ακτίνα γνωστού σύμπαντος

[joskem]

ποια είναι η ακτίνα του γνωστού σύμπαντος μετρημένη σε έτη φωτός??

[dimitris]

Χωρίς να είμαι σίγουρος νομίζω ότι όσο τα μέσα παρατήρησης (γενικά), σε όλα τα μήκη κύματος βελτιώνονται θα πρέπει να αυξάνεται και η ακτίνα παρατήρησης (ακτίνα του γνωστού σύμπαντος).

Το πρόβλημα που νομίζω ότι τίθεται είναι ποιά χρονική στιγμή βλέπουμε για το παρατηρούμενο αντικείμενο.Πρέπει να θεωρούμε δεδομένο ότι αν βλέπουμε ένα αντικείμενο που θεωρούμε ότι απέχει πχ 1,000,000 ετη φωτός τότε το βλέπουμε όπως ήταν πριν 1,000,000 έτη από τώρα.

Νομίζω ότι είναι ένα πρόβλημα του χωροχρόνου και σε αυτή τη βάση πρέπει να συζητηθεί.

Εκτός και αν έχω χάσει κάποια επεισόδια στην Αστροφυσική.

[Vegan]

joskem όπως λέει και ο dimitris κοιτάζοντας ένα αντικείμενο που απέχει 1000000 ε.φ το βλέπουμε όπως ήταν πρίν από ένα εκατ. χρόνια ....

Δεδομένου όμως ότι το σύμπαν έχει ηλικία περί τα 13,4 δισ. χρόνια, η ακτίνα του παράτηρίσιμου σύμπαντος δέν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 13,4 δισ. έτη φωτός αφού το φώς (όπως και όλα τα υπόλοιπα ) δημιουργήθηκε κατά τη μεγάλη έκρηξη(τη ΄χρονική στιγμή' μηδεν ,13,4 δισ. χρόνια πρίν)

Άν κάποιος μπορεί να βοηθήσει παραπάνω please να το κάνει επειδή με ενδιαφέρει και μένα αφάνταστα αυτό το θέμα......

[Goedel]

Αγαπητοί φίλοι,

 

Καμία φορά μ’αρέσει να ξεθάβω ερωτήσεις και βλέποντας ένα θέμα τόσο ενδιαφέρον σαν κι’αυτό μπήκα στον πειρασμό να το απαντήσω αν και τέθηκε πριν από ένα χρόνο.

 

Η ακτίνα του Σύμπαντος είναι μια έννοια κάπως λεπτή διότι ι) αναφερόμαστε σε καμπυλωμένο χωροχρονικό συνεχές και ιι) εξαρτάται από το μοντέλο του Σύμπαντος που χρησιμοποιούμε δηλαδή εάν το Σύμπαν είναι κλειστό ή ανοιχτό κάτι το οποίο με τη σειρά του εξαρτάται από την τιμή της τωρινής πυκνότητας του σε σχέση με την τωρινή τιμή της σταθεράς του Hubble βάση της οποίας υπολογίζεται και η τωρινή κρίσιμη πυκνότητα.

Στην Κοσμολογία ορίζεται ως ακτίνα του Σύμπαντος την ακτίνα καμπυλότητας R(t) του καμπυλωμένου χώρου.

Α) Στην περίπτωση του κλειστού Σύμπαντος (μοντέλο Lemaitre-Freedman με R(t)>0) αυτή η ποσότητα είναι θετική και το Σύμπαν πεπερασμένο χωρίς όρια γι’ αυτό και η μόνη χωρική ποσότητα για την οποία έχει έννοια να μιλάμε είναι ποσότητα π*R(t) η οποία μας δίνει την χωρική απόσταση των αντικειμένων που βρίσκονται αντιδιαμετρικά από μας δηλαδή στην μεγαλύτερη χωρική απόσταση αναφορικά με σύστημα αναφορά που βρίσκεται ακίνητο με τον γαλαξία μας.

Β) Στην περίπτωση του ανοικτού Σύμπαντος (μοντέλο Lemaitre-Freedman με R(t)<0) ή του οριακά ανοικτού Σύμπαντος (μοντέλο Einstein – De Sitter με R(t)=0) το Σύμπαν είναι άπειρο χωρίς όρια άρα δεν έχει έννοια να συζητάμε για ακτίνα του Σύμπαντος

Όπως και να έχει λόγω του φαινομένου του Πληρωρισμού το Σύμπαν είναι για μας πεπερασμένο (πεπερασμένος ορίζοντας επιρροής) με όρια τα οποία επεκτείνονται με την ταχύτητα του φωτός.

 

Φιλικά Αντώνης

[Theodore]

Καλησπέρα στην παρέα,

 

Εγώ έχω ακούσει ότι η ακτίνα του σύμπαντος υπολογίζεται στα 15 δισ. έ.φ., μάλλον αυτό συμβαίνει επειδή, όπως λέει και ο κ. Αντώνης, αυτό επεκτείνεται με την ταχύτητα του φωτός.

Εάν όμως ο φίλος Joskem ήθελε να ρωτήσει για την απόσταση του μακρινότερου αντικειμένου που έχει παρατηρηθεί, έχω την εντύπωση πως είναι ορισμένα quasar σε απόσταση περίπου 1 με 2 δισ. έ.φ.

 

Φιλικά,

Θεόδωρος.

[The Guardian]

ΔΕΝ ΕΙΜΑΙ ΣΙΓΟΥΡΟΣ ΓΙΑ ΑΥΤΑ ΠΟΥ ΘΑ ΠΩ(!):

Εισαγωγικά:

Κατα την πληθοριστική εξέλιξη του σύμπαντος, το σύμπαν διαστελόταν τόσο γρήγορα, έτσι ώστε στις αρχικές στιγμές της ζωής του, τα φωτόνια να μην έχουν "προλάβει" να διαδοθούν σε όλο το σύμπαν-βρέφος, καθώς το σύμπαν διαστελόταν εκθετικά, δίνοντάς μας απαντήσεις σε κάποια προβλήματα ( μου φαίνεται το πρόβλημα των μαγνητικών μονόπολων, το πρόβλημα της επιπεδότητας και το πρόβλημα του ορίζοντα) ,αλλα δημιουργόντας μας κάποια άλλα όπως το πρόβλημα της κομψής εξόδου.

 

Ερωτήσεις:

1)Αυτά που είπα είναι σωστά ή λέω βλακείες?

2)Αυτά που είπα μου φαίνεται οτι είναι χαρακτηριστικά των πρότων πληθοριστικών θεωριών. Υπάρχουν νέες πιο "extended" και πιο σωστές πληθοριστικές θεωρίες?

3)Σύμφωνα με τον τρόπο που επιλύεται το πρόβλημα του ορίζοντα(εκθετική διαστολή),λογικά δεν πρέπει να έχουμε διαστολή του σύμπαντος με μεγαλήτερη ταχύτητα απο την ταχύτητα του φωτός? 'Αμα αυτό ισχύει, δεν συνεπάγεται οτι ,αν υπάρχει μόνο το ένα σύμπαν ή τουλάχιστον αν βρισκόμαστε σε ένα άπειρο σύμπαν απο το οποίου τα υπόλυπα μέρη θα είμαστε πάντα αποκλισμένοι, η ακτίνα(ή διάμετρος, δεν ξέρω ποιο είναι το σωστό) του σύμπαντος(ή του μέγιστου παρατηρήσιμου σύμπαντος) μπορεί να είναι μεγαλύτερη απο 13,4 έτη φωτός?

 

Ελπίζω να έγινα κατανοητός, ιδιαίτερα στο ερώτημα 3

 

ΥΓ: Μήπως αυτό έπρεπε να ανήκει σε post: το πληθωριστικό σύμπαν"?

[Goedel]

Αγαπητέ φίλε,

 

Όσα έγραψες είναι πολύ σωστά. Κάτι στο οποίο πρέπει να δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή είναι το γεγονός ότι η «ταχύτητα» με την οποία διαστέλλεται ο χώρος μπορεί να ξεπεράσει την ταχύτητα του φωτός διότι δεν αποτελεί μετάδοση σήματος και άρα δεν παραβιάζεται η μια εκ των αρχών της Ειδικής Σχετικότητας. Επιπρόσθετα πρέπει να πούμε ότι η επισύναψη του όρου «ταχύτητα» στο φαινόμενο της διαστολής είναι ιδιαίτερα παραπλανητική και οδηγεί σε τέτοιου είδους εσφαλμένες ερωτήσεις όπως το αν μπορεί να μετρηθεί ερυθρά μετατόπιση που ν’αντιστοιχεί σε «ταχύτητες» μεγαλύτερες του φωτός.Οι γαλαξίες δεν απομακρύνονται και δεν κινούνται ο ένας σε σχέση με τον άλλο αλλά φαίνεται σαν να κινούνται εξαιτίας της διαστολής του μεταξύ τους χώρου.

Πολύ σωστή ήταν και η παρατήρηση που αφορούσε στα τμήματα του Σύμπαντος με τα οποία λόγω του πεπερασμένου της ταχύτητας του φωτός, δεν θα αλληλεπιδράσουμε ποτέ μιας και η απότομη διαστολή στα αρχικά στάδια της Μεγάλης Έκρηξης τα οδήγησε σε αποστάσεις τις οποίες δεν έχει προλάβει να διανύσει το φως. Αυτά τα κομμάτια οι κοσμολόγοι τα χαρακτηρίζουν ως Κοσμικές Φυσαλίδες. Δεν είναι φανταστικό το γεγονός του ότι μπόρεσε ο άνθρωπος ν’ ανακαλύψει με την βοήθεια των μαθηματικών κομμάτια του Σύμπαντος τα οποία ουσιαστικά δεν υπάρχουν ούτε καν το ένα για το άλλο αφού καμία μορφή αλληλεπίδρασης δεν μπορεί να τα συνδέσει αιτιακά !

