Βαρύτητα, τροχιές και άλλα με τύπους

[stemi]

Ίσως είναι καλό να δώσουμε μερικούς τύπου που χρησιμοποιούν οι αστρονόμοι στους υπολογισμούς τους. Π.χ. πως βρίσκουν την ταχύτητα που πρέπει να δώσουν σε ένα τεχνικό δορυφόρο, πως υπολογίζουν την μάζα ενός πλανήτη από τη περιφορά ενός φεγγαριού του κλπ.

Ας αρχίσω μια προσπάθεια λοιπόν.

 

Μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον τύπο της βαρύτητας του Newton. Παρότι οι νόμοι της γενικής σχετικότητας είναι πιο ακριβείς αλλά και πιο πολύπλοκοι, η διαφορά είναι μικρή για πεδία πλανητών και μικρών άστρων.

Έχουμε: F=G*M*m/d^2

Όπου M, m μάζα δύο σωμάτων, d η απόσταση των κέντρων μάζας του σε μέτρα, και G=6,672*10^(-11) m^3/(Kg*sec^2) παγκόσμια σταθερά.

 

Τι μπορούμε να βρούμε λοιπόν:

 

1) Επιτάχυνση της βαρύτητας (g)

Ο Galileo είχε βρει ότι η επιτάχυνση ενός σώματος λόγω της βαρυτικής έλξης από άλλο σώμα εξαρτάται μόνο από τη μάζα του σώματος που έλκει και την απόσταση από αυτό. Αν αφήσουμε ένα πούπουλο και ένα βράχο από το ίδιο ύψος να πέσει στη Γη θα πέφτουν με τον ίδιο ρυθμό αν δεν υπάρχει η αντίσταση του αέρα. Ομοίως ένας αστεροειδής σε απόσταση ίση με Ήλίου – Δία νιώθει την ίδια επιτάχυνση με αυτή που νιώθει ο Δίας. Λογικά μπορεί να εξηγηθεί ότι ένα σώμα μεγάλης μάζας έλκεται με μεγαλύτερη δύναμη αλλά ταυτόχρονα έχει και μεγαλύτερη αντίσταση στην αλλαγή της κινητικής του κατάστασης. Ο ένας παράγοντας αναιρεί τον άλλον.

Μαθηματικά από τον 2ο νόμο Newton, F=m*a (a=επιτάχυνση) και a=g όπου g βαρυτική επιτάχυνση.

GMm/d^2=mg => g=GM/d^2.

Φτάνουμε στο συμπέρασμα της 1ης πρότασης.

Από εδώ εξηγείται γιατί οι αστροναύτες αισθάνονται χωρίς βάρος. Όταν πετάξουν ένα στυλό αυτό πέφτει με τον ίδιο ρυθμό προς την Γη όπως και αυτοί. Άρα το στυλό (και οτιδήποτε υπάρχει στο διαστημόπλοιο αλλά και το ίδιο το διαστημόπλοιο) μένει στη ίδια θέση με αυτούς.

Προσέξτε ότι το g είναι αντιστρόφως ανάλογο με το τετράγωνο της απόστασης, Άρα πηγαίνοντας 2 φορές μακρύτερα η επιτάχυνση μειώνεται στο 1/4!

 

2) Μάζα της Γης

Μετρώντας την επιτάχυνση ενός αντικειμένου που πέφτει στη Γη μπορούμε να βρούμε την μάζα της Γης. Βρίσκουμε ότι g=9.8 m/s^2. Από τον παραπάνω τύπο με αντικατάσταση (d=6,4*10^6 m) βρίσκουμε M=6*10^24 kgr.

Το ίδιο μπορούμε να κάνουμε παρατηρώντας την επιτάχυνση δορυφόρων άστρων και πλανητών (θα το δούμε παρακάτω). Πάντως ο παραπάνω τύπος δεν μπορεί να εφαρμοστεί αν δεν ξέρουμε το G. Μετρήθηκε πρώτα από τον Cavendish το 1798, ο οποίος υπολόγισε και τη μάζα της Γης.

 

3) Μάζα άστρων και πλανητών

Ένας δορυφόρος εκτελεί περιφορά γύρω από ένα σώμα γιατί έλκεται από τη βαρύτητα. Αν δεν υπήρχε η δύναμη αυτή (ούτε καμιά άλλη) ο δορυφόρος θα εκτελούσε ευθύγραμμη ομαλή κίνηση. Άρα η βαρύτητα παίζει το ρόλο της κεντρομόλου δύναμης.

Η κεντρομόλος δύναμη δίνεται από τον τύπο F=mv^2/d όπου m μάζα δορυφόρου, v η ταχύτητα του και d η απόσταση από το κέντρο μάζας του άστρου ή πλανήτη. Άρα (Θεωρώντας ότι ο δορυφόρος έχει πολύ μικρότερη μάζα από το πλανήτη ή άστρο):

GMm/d^2=mv^2/d => M=r*v^2/G.

 

Πχ Ας υπολογίσουμε τη μάζα του Ήλιου χρησιμοποιώντας την Γη (υποθέτουμε ότι κάνει κυκλική τροχιά, το αποτέλεσμα δεν θα ήταν πολύ διαφορετικό. V=30 km/s, r=150 εκ km. Αντικαθιστώντας βρίσκουμε 2*10^30 kgr.

 

Από τον παραπάνω τύπο βλέπουμε ότι ένας δορυφόρος πρέπει να περιστρέφεται γρηγορότερα σε μια δεδομένη απόσταση όταν η μάζα του κεντρικού σώματος είναι μεγαλύτερη.

