν θέλουμε να περιγράψουμε δύο σφαίρες που κινούνται η μία προς την άλλη κατά μήκος του άξονα x και συγκρούονται, η Λαγκρανζιανή εξαρτάται από τις ταχύτητές τους και όσον αφορά τις θέσεις τους, αποκλειστικά από την μεταξύ τους απόσταση: , όπου  είναι η γενικευμένη συντεταγμένη,  η θέση της πρώτης σφαίρας και  η θέση της δεύτερης. Αν μετατοπίσουμε τις θέσεις και των δύο σφαιρών κατά την ίδια απόσταση , η Λαγκρανζιανή παραμένει η ίδια επειδή: .
Επομένως, το σύστημα είναι συμμετρικό ως προς τη μετατόπιση.Η Noether διερεύνησε πώς αλλάζει οποιαδήποτε Λαγκρανζιανή όταν μια μεταβλητή (όπως ο χρόνος ή η θέση) μεταβάλλεται κατά μια παράμετρο . Αυτή η αλλαγή στην  αναλύεται καλύτερα παίρνοντας την παράγωγο της Λαγκρανζιανής ως προς το . Αν η αλλαγή ως αποτέλεσμα του  αντιπροσωπεύει έναν μετασχηματισμό συμμετρίας, η  δεν θα αλλάξει, και κατά συνέπεια, η παράγωγος ισούται μηδέν. Χρησιμοποιώντας ορισμένες ιδιότητες της Λαγκρανζιανής και εκτελώντας μερικές μαθηματικές πράξεις και θεωρώντας ότι το σύστημα υπακούει στις εξισώσεις κίνησης, η παράγωγος της  ως προς το , δηλαδή , μετατρέπεται στην παράγωγο μιας νέας παράστασης  ως προς τον χρόνο: . Κι αυτό είναι επίσης μηδέν, δηλαδή, η νέα παράσταση  δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου και είναι επομένως μια διατηρούμενη ποσότητα! Έτσι, το θεώρημα της Noether παρέχει μια διατηρούμενη ποσότητα για κάθε συμμετρία και μάλιστα δίνει έναν τύπο για τον υπολογισμό αυτής της ποσότητας.

«Σπάζοντας καρύδια με βαριοπούλα»

Εφαρμογή του θεωρήματος Noether σε σύστημα μάζας-ελατηρίου που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση
Έστω μια μάζα  δεμένη σε ελατήριο σταθεράς , που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Έστω  και  η θέση και η ταχύτητα της μάζας αντίστοιχα. Η κινητική ενέργεια ισούται με: , και η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου: . Η Λαγκρανζιανή ορίζεται ως: , ή . Παρατηρούμε ότι η Λαγκρανζιανή δεν εξαρτάται ρητά από τον χρόνο: , που σημαίνει ότι το σύστημα έχει συμμετρία ως προς τις χρονικές μετατοπίσεις: . Δηλαδή, η περιγραφή του συστήματος παραμένει αναλλοίωτη στις μετατοπίσεις του χρόνου – η Λαγκρανζιανή έχει την ίδια μορφή σε κάθε χρονική στιγμή. Σύμφωνα με το θεώρημα της Noether, από αυτή τη συμμετρία προκύπτει ένα διατηρούμενο μέγεθος. Κι αυτό το μέγεθος είναι η ενέργεια.
Για μια Λαγκρανζιανή που δεν εξαρτάται ρητά από τον χρόνο, το διατηρούμενο μέγεθος είναι: σταθερό. Ισχύουν: , οπότε: , δηλαδή . Έτσι: σταθερό.
Συνεπώς το θεώρημα της Noether μας οδήγησε στην διατήρηση της μηχανικής ενέργειας  συστήματος μάζας-ελατηρίου που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση(**).

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες:
1. How Emmy Noether used math alone to illuminate the beauty of physics
2. The math behind the universe’s symmetry