 

Φιλικά,

Αντώνης

[Στέφανος Σοφολόγης]

Σχετικά με την παρατήρηση του φίλου Theodore πιό πάνω, η απόσταση του πιό απομακρυσμένου, παρατηρημένου αντικειμένου είναι τα τελευταία χρόνια πάνω από 10 δισ. έτη φωτός. Το τρέχον «ρεκόρ» είναι 13,3 δισ. έτη φωτός, δηλ. πλησιάζει πολύ τη γενική παραδοχή για τη ηλικία του σύμπαντος (και μια από τις προτεινόμενες ακτίνες του), που είναι τα 14-15 δισ. έτη φωτός. Δείτε για το πιό απομακρυσμένο, παρατηρημένο αντικείμενο:

http://www.eso.org/outreach/press-rel/pr-2004/pr-04-04.html,

http://www.hypertextbook.com/facts/1998/JiYoungLee.shtml,

και για την ηλικία και την ακτίνα του σύμπαντος:

http://www.space.com/scienceastronomy/age_universe_030103.html(εδώ λίγη υπομονή στο downloading, αξίζει)

http://news.bbc.co.uk/1/hi/sci/tech/3753115.stm

 

Γενικά δεν υπάρχει οριστική απάντηση για την πραγματική ακτίνα του σύμπαντος αφού οι προτεινόμενες θεωρίες δίνουν διάφορες απαντήσεις πράγμα που αποδεικνύει ότι οι περισσότερες είναι μόνο θεωρίες. Μάλιστα, αφού δεν έχουμε σπουδαία βεβαιότητα για τη φύση του χώρου, του χρόνου και της ύλης, το ερώτημα για το πραγματικό μέγεθος του σύμπανος παραμένει λίγο ακαδημαϊκό (αλλά φοβερά ενδιαφέρον).

 

Το μέγεθος όμως του παρατηρούμενου σύμπαντος είναι πιό «αντικειμενική» ποσότητα από την άποψη ότι μέσα σ' αυτό μπορούμε (ή προσπαθούμε) να ελέγχουμε την ισχύ των φυσικών νόμων και συνεπώς να μετράμε αποστάσεις. Η ακτίνα λοιπόν του παρατηρούμενου σήμερα σύμπαντος πλησιάζει τα 14 δισ. έτη φωτός.

• Φιλικά Στέφανος

[Μηνάς]

Καλησπέρα σε όλους. Σας παρακολουθώ κάποιο διάστημα αλλά γενικά

βρίσκομαι σε καταστολή όσο αναφορά το συγκεκριμένο χόμπυ μου, ένεκα

της προσωρινής ανέχειας

 

Οτι έχει τεθεί σε αυτό το thread θα το θεωρούσα σωστό.

 

Μόνο να προσθέσω οτι προσωπικά για μένα, δεν έχει νόημα η αναζήτηση

της ακτίνας του σύμπαντος, διότι δεν έχει νόημα η μέτρηση της απόστασης

μεταξύ δύο σημείων που τα θεωρούμε άκρες. Δεν υπάρχουν άκρες και κατά

συνέπεια το μόνο που έχει νόημα είναι η ηλικία του σύμπαντος, όπως πολύ

σωστά προαναφέρθηκε.

 

Η "ακτίνα" φέρνει στο νου έναν κύκλο, ή μια σφαίρα, αλλά προσωπικά

διαφωνώ με το όποιο σχήμα. Δεν γνωρίζουμε τι σχήμα έχει το σύμπαν, διότι

απλά κάτι τέτοιο θα απαιτούσε την ύπαρξη εξωτερικού χώρου στον οποίο

βρίσκεται το σύμπαν μας. Αλλά για εμάς και για ότι υπάρχει εντός του σύμπαντος

δεν νοείται κάτι έξω από αυτό. Αρα το σχήμα του σύμπαντος είναι άγνωστο.

Θεωρούμε οτι η μεγάλη έκρηξη οδήγησε την ενέργεια και μετέπειτα την

ύλη να εξαπλωθεί με "σφαιρικό" τρόπο, αλλά δεν μπορούμε να είμαστε

σίγουροι για αυτό.

 

Αν φύγουμε από την γη ταξιδεύοντας σε μια "ευθεία" γραμμή και

επιστρέψουμε πάλι πίσω στη γη μετρώντας την απόσταση που διανύσαμε, θα

είχαμε μια μέτρηση της "διαμέτρου". Όμως ποιος μπορεί

να αποδείξει οτι αν είχαμε κινηθεί σε διαφορετική κατεύθυνση, θα είχαμε

την ίδια μέτρηση απόστασης? κανείς. Το σύμπαν είναι άπειρο προς

όλες τις κατευθύνσεις, αλλά αμφιβάλω αν είναι όμοιο σε μέγεθος.

 

Και επειδή ο χώρος είναι δημιούργημα της ίδιας της έκρηξης, όπως και ο

χρόνος, ποιος μπορεί να μας πει οτι υπάρχει κάποια άκρη; ίσως οτιδήποτε

ανήκει στο σύμπαν αυτό αν βρεθεί στην υποτιθέμενη άκρη και κάνει ένα

βήμα ακόμα, τότε απλά το σύμπαν να είναι κατά ένα βήμα μεγαλύτερο

και ίσως ποτέ να μην επιστρέφουμε πίσω γιατί ποτέ δεν υπάρχει άκρη και

τέλος.

 

 

(Επιτέλους ξεκίνησα και πάλι να ασχολούμαι με την τρέλα μου,

να είστε καλά παιδιά που με βάλατε πάλι σε διαδικασίες σκέψεις!)

 

Μηνάς Ν. Μηλιαράς

Αθήνα

[Goedel]

Αγαπητέ Μηνά,

 

Στην προσπάθεια μου να σου απαντήσω δεν μπορώ ν’αποφύγω τις τεχνικές λεπτομέρειες οι οποίες δυστυχώς είναι απαραίτητες και οι οποίες χαρακτηρίζουν την φυσική επιστήμη ως κάτι το ακριβές που μιλά για συγκεκριμένα πράγματα χωρίς να χάνεται σε απεραντολογίες ορισμών.

Όπως είπα και στην πρώτη απάντηση μου, η ακτίνα του Σύμπαντος δεν αναφέρεται σε χωρική απόσταση μέσα στο Σύμπαν αλλά είναι η ακτίνα καμπυλότητας του τρισδιάστατου χώρου. Σύμφωνα με την σημαντικότερη αρχή της κοσμολογίας η οποία ονομάζεται Κοσμολογική Αρχή και θεωρεί ότι ο χώρος είναι ομογενής και ισότροπος, η ακτίνα καμπυλότητας του Σύμπαντος έχει σταθερή τιμή στο χώρο αλλά δεν έχει σταθερή τιμή στον χρόνο εξ ου και η διαστολή του χώρου με το πέρασμα του χρόνου. Σταθερή ακτίνα καμπυλότητας σημαίνει ότι ο χώρος μας είναι η τρισδιάστατη επιφάνεια μιας τετραδιάστατης υπερσφαίρας με ακτίνα καμπυλότητας ίση με την ακτίνα του Σύμπαντος. Εδώ χρειάζεται προσοχή διότι η τέταρτη διάσταση της υπερσφαίρας στην οποία αναφέρθηκα δεν είναι ο χρόνος αλλά μια αφηρημένη χωρική διάσταση η οποία μας βοηθά να περιγράψουμε την καμπυλότητα ενός τρισδιάστατου συνεχούς. Άρα ναι μεν έχει αυστηρά καθορισμένη και μαθηματικά θεμελιωμένη έννοια το μέγεθος της ακτίνας του Σύμπαντος αλλά δεν αναφέρεται σε χωρική ποσότητα γι’αυτό και δεν έχει έννοια να μιλάμε για άκρες του Σύμπαντος.

Κατά δεύτερο λόγο εάν το Σύμπαν είναι κλειστό, ώστε να μπορούμε να μιλάμε για θετική καμπυλότητα , εάν ταξιδέψουμε σε «ευθεία» γραμμή δηλαδή μια γεωδαιτική γραμμή του χωρόχρονου, θα επιστρέψουμε ξανά στο ίδιο σημείο έχοντας διανύσει απόσταση ίση με το ολοκλήρωμα της ποσότητας 2*π*R(t) ως προς το χρόνο του ταξιδιού μας όπου R(t) είναι η καμπυλότητα του χώρου την δεδομένη χρονική στιγμή. Εξαιτίας της Κοσμολογικής Αρχής η οποία απαιτεί την ισορροπία, θα συμβεί ακριβώς το ίδιο πράγμα οποιαδήποτε κατεύθυνση διαλέξουμε για το ταξίδι μας. Όπως γράφεται χαρακτηριστικά σε βιβλία Κοσμολογίας, προς το τέλος της ζωής ενός κλειστού Σύμπαντος θα μπορεί κάποιος να δει τον ίδιο γαλαξία σε οποιαδήποτε κατεύθυνση και αν κοιτάξει εξ αιτίας το ότι το φως ταξιδεύοντας πάνω σε γεωδαιτικές θα συμπεριφερθεί όπως σου περιέγραψα.