 

Συχνά χρησιμοποιούμε ή μετράμε ευκολότερα την περίοδο (Ρ) περιφοράς του δορυφόρου. Ξέρουμε ότι v=απόσταση/χρόνο=2πr/P. Άρα

Μ=4π^2*r^3/(G*P^2) όπου r η ακτίνα της τροχιάς.

Μοιάζει με τον 3ο νόμο του Kepler! Στην ουσία ο Kepler μετρούσε την μάζα του ηλίου χωρίς να το ξέρει. Για τον Ήλιο ο παράγοντας 4π^2/G*Μ γίνεται 1! Άρα για το Ηλιακό σύστημα:

r^3=p^2 (r σε AU και P σε έτη)

 

Πχ ο Δίας απέχει 5,2 AU, άρα p=11.86 έτη.

 

4) Ταχύτητα τροχιών

Αν λύσουμε τον παραπάνω τύπο της μάζας ως προς ταχύτητα:

v=sqrt(GM/r) όπου sqrt σημαίνει τετραγωνική ρίζα

 

Πχ ο Δίας απέχει 5,2 AU και η μάζα του Ηλίου είναι 2*10^30 kgr. Αντικαθιστώντας βρίσκουμε v=13 km/sec.

 

5) Ταχύτητα διαφυγής

Η κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει ένα σώμα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από την έλξη της βαρύτητας. Άρα, η ταχύτητα διαφυγής:

0,5*mv^2=GMm/r => v=sqrt(2GM/r)

Μεγαλύτερης μάζας αντικείμενα έχουν μεγαλύτερη μάζα διαφυγής αλλά και η ταχύτητα μειώνεται όσο η απόσταση από το κέντρο μάζας του σώματος r αυξάνεται.

 

Πχ η Γη έχει μάζα 6*10^24 kgr, η ακτίνα είναι 6,4*10^6 m αντικαθιστώντας βρίσκουμε 11 km/sec.

 

Συνεχίζεται …

[stemi]

5) Περίοδοι δορυφόρων

Για δορυφόρους κάποιου σώματος θα ισχύει ο νόμος του Kepler r^3=p^2. Για 2 δορυφόρους θα έχουμε (p1/p2)^2=(r1/r2)^3 => p1=p2*(r1/r2)^(3/2). p1,p2 περίοδοι τροχιών και r1, r2 ακτίνες τροχιές ή καλύτερα κύριος ημιάξονας έλλειψης, αφού όλες οι τροχιές είναι ελλειπτικές.

Ξέροντας την μια περίοδο μπορούμε να βρούμε την περίοδο οποιουδήποτε άλλου δορυφόρου σε οποιαδήποτε απόσταση (θα το χρειαστούμε παρακάτω).

 

6) Διαπλανητικά ταξίδια

Ο απλούστερος και οικονομικότερος τρόπος να κάνεις ένα διαπλανητικό ταξίδι είναι να αφήσεις την βαρύτητα του Ηλίου να σε πάρει! Η τροχιά θα έχει σημείο εκκίνησης τη Γη και προορισμό τον πλανήτη που θέλουμε να πάμε πχ Άρη. Η σχετική θέση της Γης και του Άρη είναι συγκεκριμένη έτσι ώστε ο Άρης να είναι εκεί όταν το διαστημόπλοιο φτάσει μερικούς μήνες μετά. Αυτή η θέση συμβαίνει κάθε 780 μέρες (η συνοδική περίοδος του Άρη). Το «παράθυρο εκτόξευσης» διαρκεί μερικές εβδομάδες. Η τροχιά που θα ακολουθήσει λέγεται τροχιά Hohmann. Η Γη είναι στο περιήλιο της τροχιά του διαστημοπλοίου και ο Άρης στο αφήλιο. Η τροχιά θα είναι έλλειψη με κύριο άξονα = 1.52 + 1.0 A.U. = 2.52 A.U. Και κύριο ημιάξονα = 2.52/2 = 1.26 A.U. Από τον νόμο του Kepler παραπάνω έχουμε ότι η περίοδος του διαστημοπλοίου θα είναι: P = 1.26^(3/2) = 1.41 έτη. Αυτή είναι η περίοδος του (Γη-Άρης-Γη), αλλά εμείς πάμε μέχρι τα μισά άρα το ταξίδι θα διαρκέσει (1.41 / 2) έτη = 0.71 έτη = ~ 8.5 μήνες.

Όταν εκτοξευθεί το διαστημόπλοιο έχει ήδη την ταχύτητα της Γη (30 km/s περίπου). Αυτή είναι η ταχύτητα για περιφορά 1 AU γύρω από τον Ήλιο. Μείωση της ταχύτητας θα κάνει το διαστημόπλοιο να πέσει σε τροχιά μέσα από της Γης. Αλλά αφού θέλουμε να πάμε πέρα από τη Γη το διαστημόπλοιο χρειάζεται επιτάχυνση.

Το διαστημόπλοιο θα επιβραδύνει καθώς θα φτάσει στο αφήλιο. Αλλά θα εξακολουθεί να θέλει επιπλέον επιβράδυνση για να μπει σε τροχιά.

[xmavidis]

Πολύ ωραίο topic αυτό!!

Νομίζω για να γίνει λίγο ποιο κατανοητό καλύτερα να βάλεις τις επεξηγήσεις των συμβόλων

[stemi]

Thanks. Έκανα edit τα posts μου.