Τέλος το Σύμπαν είναι άπειρο μόνο εάν υπακούει στο μοντέλο του ανοιχτού Σύμπαντος. Στην αντίθετη περίπτωση ναι μεν δεν έχει όρια αλλά είναι πεπερασμένο δε όπως ακριβώς συμβαίνει με την επιφάνεια μιας σφαίρας.

 

Φιλικά,

Αντώνης

[Μηνάς]

Αντώνιε,

 

προσωπικά δεν δέχομαι αυτή την απολυτότητα της Κοσμολογίας σχετικά

με την σφαιρικότητα του σύμπαντος. Θεωρώ οτι για λόγους κατανόησης

(όπως σχολίασες για την "τέταρτη" διάσταση) είναι απλό και όμορφο το

σύμπαν μας να είναι σφαιρικό. Τα πάντα στο σύμπαν μας απομακρύνονται

από τα πάντα με την ίδια ταχύτητα, οκ, γνωστό αυτό, το έχω διαβάσει και

το έχω δώσει και εξετάσεις, επιτυχώς.

 

Η δική μου άποψη όμως είναι πως το σύμπαν δεν έχει καν σχήμα.

 

Οι αστρονομικές μας παρατηρήσεις αυξάνουν διαρκώς την ηλικία του

σύμπαντος, ανακαλύπτοντας ολοένα και μεγαλύτερα redshift. Αλλά μέχρι

στιγμή δεν έχουμε συναντήσει ένα τόσο μακρινό αντικείμενο που να το

συναντάμε και στην ακριβώς αντίθετη κατεύθυνση αφού

πιστεύουμε πως το σύμπαν είναι σφαιρικό. Όπως αναφέρουν και

τα πιο πάνω link, βρέθηκαν αντικείμενα που υποδεικνύουν 20 δισ. έτη

φωτός ηλικία του σύμπαντος ενώ εμείς την υπολογίζουμε γύρω στα 15.

Και πάλι, αυτά τα τόσο μακρινά αντικείμενα δεν τα συναντάμε στην

ακριβώς αντίθετη κατεύθυνση (βέβαια μπορεί να οφείλεται σε μύριους

άλλους λόγους). Αν θεωρήσουμε οτι αυτή τη στιγμή το σύμπαν μας

συνεχίζει να διαστέλλεται, αυτό συμβαίνει επειδή τα πάντα απομακρύνονται

μεταξύ τους (εξαιρώντας τυχαίες επιρροές όπως το blueshift του δικού μας

γαλαξία με της Ανδρομέδας). Αν λοιπόν βρεθούμε κοντά στην

"άκρη" ή στο πιο απομακρυσμένο σημείο από αυτό που είμαστε τώρα,

πιστεύω πως δεν θα συναντήσουμε ποτέ τη γη μας, επειδή συνεχώς το σύμπαν διαστέλλεται.

Αν το σύμπαν αρχίσει να συρρικνώνεται, τότε θα είναι εφικτή η πρόσβαση

από την μία άκρη στην άλλη. Θεωρώ δηλαδή οτι ούτε το φως δεν είναι

ικανό να γλυτώσει από την επιρροή της συνεχούς αύξησης των εσωτερικών

αποστάσεων, για αυτό ακόμα και αν δούμε γαλαξίες σε απόσταση 30

δισ. ετών φωτός, δεν θα τους συναντήσουμε στην αντίθετη κατεύθυνση.

Μονάχα αν το σύμπαν αρχίσει να "μαζεύει", το φως θα είναι ικανό να

ταξιδέψει από ένα σημείο στο ίδιο σημείο.

 

Η συζήτηση αυτή είναι τεράστια και ίσως και εγώ αυτή τη στιγμή να μην

εκφράζομαι ως πρέπει (είμαι στην δουλειά και γράφω κρυφά... )

αλλά έτυχε να περάσω αρκετές ώρες συζητώντας την άποψη μου με

καθηγητές του Παν/μίου του Central Lancashire (έκανα κάποια courses

κοσμολογίας εκεί) και ένα μόνο μπορώ να πω: είμαι πολύ

"μικρός" για να αποδείξω την όποια άποψή μου, πόσο μάλλον να έρθω

σε ρήξη με τα όσα αποδέχεται αυτή την στιγμή η επιστήμη, αλλά θέλω

να θεωρώ την δική μου οπτική (σχετικά με την μη ύπαρξη σχήματος)

πιο αποδεκτή για μένα τον ίδιο.

 

Θα ήθελα πάντως να συνεχίσουμε αυτή τη συζήτηση.

 

Ευχαριστώ

 

Mηνάς Ν. Μηλιαράς

[Goedel]

Αγαπητέ Μάκη,

 

Θα προσπαθήσω να γίνω πιο συγκεκριμένος ώστε να γίνω και κατανοητός.

 

1)Κανείς δεν λέει ότι το Σύμπαν είναι σφαιρικό αλλά ότι η μετρική του είναι η ίδια με την μετρική της επιφάνειας μιας ΤΕΤΡΑΔΙΑΣΤΑΤΗΣ σφαίρας (θα μπορούσα να σου γράψω την ακριβή μορφή της μετρικής αλλά δυστυχώς χρειάζεται ο Equation Editor και δεν θα φανεί η εξίσωση στη σελίδα του Astrovox). Επειδή η τέταρτη διάσταση δεν αντιστοιχεί σε πραγματική διάσταση, δεν έχει έννοια να μιλάμε για το σχήμα του Σύμπαντος. Πιο αυστηρά, θα μπορούσαμε να μιλάμε για το σχήμα του Σύμπαντος μόνο εάν η τετραδιάστατη πολλαπλότητα στη οποία αντιστοιχεί το χωροχρονικό συνεχές ήταν «εμβάπτιση» σε μια πολλαπλότητα περισσοτέρων διαστάσεων κάτι το οποίο δεν συμβαίνει για προφανείς λόγους όχι μαθηματικών αλλά λογικής αναγκαιότητας μιας και ο χωρόχρονος συνίστανται απ’ όλα τα γεγονότα που απαρτίζουν το Σύμπαν άρα είναι μαθηματικώς το βασικό σύνολο και όχι υποσύνολο κάποιο άλλου συνόλου.

 

2)Η Κοσμολογική Αρχή η οποία αναφέρεται στην ομογένεια και ισοτροπία του χώρου δεν διατυπώθηκε για λόγους ομορφιάς αλλά εξ αιτίας της λογικής αναγκαιότητας να μην υπάρχουν προεξάρχουσες διευθύνσεις και τοποθεσίες μέσα στο Σύμπαν. Η αρχή αυτή υποστηρίζεται πειραματικά από την ομογένεια της ακτινοβολίας υποβάθρου. Ο αγαπητός φίλος Heal είχε κάνει κάποιες πολύ ωραίες παρατηρήσεις στην θεματική ενότητα Ακτινοβολία Υποστρώματος στις 08-09-04 και αφορούσαν στις αιτίες που προκαλούν μικρές ανομοιογένειες στην κατανομή της έντασης της ακτινοβολίας υποβάθρου.

 

3)Οι γαλαξίες , πέραν της ίδιας κίνησης τους, ΔΕΝ κινούνται ο ένας σε σχέση με τον άλλο. Αυτή η κίνηση είναι φαινόμενη και οφείλεται στην διαστολή του μεταξύ τους χώρου. Σε όλα τα βιβλία Κοσμολογίας ο χαρακτηρισμός «ταχύτητα απομάκρυνσης» χαρακτηρίζεται ως ανεπιτυχής ακριβώς διότι δημιουργεί παρανοήσεις και δεν βοηθά στην κατανόηση του φαινομένου της διαστολής του χώρου. Αν παρατηρήσεις καμπύλο χωροχρονικό διάγραμμα του Σύμπαντος σχεδιασμένο με σύστημα αναφοράς ένα γαλαξία, θα παρατηρήσεις ότι οι κοσμικές γραμμές των γαλαξιών είναι «παράλληλες» με τον άξονα του χρόνου κάτι που σημείναι ότι οι γαλαξίες ουσιαστικά δεν κινούνται αλλά επειδή το σύστημα συντεταγμένων είναι καμπυλόγραμμο εξαιτίας της θετικής καμπυλότητας, η απόσταση μεταξύ δυο ακίνητων γαλαξιών αυξάνεται με το χρόνο.

 

4)Η δυνατότητα να δεις ένα αντικείμενο από πολλές διευθύνσεις δεν οφείλεται στην μελλοντική συστολή του Σύμπαντος αλλά στο γεγονός ότι έχει θετική καμπυλότητα και άρα οι γεωδαιτικές του είναι κλειστές γραμμές.

 

Φιλικά,

Αντώνης

[Στέφανος Σοφολόγης]

Αγαπητέ Αντώνη,

 

Θα ήθελα με κάθε σεβασμό να διατυπώσω κάποιες αντιρρήσεις-ενστάσεις σ' αυτά που γράφεις παραπάνω, αν βέβαια δεν παρανοώ κάτι:

 

1. Η σχετική κίνηση των γαλαξιών είναι κοινός τόπος για την Αστρονομία και τη Φυσική εδώ και πολλά χρόνια. Παρατηρούμε και φωτογραφίζουμε τα αποτελέσματα αυτών των κινήσεων και γνωρίζουμε περιπτώσεις γαλαξιών που πλησιάζουν μεταξύ τους, που συγκρούονται αυτή τη στιγμή, που συγκρούστηκαν στο παρελθόν και τώρα απομακρύνονται, ή - όπως συμβαίνει στην συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων - που απλώς απομακρύνονται μεταξύ τους λόγω της συνολικής διαστολής του σύμπαντος (δέν χρησιμοποιώ τον όρο «διαστολή του χώρου», θα αναφερθώ σ' αυτόν πιό κάτω).

 

Γιατί λοιπόν να «απαγορέψουμε» στους γαλαξίες να απομακρύνονται μεταξύ τους λόγω διαστολής του σύμπαντος και να τους «επιτρέψουμε» μόνο τις ίδιες κινήσεις τους; Τη στιγμή μάλιστα που υπάρχει συνέχεια στις παρατηρούμενες τιμές redshift; (από blueshift μέχρι μεγάλα redshift). Τα blushift (πλησίασμα πρός το γαλαξία μας) εμφανίζεται σε κοντινούς μας γαλαξίες και όχι στους πιο μακρινούς, γεγονός που δείχνει ότι όντως οι πιό μακρινοί απομακρύνονται από μας γρηγορότερα και οι ίδιες κινήσεις τους δεν επαρκούν πλέον για να δώσουν «πλησίασμα» σαν συνισταμένη κίνηση. Γιατί λοιπόν από παρατηρούμενες συνιστώσες ταχύτητες που δίνουν παρατηρούμενη συνισταμένη ταχύτητα να δεχτούμε μόνο τη μία συνιστώσα ως υπαρκτή;

 

2. Δεν έχει κανένα απολύτως νόημα να μιλάμε πρώτα για διαστολή χώρου και μετά να μιλάμε για το τί κάνουν τα σώματα που περιέχει ο χώρος. Η διαστολή προϋποθέτει κίνηση ή αλλιώς αύξηση της απόστασης μεταξύ σημείων που μπορούν να παρατηρηθούν ή τουλάχιστον να οριστούν. Αυτό σημαίνει ότι για να μιλήσουμε έστω και θεωρητικά για «διαστολή χώρου» πρέπει να ωθηθούμε από την παρατήρηση των κινήσεων των σωμάτων που περιέχει. Μ' άλλα λόγια, τα σημεία ενός κενού από ύλη σύμπαντος ούτε ορίζονται, ούτε έχουν θέση και ιδιότητες ώστε να τους αποδώσουμε κίνηση και απομάκρυνση.

 

Επομένως όταν μιλάμε για διαστολή του σύμπαντος (και όταν τη μετράμε), εννοούμε την παρατηρούμενη σχετική απομάκρυνση των υλικών σωμάτων που περιέχει και όχι κάποια μυστηριώδη διαστολή του χωροχρονικού συνεχούς.

 

3. Τα διάφορα μαθηματικά μοντέλα με τα οποία προσπαθούμε να ερμηνεύσουμε το χώρο, το χρόνο και τις ιδιότητές τους, είναι εργαλεία εργασίας και όχι αναπαραστάσεις του σύμπαντος. Αν ένα μοντέλο π.χ. έξι διαστάσεων μας χρησιμεύσει για να περιγράψουμε κομψότερα και οικονομικότερα πιθανές ιδιότητες του χώρου και του χρόνου, δέν σημαίνει ότι αποδείξαμε ότι το σύμπαν έχει έξι διαστάσεις και εμείς οι «φτωχοί» αντιλαμβανόμαστε μόνο τρείς συν μία. Είναι λανθασμένο να ζητάμε από τις μαθηματικές εξισώσεις και τις λύσεις τους (δημιούργηματα βαθύτατα ανθρώπινα) να «καταλάβουν» για λογαριασμό μας ευρήματα που εμείς δεν παρατηρούμε και δεν αντιλαμβανόμαστε.

 

Εν τέλει, όσο βαδίζουμε προς τα πρωταρχικά κοσμολογικά ερωτήματα τόσο πιο ανεπαρκή εμφανίζονται τα μαθηματικά μοντέλα και οι προχωρημένες θεωρίες, άν είναι αποσπασμένα από το φιλοσοφικό και λογικό αισθητήριο του ανθρώπου, αφού αυτά τα δύο στοιχεία είναι που θέτουν τα πρωταρχικά ερωτήματα.

• Φιλικά, Στέφανος

[Heal]

Αγαπητέ Στέφανε,

 

Έχω την αίσθηση πως παρανόησες την 3η επισήμανση του Αντώνη. Οι γαλαξίες (αν αναφερθούμε στην απομάκρυνση την οποία παρατήρησε ο Χάμπλ, αγνοώντας τις ίδιες κινήσεις γιατί δεν έχουν να κάνουν με κοσμολογικές αιτίες) μετακινούνται ο ένας ως προς τον άλλον ή ο χώρος μεταξύ τους είναι αυτός που διαστέλλεται;

 

Αν θεωρήσουμε ότι μετακινούνται ο ένας ως προς τον άλλο τότε θα καταλήξουμε σε μερικά άτοπα: όπως ότι προυπάρχει ένας "ανενεργός" χώρος άδειος (με όλη του την ύλη συγκεντρωμένη σε ένα σημείο), στο οποίο έγινε η μεγάλη έκρηξη και έπειτα μέσα σε αυτόν μετακινούνται οι γαλαξίες, ακόμα δεν περισσότερα προβλήματα έχουμε αν μιλήσουμε για ένα άπειρο σύμπαν.

 

Αντιθέτως αν θεωρήσουμε ότι ο χώρος μεταξύ των γαλαξιών είναι αυτός που διαστέλλεται, τότε μπορούμε να αναπτύξουμε σωστά την θεωρία της μεγάλης έκρηξης. Η πρώτη περίπτωση δεν διαφέρει σε τίποτα από την έκρηξη μιας χειροβοβμίδας, της οποιας τα θράυσματα είναι οι γαλαξίες. Τώρα αν έχει νόημα η διαστολή ενός κενού σύμπαντος, πραγματιά δεν μπορώ να σκεφτώ κάτι, με προβληματίζει και μένα πολλές φορές...

 

Τέλος η ακτινοβολία υποβάθρου προϋποθέτει αναγκαστικά την διαστολή του χώρου και όχι απλή απομάκρυνση των σωμάτων που βρίσκονται μέσα σε αυτόν. Διότι αν απλά μιλάγαμε για απομάκρυνση των γαλαξιών, τότε δεν θα είχε κανένα λόγο να έχει τόσο μεγάλο μήκος κύματος, αλλά θα διατηρούσε το αρχικό της.

[Μάκης Μαυρουδής]

Αγαπητέ Αντώνη

 

Έχεις κάνει «δύο τρομερά λάθη»: 1) Σκαλίζεις το παρελθόν και αυτό για όλους είναι «επικίνδυνο» και 2) Μιλάς με τον Μηνά και στο μυαλό σου έχεις τον Μάκη. Για το δεύτερο που με τιμά, δεν μπορώ να κάνω τίποτα, στο πρώτο όμως θα προσπαθήσω να βοηθήσω αποφεύγοντας αυτή τη φορά τις οξύτητες! Σαν καλό παιδί λοιπόν θα παρακαλούσα και τον Κώστα (Heal) να μου αφαιρέσει και το προσωνύμιο «Αστρόφιλος», γιατί το μόνο που προσπαθώ αρκετά χρόνια τώρα μετά από τόση πνευματική «παραμόρφωση» που δεχθήκαμε, είναι, να γίνω ο εαυτός μου. Επειδή (πάντα κατά την εκτίμησή μου), πολύ επιστημονικό παραμύθι τρώμε, το να παραμείνουν κάποιοι σταθεροί σε Ηρακλειτικές απόψεις, χαρακτηρίζεται σαν μιά «ευχάριστη φαιδρή νότα» που ωστόσο, δίνει την νοστιμιά στον πολιτισμό μιας ανθρώπινης κοινωνίας χωρίς επιστημονικές απάτες (τρικ).

Έτσι, πιστός στο ιστορικότερο επιστημονικό απόσπασμα όλων των εποχών που λέει ότι: «Αυτόν εδώ τον κόσμο, τον ίδιο για όλους ούτε κάποιος από τους θεούς τον έφτιαξε ούτε άνθρωπος [με τις θεωρίες του], αλλά ήταν είναι και θα είναι ακτινοβολία που ανάβει με μέτρο και σβήνει με μέτρο», δεν δέχομαι επιστημονικοφανείς απόψεις στα όρια του φαινομενικού, αντίθετες στην παραπάνω ρήση, όταν μάλιστα δεν έχουν αποδείξει ότι η συχνότητα της ακτινοβολίας «γ» δεν αλλάζει πολύ αργά αλλά αισθητά σε πολύ μεγάλες αποστάσεις. Τις αποδείξεις μου τις έχω και από το γεγονός ότι, αν και άθεος, εφαρμόζω την συμβουλή του λεγόμενου «Χριστού» που είπε: «Μην ακούς τα λόγια τους (και τις θεωρίες τους που προορίζονται για τους πολλούς). Να βλέπεις τα έργα τους» και τα έργα τους στους υπόγειους επιταχυντές σωματιδίων και στις υπόγειες στοές και διαδρομές τους, λένε ότι συγκρούουν ύλη και όχι άϋλη ενέργεια ή « θεωρητικό αέρα κοπανιστό»!

Επειδή δεν ομολογούν δημόσια το προφανές και «ανομολόγητο», οι θεωρίες τους πέφτουν σε αντιφάσεις και το μόνο που τους μένει είναι να μας αλλοιώσουν και τον λόγο μιλώντας π.χ για «πεπερασμένο άπειρο» σύμπαν και άλλα τέτοια. Συμφωνώ με τον Μηνά στο σημείο που λέει ότι όταν κάτι είναι απλά άποψη ή εικασία, πρέπει να το λέμε καθαρά, για να ενθαρρύνουμε τους άλλους ερευνητές να αναζητήσουν και κάτι διαφορετικό.

Όταν λοιπόν, για παράδειγμα, ρωτήσει κανείς «που πήγε τόσο ορατό φως», αυτό που εκπέμπουν αμέτρητοι ήλιοι, η εξήγηση που δίνουν είναι λιγότερο πειστική και από τις θρησκείες.

Ένα μέρος πρέπει να σχηματίζει ύλη, ένα άλλο πρέπει να περνάει στην περιοχή του μη ορατού φάσματος.

Αυτά προς το παρόν και για την ακτίνα τπυ σύμπαντος ίσως τα πούμε στη συνέχεια.

 

Φιλικά Μάκης

[aktistar]

Ο Στέφανος διατύπωσε πραγματικά ωραία στο (3) το ερώτημα που μας οδηγεί απ' ευθείας στα καυτά επιστημολογικά προβλήματα.

 

Στην προσπάθεια να εκλαϊκεύσει κανείς ένα θεωρητικό μοντέλο γίνεται αντιληπτό οτι ο κόσμος της επιστήμης δεν ταυτίζεται ίσως με τον κόσμο της καθημερινότητάς μας. Η δυσκολία αυτή ίσως να προκύπτει σε κάθε περίοδο της ιστορίας της επιστήμης όταν νέες θεωρίες αντικαθιστούν τις παλιότερες.

Μετά από κάποιο διάστημα η μεγάλη εξοικείωση με την επιστημονική θεωρία και τις εφαρμογές της οδηγεί στην απώλεια αυτής της εντύπωσης του παράδοξου. Και αυτό ίσως γιατί ακόμη και οι κατηγορίες και τα πράγματα εκείνα που μας φαίνονται αναμφισβήτητα στην καθημερινή ζωή έχουν διαμορφωθεί μέσα από τρόπους ζωής και γλωσσικά παιγνίδια του παρελθόντος.

 

Ίσως η δυσκολία να προέρχεται σε όλες τις περιπτώσεις από το γεγονός πως - όπως έχει πεί ένας δικός μου γνωστός - "είναι η ενότητα κόσμου-και-ανθρώπου που δημιουργεί τον κόσμο και τον άνθρωπο".

 

Γιάννης

[Goedel]

Αγαπητέ Στέφανε,

 

Πριν ξεκινήσω πρέπει να πω ότι οι αυτά που θα πω είναι συμπληρωματικά σ’αυτά που ήδη είπε ο φίλος Heal και τα οποία είναι σωστά και τεκμηριωμένα.

Δυστυχώς πρέπει να δεχτείς ότι η γλώσσα της φύσης, η οποία δεν είναι άλλη από τα μαθηματικά, είναι επίπονη και δυσνόητη αλλά χωρίς αυτήν δεν μπορούμε να περιγράψουμε την συμπεριφορά της πραγματικότητας. Η προσπάθεια εκλαΐκευσης τόσο αφηρημένων θεμάτων όσο η Γενική Θεωρία και η εφαρμογή της στην Κοσμολογία, είναι μια απέλπιδα προσπάθεια διότι είναι σαν να προσπαθεί κάποιος να σου εξηγήσει ένα ποίημα σε γλώσσα που δεν γνωρίζεις.

Στην προσπάθεια μου να σου μιλήσω για την έννοια της διαστολής του χώρου θ’αναφερθώ αρχικά σε ιστορικά στοιχεία λέγοντας ότι η εξήγηση της ερυθράς μετατόπισης και της απομάκρυνσης των γαλαξιών ήταν ήδη γνωστά ακόμα και την εποχή που ζούσε ο ίδιο ο Einstein. Η διαστολή του χώρου προβλέπεται από τις λύσεις των εξισώσεων πεδίου της Γενικής Σχετικότητας όπως αυτές παρουσιάστηκαν από σύγχρονους του Einstein του φυσικούς Friedman–Walker. Το μοντέλο στο οποίο εσύ αναφέρεσαι, με τους γαλαξίες ν’ απομακρύνονται εξ αιτίας της κίνησης του ΜΕΣΑ στο χώρο και όχι ΜΑΖΙ με το χώρο, ονομάζεται στατικό μοντέλο διότι οι μετρικές ιδιότητες του χώρου δεν μεταβάλλονται με τον χρόνο. Αυτό ήταν το πρώτο μοντέλο του Σύμπαντος που εξέτασε ο Einstein και το οποίο όσο και αν προσπάθησε να εγκαθιδρύσει, δεν μπόρεσε να το πετύχει διότι ήταν ανακόλουθο και δεν μπορούσε να προκύψει ως λύση των εξισώσεων χωρίς την χρήση ad hoc υποθέσεων όπως αυτή της κοσμολογικής σταθεράς. Ο ίδιος ο Einstein χαρακτήρισε αυτή του την προσπάθεια ως την μεγαλύτερη γκάφα της ζωής του διότι εάν δεν προσπαθούσε να εξάγει μια λύση στατικού Σύμπαντος θα είχε προβλέψει θεωρητικά τον νόμο του Hubble πριν ακόμα αυτός τον παρουσιάσει στην επιστημονική κοινότητα.

Τώρα πιο συγκεκριμένα και πιο επιστημονικά, το γεγονός ότι οι γαλαξίες απομακρύνονται χωρίς αυτό να σημαίνει ότι κινούνται στο χώρο οφείλεται στο ότι ενώ οι χωρικές συντεταγμένες του ενός ως προς τον άλλο παραμένουν οι ίδιες, εξαιτίας της μεταβολής της μετρικής του χώρου η απόσταση μεταξύ τους αυξάνει. Αυτό σημαίνει ότι αν είχες μια τεράστια μεζούρα και συνέδεες δυο γαλαξίες θα έβρισκες περιέργως ότι οι δυο γαλαξίες βρίσκονται πάντα πάνω στις ίδιες χαρακιές της μεζούρας δηλαδή οι συντεταγμένες του ενός ως προς τον άλλο δεν μεταβάλλονται αν και έχει μεταβληθεί η μεταξύ τους απόσταση γιατί καμπυλώθηκε ο χώρος.Το ότι δεν αλλάζουν οι μεταξύ τους συντεταγμένες σημαίνει ότι κατ’ ουσία οι γαλαξίες δεν κινούνται μέσα στο χώρο αλλά ο μεταξύ τους χώρος αλλάζει μετρικές ιδιότητες. Εκείνο που καθιστά δυνατή αυτή τη συμπεριφορά είναι η διαφορά μεταξύ των εννοιών της τοπολογίας και της μετρικής, έτσι ενώ κατά τη διαστολή η τοπολογία του χωροχρόνου δεν αλλάζει αυτό που αλλάζει είναι η μετρική η οποία καθορίζει και τον τρόπο με τον οποίο μετριέται η απόσταση δυο σημείων του συνεχούς.

Σε περίπτωση που όντως οι γαλαξίες κινούνταν τότε πέραν των όσων ορθά ανέφερε ο Heal, στα πρώτα στάδια δημιουργίας του Σύμπαντος όπου η διαστολή ήταν εκθετική με εκθέτη 2/3 οι «ταχύτητες» απομάκρυνσης θα ήταν μεγαλύτερες αυτής του φωτός κάτι το οποίο απαγορεύεται από την ίδια τη φύση. Επίσης δεν είναι γεωμετρικά πραγματοποιήσιμη μια κατάσταση η οποία να έχει προκύψει από έκρηξη και στην οποία ο κάθε γαλαξίας ν’αποκακρύνεται απ’όλους τους άλλους. Θα μπορούσα να σου φέρω πολλά τέτοια παραδείγματα αλλά εάν έχεις έστω και την παραμικρή αμφιβολία θα μπορούσες να πας στην περιοχή της σελίδα 730 του πιο κλασικού συγγράμματος Κοσμολογίας που δεν είναι άλλο από το Gravitation των Wheeler, Misner και Thorne. Εκεί αναλύονται με κάθε λεπτομέρεια τα Κοσμολογικά μοντέλα καθώς επίσης εξηγείται και η απομάκρυνση των γαλαξιών.Εαν θέλεις κάτι χωρίς πολλά μαθηματικά μπορείς να διαβάσεις το κεφάλαιο «Μεγάλης κλίμακας γεωμετρία του χωροχρόνου» στο βιβλίο The Physical Universe : Introduction to Astronomy του βραβευμένου φυσικού Shu. Εν γενη όποιο βιβλίο Κοσμολογίας και αν ανοίξεις θα διαβάσεις αυτά ακριβώς που σου μεταφέρω διότι προφανώς δεν είναι οι απόψεις μου αλλά τα ευρήματα της σύγχρονης φυσικής.

 

Φιλικά,

Αντώνης

[aktistar]

Αγαπητοί φίλοι,

Κατά τη γνώμη μου η παρέμβαση του Στέφανου δεν είχε σαν στόχο να αμφισβητήσει την εγκυρότητα του ορθόδοξου κοσμολογικού μοντέλου της εποχής μας αλλά να υποδείξει (επιτυχημένα κατά τη γνώμη μου) με ποιο τρόπο η δυσκολία μιας εκλαϊκευμένης παρουσίασης της σύγχρονης κοσμολογίας παραπέμπει σε σημαντικά φιλοσοφικά ερωτήματα.

 

Συγκεκριμένα ο Στέφανος αναφέρθηκε στη διάκριση μεταξύ εργαλειακής αλήθειας του μοντέλου και υπερβατικής αλήθειας της φύσης.

 

Εφόσον νοήματα όπως ο χώρος, ο χρόνος και η ύλη αποκτώνται πρωταρχικά μέσα από τα βιώματα και τις ανάγκες της καθημερινότητας, η χρήση των νέων μοντέλων, που περιγράφουν π.χ. τον χώρο σαν κάτι ανεξάρτητο από τα αντικείμενα, δεν είναι δυνατόν παρά να κριθεί και να νομιμοποιηθεί σε τελική ανάλυση από τη δυνατότητα της επιτυχημένης τους ένταξης στον κόσμο της καθημερινής δραστηριότητας και επικοινωνίας. Οι έννοιες που χρησιμοποιούμε παραδοσιακά είναι δυνατόν να επεκτείνονται, να εμπλουτίζονται και να γενικεύονται μέσα από τις καινούργιες δραστηριότητες που προκύπτουν, μέσα από τα νέα δεδομένα στα οποία πρέπει να ανταποκριθούμε.

 

Όμως ακόμη και αν αναγνωρίζαμε στην (επιτυχημένη) επιστημονική θεωρία απόλυτες εξουσίες σε σχέση με την «οντοθεσία» της φυσικής πραγματικότητας, ο κόσμος στον οποίον ζούμε είναι πάντοτε πολύ πλουσιότερος σε «απόψεις» από τον αντικειμενοποιημένο κόσμο της φύσης που εξετάζει η Επιστήμη.

Θα ήταν λάθος λοιπόν να θεωρήσουμε ότι ο Άινσταιν περιγράφει τον χρόνο πληρέστερα ή ορθότερα απ’ότι ο Προύστ στην «Αναζήτηση του Χαμένου Χρόνου» !

 

Όμως το φόρουμ αυτό δεν είναι κατάλληλο για φιλοσοφικές συζητήσεις αυτού του τύπου. Οι επισημάνσεις του Αντώνη είναι εύστοχες, τεκμηριωμένες και ενδιαφέρουσες αρκεί να προσπαθήσει να τις καταλάβει κανείς μέσα στα πλαίσια των κανόνων του παιγνιδιού που ονομάζουμε Επιστήμη της Φύσης.

 

Γιάννης

[Στέφανος Σοφολόγης]

Αγαπητοί φίλοι,

 

θα έλεγε κανείς ότι ο Γιάννης ήταν μέσα στο μυαλό μου όταν έγραφε τα παραπάνω - ευχαριστώ Γιάννη - όμως οφείλω να μιλήσω και ο ίδιος.

 

1. Να ξεκαθαρίσω πρώτα το εξής: Δέχομαι χωρίς περιστροφές τις κατακτήσεις της σύγχρονης Φυσικής, όχι επειδή αποτελλούν την απόλυτη και ακατάρριπτη αλήθεια (η ιστορία της επιστήμης μας έχει δώσει μαθήματα), αλλά επειδή τεκμηριώνονται με την επιστημονική μέθοδο και άρα είναι ό,τι καλύτερο μπορούμε να έχουμε στα χέρια μας μέχρι στιγμής. Αν απορρίψω κάτι, δεν θα έχω να αντιπροτείνω τίποτα καλύτερο. Εξάλλου πριν απορρίψω ευρήματα των σκαπανέων της επιστήμης θα έπρεπε να έχω ανάλογο βαθμό γνώσεων και αφοσίωσης στην επιστήμη με αυτούς .--

 

2. Αν και καταλαβαίνω τι θέλει να πεί ο Αντώνης, θα πω ό,τι τα μαθηματικά δεν είναι η γλώσσα της φύσης. Είναι η γλώσσα που χρησιμοποιεί ο νοήμων άνθρωπος για να αντιληφθεί, να περιγράψει και να ερμηνεύσει το περιβάλλον του (και να το προβλέψει), και ταυτόχρονα το ισχυρότερο εργαλείο του. Οι φυσικοί νόμοι που ανακάλυψε και διατύπωσε για δική του χρήση, ασφαλώς θα ίσχυαν και θα συμβάδιζαν με την εξέλιξη του σύμπαντος και πρίν την εμφάνιση του ανθρώπου - η μαθηματική τους διατύπωση όμως, είναι εντελώς άχρηστη και ανύπαρκτη χωρίς τον άνθρωπο.

 

Το σύμπαν είναι αυτό που είναι (ό,τι κι αν είναι) και ο άνθρωπος πάντα θα προσπαθεί με πρωτόγονα εργαλεία (για την ώρα: μαθηματικά, τηλεσκόπια, υπολογιστές) να το ερμηνεύσει, δηλ. να το φέρει στα μέτρα του ώστε να το κατανοήσει. Αυτό και μόνο, κατά την άποψή μου, είναι πολύ υψηλή και ευγενική εργασία.

 

3. Η αφορμή για όσα έγραψα νωρίτερα ήταν η καταληκτική πρόταση του Αντώνη: «η απόσταση μεταξύ δύο ακίνητων γαλαξιών αυξάνεται με το χρόνο» μαζί με το «ΔΕΝ κινούνται ο ένας σε σχέση με τον άλλο». Θα αναγκαζόμασταν ποτέ να δεχτούμε ως αληθινή τη διαστολή του χώρου αν δεν μας οδηγούσε εκεί η αναζήτηση αιτίας* για την αληθινή αύξηση της απόστασης των γαλαξιών; Η αληθινή αύξηση (ή μείωση) της απόστασης λοιπόν, άσχετα αν συμβαίνει λόγω μεταβολής της μετρικών ιδιοτήτων του χώρου, συμπίπτει νοηματικά με τη σχετική κίνηση (αφού μάλιστα επιβεβαιώνεται από την παρατήρηση). Είναι προτιμότερο να το διατυπώσουμε έτσι, παρά να χρησιμοποιήσουμε σε κείμενο Φυσικής την οξύμωρη φράση: «αυξάνεται η απόσταση μεταξύ δύο σχετικά ακίνητων γαλαξιών». Μερικά βιβλία γράφουν ότι ο χώρος διαστελλόμενος συμπαρασύρει τους γαλαξίες αυξάνοντας την μεταξύ τους απόσταση. Αυτή η διατύπωση μου φαίνεται ιδανική. Επιπλέον υπονοεί κίνηση των γαλαξιών.

Εν πάσει περιπτώσει, αν παραμείνει κάποια διαφωνία πιστεύω ότι θα οφείλεται καθαρά σε θέματα ορισμού του «αληθινού» και του «φαινομενικού» για τον άνθρωπο, καθώς και της απόλυτης ή μη συσχέτισης της «αύξησης (ή μείωσης) της σχετικής απόστασης» με τη «σχετική κίνηση».

• Φιλικά, Στέφανος

 

*Αφού από τη στιγμή του Big-Bang και μετά:

α) η διαστολή του χώρου,

β) η ροή του χρόνου,

γ) η εξάπλωση της ύλης (μείωση της πυκνότητας) συμπεριλαμβανομένου και του dark matter ο πιθανός τεράστιος ρόλος του οποίου δεν συμμετείχε στη συζήτησή μας,

συμβαίνουν ταυτόχρονα και συνυφασμένα, πόσο ασφαλές είναι τελικά να θεωρούμε ότι το πρώτο προκαλεί το τρίτο και ότι δεν είναι και τα τρία «ισότιμες» όψεις της εξέλιξης του ιδίου φαινομένου;

[Μάκης Μαυρουδής]

Χάιντε θύμα, χάιντε ψώνιο

χάιντε Σύμβολον αιώνιο!

Αν ξυπνήσεις, μονομιάς

θα 'ρτη ανάποδα ο ντουνιάς.

(Βάρναλης, από την μπαλάντα του κύρ’ Μέντιου)

 

Αν συνεχίσετε να σκέφτεστε έτσι φίλοι μου Σοφολόγη και aktistar, τότε το σλόγκαν σου Στέφανε θα γίνει: «Αν υπάρχει μόνο μία επιτυχημένη επανάσταση στη φύση μας, αυτή μόνο επιστημονική θα μπορούσε να ήταν». […και όπου νάναι έρχεται. «Ο γαρ καιρός εγγύς»]. Τότε η αλήθεια θα γίνει αλάθεια και σοφόν το σαφές.

Γι’ αυτό και γω θα σας κάνω «με το ζόρι» ένα δώρο, μια και την προηγούμενη φορά δεν το θελήσατε. Το δώρο αυτό, που μαζί με πολλά άλλα, «τόκλεψα» από τους Δαναούς του Ομήρου, σαν τον Ήφαιστο, λέγεται: «Η απομυθοποίηση του τετραδιάστατου χώρου». Όμως, να προσέχετε πολύ παιδιά μου, διότι γενικώς έχουμε γεμίσει από «άδολους σωτήρες» για τους οποίους ισχύουν τα λόγια μου: «Φοβού τη διανόηση και δώρα φέρουσα», όπως ακριβώς είπε και ο («μακαρίτης») Αριστοτέλης με τα παρακάτω λόγια:

«Και τα παιδία, τον μεν πρώτον προσαγορεύει πάντας τους άνδρας πατέρας και μητέρας τας γυναίκας, ύστερον δε διορίζει τούτων εκάτερον» [δηλαδή, αν δεν ξέρεις τι είναι λόγος, τότε όλους (πνευματικούς) πατέρες και μητέρες τους λές. Πολύ αργότερα όμως (αν τα καταφέρεις μόνος σου ή σε βοηθήσουν) θα διακρίνεις ποιοι ήταν οι αληθινοί «φυσικοί» σου γονείς, αυτοί που πραγματικά σ’ αγάπησαν].

 

Ελπίζω λοιπόν ότι στο προκείμενο θα με καταλάβετε, διότι όλοι σας λίγο - πολύ ασχολείστε ερασιτεχνικά με τα άστρα.

Έστω ότι βρίσκεστε στη θέση του ήλιου, δηλαδή στο κέντρο της ουράνιας σφαίρας και ότι παρατηρείτε τους γύρω πλανήτες, π.χ την γή μας, που διαχρονικά και αυτή είναι σφαιρική και ο άξονας της περιστροφής της γίνεται κάθετος στο επίπεδο της εκλειπτικής, το οποίο (και πάλι διαχρονικά) ταυτίζεται με το ισημερινό επίπεδο. Ο οπτικός κώνος της παρατήρησής μας, ή αν θέλετε γενικώς οι ακτινοβολίες «γ» που δεχόμαστε από τη γή, είτε είναι πηγαίες είτε από ανάκλαση, έχει βάση τον κύκλο – προβολή της γήϊνης σφαίρας, ακτίνας «ρ». Ένα αντικείμενο που βρίσκεται στην επιφάνεια της γής και πάνω στη διάκεντρο – ύψος του «οπτικού» κώνου, είναι ένα αντικείμενο σε κάτοψη που μας δείχνει τις δύο του διαστάσεις, μήκος και πλάτος. Όταν με την περιστροφή της γης φθάσει στην περιφέρεια του κώνου, τότε μας δείχνει και το ύψος του.

Για την απόστασή του από το κέντρο «ο» της γής, αρχή του γήϊνου συστήματος συντεταγμένων ο(x,y,z) , ισχύει προφανώς η σχέση: x2+y2+z2=ρ2. Παρατηρώντας το στη θέση του Α, της περιφέρειας, μπορούμε να μιλήσουμε για ένα ιδεατό ορθογώνιο στο Α τρίγωνο ΟοΑ, όπου «Ο(X,Y,Z)» το σημείο παρατήρησης, κέντρο της ουράνιας σφαίρας. Αν «r» η απόσταση (Οο), «w» η απόστασή του από το Ο, τότε έχουμε: ρ2+w2=r2, ή x2+y2+z2+w2=r2.

Ο ιδεατός κύκλος ακτίνας r και ο κύκλος της γήϊνης προβολής (βάσης του οπτικού κώνου), κατά τα γυμνασιακά μας, τέμνονται κάθετα στο Α.

Εκφραζόμενοι στον «τερταδιάστατο» χώρο, και με τους όρους του Αντώνη και του Κώστα, η γήϊνη σφαίρα είναι (κάθετα) «εμβαπτισμένη» στη σφαίρα παρατήρησής μας.

Η αθέατη πλευρά της γης (σε μεγάλες αποστάσεις) ταυτίζεται σχεδόν με ένα ημισφαίριο της γης εμβαδού επιφάνειας 2πρ2.

Η εκ περιστροφής επιφάνεια που γεννιέται σε όλη την ουράνεια σφαιρική επιφάνεια παρατήρησης σωμάτων σαν την γη, έχει εμβαδόν προβολής S3=2π2r3 (προσοχή δεν περιστρέφεται ds χορδή αλλά επιφάνεια!) και όγκο εκ περιστροφής V4=π2r4/2. Aν δε εκφράσουμε την απόσταση w=ct, τότε ο λεγόμενος τετραδιάστατος χώρος γίνεται κομψότερος!

Τώρα λοιπόν, ρωτάω και γω με τη σειρά μου τον Rieman, τον Einstein και όλα τα «καλά παιδιά»:

Πού είδατε μέχρι εδώ να μην ισχύει η Ευκλείδεια γεωμετρία, όταν μάλιστα (επίσημα) και από την εποχή του Αρχιμήδη είναι γνωστά όχι μόνο κύκλοι και ελλείψεις αλλά και οι μαθηματική εξίσωσης της σπείρας; (Και νάταν μόνο αυτά!). Ποιός θα μου απαντήσει;

 

Φιλικά Μάκης

 

Υ.Γ Αν θέλετε ένα «πενταδιάστατο» χώρο, τότε μεταφερθείτε νοητικά στο κέντρο του γαλαξία και παρατηρείστε τους ήλιους. Για έξι διστάσεις, παρατηρείστε γαλαξίες κ.ο.κ.

[Μάκης Μαυρουδής]

…Και για να διευκολύνω περισσότερο όσους θα μπουν στον κόπο να ψάξουν, λέω ότι δεν είναι επιστήμη το μη θέλεις να μιλήσεις ανοιχτά «για ροή ύλης» αλλά για μυστήριους «ενεργειακούς γεωμετρικούς τόρους» υπερεπιφανειών (εκ περιστροφής) τους οποίους στη συνέχεια ολοκληρώνεις για να πάρεις «υπερόγκους» όντας κατά βάθος και «εν κρυπτώ» ένας φανατικός (Πυθαγόρειος) γεωμέτρης που δεν αποκαλύπτει το πολύ συγκεκριμένο πρότυπο του (βλ. Einstein). Έτσι, αν δεν δίνεις φυσική ερμηνεία σε μαθηματικά μοντέλα, σε ολοκληρώσεις και παραγωγίσεις, φαίνεται (ενώ δεν είναι έτσι) σαν να δουλεύεις πάνω σε ένα άυλο θεωρητικό πρότυπο και ότι όλη η απόδειξη κατασκευάζεται.

Μπορείτε λοιπόν κατά την έρευνά σας να εξετάσετε και την εξής περίπτωση:

Έστω ότι ισχύει η ενοποίηση στη φύση και ότι δεν υπάρχουν +, - φορτία και άλλα παρόμοια, αλλά μόνο κινούμενη ύλη. Τότε μόνον συγκεκριμένες μορφές κίνησης μπορούν να «δέσουν» και η απουσία τους ή η κρούση μπορούν να αποσυνθέσουν όλες τις υλικές δομές.

Όσοι παρερμήνευσαν την αρχαία Ελληνική φιλοσοφία (όπως ο Μάρξ και η παρέα του, που αυτοχρίστηκαν εκπρόσωποι του υλισμού ) μίλησαν για σύνθεση αντιθέτων. Αν θέλουμε να κυριολεκτούμε με μαθηματικούς και φυσικούς δυναμικούς όρους πρέπει να μιλάμε για σύνθεση αντιφατικών και όχι αντιθέτων.

«Ένα το σοφό στη μοναξιά του, θέλει και δεν θέλει να γίνει διάδα» λέει ο Ηράκλειτος (για όσους τον κατάλαβαν).

Η ιδιότητα του αεικίνητου, στο δομικό λίθο της ύλης (που μπορεί να σου φαίνεται στις σύνθετες υλικές δομές ότι ακινητεί «όταν κινείται εν εαυτώ», όπως λέει ο Αριστοτέλης) μπορεί να ερμηνεύσει πολλές μας απορίες. Μια τέτοια θεώρηση οδηγεί κατ’ ευθείαν στα λεγόμενα κανονικά πολύεδρα του χώρου, με τα οποία δεν υπάρχει ούτε ένας σοβαρός επιστήμονας που δεν ασχολήθηκε. Τα τελευταία χρόνια τα σχήματά τους τα βλέπουμε σε όλα τα υπεραγώγιμα και ανθεκτικά υλικά. Πολλά θα βρείτε «σκάβοντας» εκεί. Ίσως και την απάντησή σας στο αρχικό ερώτημα.

 

Φιλικά Μάκης

[Heal]

Λίγο καθυστερημένη η απάντηση μου, αλλά ψάχνοντας σε ένα βιβλίο (Cosmology, Liddle σελ 80 και εξής) για άλλο θέμα, έπεσα στην εξήγηση του συγκεκριμένου ζητήματος που μας απασχολεί. Επειδή η ερώτηση είναι η ακτίνα του γνωστού σύμπαντος θα προσπαθήσω να απαντήσω σε αυτό πρώτα. Το πιο μακρυνό (ή ισοδύναμα παλιό) πράγμα που μπορούμε να δούμε στο σύμπαν είναι η ακτινοβολία υποβάθρου. Πριν από αυτήν την εποχή το σύμπαν ήταν αδιαφανές οπότε καμία πληροφορία δεν μπορεί να φτάσει σε εμάς άμεσα με παρατήρηση. Αντιστοιχεί σε θερμοκρασία 3000Κ, σε μετατόπιση doppler z=1100 και χρονικά τοποθετείται 350000 χρόνια μετά την μεγάλη έκρηξη, δηλαδή περίπου 13-15 δις χρόνια πριν από σήμερα, οπότε και το μακρινότερο αντικείμενο που θα μπορέσουμε να δούμε θα βρίσκεται το πολύ σε μια απόσταση αυτής της τάξης μεγέθους, σε έτη φωτός πράγμα σύμφωνο με τις παρατηρήσεις. Όσον αφορά το συνολικό μέγεθος του σύμπαντος δεν έχω τίποτα παραπάνω να πω από αυτά που είπε ο Αντώνης περί ακτίνας καμπυλότητας.

 

Τέλος για το ζήτημα αν μετακινούνται οι γαλαξίες ή αν μεγαλώνει ο μεταξύ τους χώρος βρήκα μια πιο εμπεριστατωμένη απάντηση, από αυτά που πρόχειρα είχαμε πει νωρίτερα. Στα μοντέλα περιγραφής του σύμπαντος θεωρούμε το εξής: η απόσταση δύο αντικειμένων είναι: r=a.x όπου x είναι η συντεταγμένη του αντικειμένου που αναφερόμαστε και a ο παράγοντας κλίμακας. Επειδή έχουμε το δικαίωμα να θεωρήσουμε ως ακίνητο σύστημα αναφοράς το σ.σ. του αντικειμένου dx/dt=0 οπότε η όποια μεταβολή στην απόσταση r θα οφείλεται στον όρο da/dt. Ο όρος αυτός (a) θα εμφανιστεί στη συνέχεια, λύνοντας τις εξισώσεις του Einstein ως παράγοντας κλίμακας (scale factor) που θα είναι αυτός που θα αλλάζει και εκφράζει τη διαστολή του χώρου. Το παραπάνω μπορεί να γενικευτεί για κάθε γαλαξία θεωρώντας τον ακίνητο (δηλαδή η συντεταγμένη x, comoving distance (=συμμετακινούμενη απόσταση?, αν το μεταφράζω σωστά) να μην αλλάζει) και έτσι να φτάσουμε στην διαστολή του σύμπαντος, χωρίς να έχουμε την ανάγκη της μετακίνησης των γαλαξιών, η οποία θα μας δημιουργήσει τα προβλήματα που είπε ο Αντώνης και παράλληλα θα αντίκειται στην κοσμολογική αρχή -ισοτροπία ομοιογένεια-.

 

Όσον αφορά την μετατόπιση Doppler: γενικά ισχύει για ένα κύμα που προέρχεται από μια πηγή σε σχετική κίνηση με τον παρατηρητή ότι 1+z=λπαρ/λεκπ (όπου λ το μήκος κύματος) και επιπλέον 1+z=sqrt((1+v/c)/(1-v/c)), όπου v και c οι ταχύτητες της πηγής και του φωτός αντίστοιχα. Αν δούμε λοιπόν μια φασματική γραμμή μετατοπισμένη εύκολα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο γαλαξίας κινείται σε σχέση με εμάς. Πριν από λίγο όμως εξηγήσαμε γιατί δεν μας αρέσει να σκεφτόμαστε περί κίνησης γαλαξιών. Αν δουλέψουμε με το μοντέλο του Friedmann (που προκύπτει από την επίλυση των εξισώσεων του Einstein) βρίσκουμε ότι 1+z=aπαρ/aεκπ, δηλαδή το φαινόμενο doppler οφείλεται στην μεταβολή του παράγοντα κλίμακας a, δηλαδή στη διαστολή του σύμπαντος. Για ένα παραστατικό παράδειγμα αν φαντασούμε ότι γράφουμε σε ένα ελαστικό υλικό μια απόσταση λ και τεντώνουμε το πλαστικό ώστε ο παράγοντας κλίμακας να γίνει από a1 a2 τότε και το μήκος λ θα μεταβληθεί κατά τέτοιο τρόπο ωστε λ1/λ2=a1/a2, οπότε εμείς θα το βλέπουμε πιο κόκκινο σαν να απομακρύνεται από εμας, ενώ στην ουσία η διαφορετική τιμή του παράγοντα κλίμακας μεταξύ πομπού (αρχέγονου γαλαξία, ακτινοβολία υποβάθρου) και δέκτη (σημερινός παρατηρητής) είναι αυτή που προκαλεί την μετατόπιση προς το ερυθρο.

 

Ευχαριστώ για την υπομονή σας.

 

Κώστας

[Goedel]

Αγαπητοί φίλοι,

 

Αυτά που έγραψε ο φίλος Heal είναι σωστά και το μόνο που θέλω να προσθέσω είναι μια αποσαφήνιση του όρου παράγοντα κλίμακας μιλώντας πιο αναλυτικά για την έννοια της μετρικής στην οποία είχα αναφερθεί τις προηγούμενες φορές.

Εάν συμβολίσουμε με dx(i) , όπου i δείκτης με τιμές i =1,2 και 3, τις στοιχειώδεις μεταβολές (μετατοπίσεις) μιας εκ των τριών συντεταγμένων του χώρου x (i =1), y (i = 2) και z (i =3) τότε η απόσταση ds που αντιστοιχεί σε μια στοιχειώδη μετατόπιση μέσα στον χώρο εκφράζεται από τη σχέση :

 

ds = sqrt( Σ g(ij)dx(i)dx(j) ), όπου με sqrt συμβόλισα την τετραγωνική ρίζα και με Σ το άθροισμα όλων των γινομένων που προκύπτουν για όλα τα πιθανά ζεύγη τιμών των δεικτών (i,j).

 

Το σύμβολο g(ij) είναι ένας συναλλοίωτος τανυστής 3x3 ο οποίος ονομάζεται μετρικός τανυστής του χώρου και περιγράφει τις μετρικές του ιδιότητες μιας και από τον τύπο που παρουσίασα είναι προφανές ότι απ’ αυτόν εξαρτάται η τιμή της απόστασης δυο σημείων του χώρου. Αυτός ο μετρικός τανυστής είναι εν γένει συνάρτηση της θέσης μέσα στο χώρο, δηλαδή g(ij)(x,y,z) αλλά στην Κοσμολογία λόγω της ομοιογένειας του χώρου έχει σταθερή τιμή –σε μεγάλη κλίμακα- και εξαρτάται ΜΟΝΟ από τον χρόνο δηλαδή είναι g(ij)(t) κάτι που εκφράζει μαθηματικά την έννοια της διαστολής του χώρου. Από τον τύπο που δίνει την απόσταση μεταξύ δυο σημείων βλέπουμε ότι καθώς μεταβάλεται η τιμή αυτού του τανυστή, μεταβάλλεται ταυτόχρονα και η απόσταση μεταξύ δυο σημείων χωρίς όμως ν’αλλάζουν οι συντεταγμένες τους δηλαδή οι απειροστές ποσότητες dx, dy και dz. Ο παράγοντας κλίμακας τον οποίο ανέφερε ο Heal, είναι ακριβώς αυτός ο μετρικός τανυστής ο οποίος είναι ενγενές χαρακτηριστικό του χώρου και δεν εξαρτάται από την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων που θα χρησιμοποιήσουμε.

Μια πολύ καλή αναλογία για να καταλάβετε τα παραπάνω μαθηματικά είναι να σκεφτείτε μια ελαστική ,επίπεδη αρχικά, μεμβράνη στην οποία υπάρχουν δυο σημεία των οποίων οι συντεταγμένες σε Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ορίζονται από τις συντεταγμένες των προβολών αυτών των σημείων στο επίπεδο. Εάν στη συνέχεια τραβήξουμε προς τα πάνω την μεμβράνη από ένα σημείο ενδιάμεσο στα εν λόγω σημεία των οποίων η απόσταση μας ενδιαφέρει , τότε όχι μόνο οι συντεταγμένες των σημείων δεν θ’αλλάξουν διότι δεν θ’αλλάξουν οι προβολές τους στο επίπεδο αλλά ούτε και η θέση τους , θ’αλλάξει όμως η μεταξύ τους απόσταση διότι η μεταξύ τους επιφάνεια θα κυρτώσει θετικά (θα έχει γίνει λόφος) και είναι γνωστό ότι μια καμπύλη που συνδέει δυο σημεία έχει διαφορετικό μήκος από την ευθεία που τα συνέδεε πριν κυρτώσουμε την επιφάνεια.

 

Φιλικά,

Αντώνης

[Stratos]

Ο Στεφανος και ο Αντωνης βρισκονται ο καθενας στο σπιτι τους και καθονται στον υπολογιστη τους. Η αποσταση που τους χωριζει ειναι 5 χιλιομετρα. Ο χωρος αναμεσα τους διαστελεται. Η αποσταση που τους χωριζει τωρα ειναι 10 χιλιομετρα, αλλα και οι δυο βρισκονται σπιτι τους και καθονται ακομα στον υπολογιστη τους.

Με απλα λογια...

[Μάκης Μαυρουδής]

Και για να ενισχύσω την εύστοχη απάντηση του Στράτου, προσθέτω ότι, καθώς με τη διαστολή του χώρου και οι υπολογιστές απομακρύνονται από τους χρήστες τους, κατά την έννοια των «γεωδαιτικών γραμμών» και όχι της Ευκλείδειας απόστασής τους, τα χέρια μας (που δεν αλλάζουν μήκος πρέπει να ακολουθούν την συντομότερη οδό, έστω και με μεγαλύτερη δαπάνη ενέργειας!

Όπως έλεγε και ο Φέϋμαν, οι παραδοξολόγοι μαθηματικοί από την εποχή του (Πλατωνικού) Ζήνωνα μέχρι σήμερα έχουν ένα μεγάλο πρόβλημα. Είναι αναγκασμένοι να αποκρύπτουν «κάτω από το τραπέζι» τους μαθηματικούς απειρισμούς των θεωριών τους, μεταβαίνοντας σε ένα νέο χώρο (που μόνο αυτοί καταλαβαίνουν) με μία επί πλέον διάσταση. Όταν τους πάρουν χαμπάρι, μεταβαίνουν στην επόμενη διάσταση κ.ο.κ.

Πάνω σ’ αυτό το θέμα, χρήσιμο θα ήταν αν ρίχναμε και μια ματιά στο βιβλίο του San Restivo «Οι κοινωνικές σχέσεις των αφηρημένων μαθηματικών», κεφάλαια του οποίου δόθηκαν και σαν εργασία σε φοιτητές του μαθηματικού τμήματος του Πανεπιστημίου Πατρών.

Ευτυχώς υπάρχουν ακόμη και αυτοί που δεν πείσθηκαν!

 

Φιλικά Μάκης