Darkchilde Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Ξεχνάς όμως ότι : 1/3 = 0,33333333... με άπειρα ψηφία οπότε πρέπει να κάνεις πολλαπλασιασμό άπειρων ψηφίων... Σε αυτή την περίπτωση 3*0,333333...(με άπειρα ψηφία) = 3 * 1/3 = 1 Απλό. Δεν πρέπει να συγχέουμε τις έννοιες των μαθηματικών. Γι'αυτό στα μαθηματικά συνήθως χρησιμοποιούνται τα κλάσματα και όχι οι διαιρέσεις με άπειρα ψηφία. Όταν για το μάθημα των μαθηματικών, κάνω υπολογισμούς πάντα χρησιμοποιώ τα κλασματα και όχι τους άπειρους αριθμούς. Για να έχω σωστή και ακριβής απάντηση. Την διάιρεση την κάνω στο τελικό αποτέλεσμα και εαν βγεί άπειρος αριθμός τότε λέω ότι είναι περίπου ο τάδε αριθμός, με ειδικό σύμβολο που υπάρχει στα μαθηματικά και όχι με το ίσον. Το ιστιολογιόν μου: The Dark Side of the Force and Other StoriesΕλληνικό Forum για Science Fiction και FantasyΟ Κόσμος της Επιστήμης Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
Darkchilde Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Ξέχασα να απαντήσω για το ότι είναι άπειρος αριθμός το 0,99999... Στην παραπάνω απόδειξη που παράθεσα βάλε όσα 9 θέλεις, θυμίσου την μετατόπιση. Βάλε 15, 20, 100, 1000, 100000 πάντα θα βρείς τον αριθμό 8,999...(με το 1 να είναι το τελευταίο δεκαδικό). Όσα ψηφία και να βάλεις. Απλώς το 0,999... με άπειρα ψηφία, πλησιάζει το 1 αλλά δεν ισούται με το 1. Το ιστιολογιόν μου: The Dark Side of the Force and Other StoriesΕλληνικό Forum για Science Fiction και FantasyΟ Κόσμος της Επιστήμης Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
dimidour Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Darkchilde ακριβώς αυτό προσπαθούσα να εξηγήσω αλλά εκείνη την ώρα που απαντούσα ήμουν ήδη πολύ κουρασμένος για να συνεχίσω με παράδειγμα! Είναι πολύ κατανοητό το παράδειγμά σου και ας έχεις πεπερασμένο πλήθος ψηφίων 9. Τα μαθηματικά είναι τόσο πολύπλοκα και συνάμα τόσο απλά κάποιες φορές που δημιουργούν πάρα πολλά παράδοξα! Και εγένετω φως.... Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
Vegan Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Aρχίζω να περπατάω προς τον απέναντι τοίχο που απέχει 1 μέτρο.Καλύπτω το 0.9 της απόστασης.Μετά το 0.9 της απόστασης που απομενει, κατόπιν το 0.9 αυτής που απομένει κ.ο.κ.... Να ξεκινήσω να περπατάω, ή δε θα φτάσω ποτέ ? Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
astrovox Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 http://en.wikipedia.org/wiki/0.999... Οντως το άρθρο είναι διαφωτιστικό. Ας το διαβάσουν όλοι, πριν συνεχίσουμε για να μιλάμε στην ίδια βάση. Το αρχικό ερώτημα είναι πλασματικό με την ένοια ότι οι αριθμοί 0,999... και 1 είναι οι ίδιοι απλά υπάρχει πρόβλημα συμβολισμού με το 9 ως το περιοδικό σύμβολο (επί της ουσίας τα άπειρα 9άρια στο συμβολισμό απλά πρέπει να αντικαταστούνται από μηδενικά και αύξηση του πρηγούμενου ψηφίου). Εξάλλου κάθε περιοδικός αριθμός είναι ρητός. Ο 0,9999... ειναι περιοδικός αριθμός και μαντέψτε πως γράφετε σε μορφή κλάσματος με ακέραιο αριθμητή και ακέραιο παρονομαστή Προσωπικά απλά καταλήγω στο ότι είναι πρόβλημα συμβολισμού. Ο συμβολισμός 0,xxxxx.. στη δεκαδική μορφή είναι απλά ένα "κόλπο" για να γράφουμε ρητούς αριθμούς σε δεκαδική μορφή. Ετσι ο 0,3333... είναι το 1/3 και ο 0,9999999 είναι το 1. Απλά ξενίζει το ότι μπορεί κάποιος αριθμός να γραφτεί με δύο τρόπους αλλά δε θα έπρεπε να μας ξενίζει αν σκεφτούμε ότι το 1 γράφεται και 1.00000... και 1 και, όπως φαίνεται, και 0,99999.... ΥΓ: Σε όσους λένε ότι "τείνει αλλά δεν είναι", οι πραγματικοί αριθμοί δεν μπορούν παρά να τείνουν στον ίδιο τους τον εαυτό. Αν "είναι" κάτι άλλο και "τείνει" σε κάτι άλλο δεν ειναι πραγματικός αριθμός, είναι... διχασμένη προσωπικότητα «I have loved the stars too fondly to be fearful of the night». Sarah Williams, The Old Astronomer Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
vasiamits Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Συγγραφέας Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Ακριβώς. Η ισότητα τελικα ισχύει 0.9999...=1 είναι διαφορετικοί συμβολισμοί της ίδιας ποσότητας. Απλώς δυσκολευόμαστε να αντιλιφθούμε τι πραγματικά εκφράζει ένας περιοδικός αριθμός. http://www.cool-stuff.gr/ Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
aristarchus Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Δηλαδή το 0,999... δεν ισούται με το 1. Όσα 9 και να βάλεις μετά, όπως είπε ο dimidour, έχεις πάντα ένα 9 ακόμα. Ας παρουμε μια αλλη προσεγγηγη και την οποια μου κανει εντυπωση οτι κανενας φιλος/η της παρεας δεν εχει αναφερει. Υπαρχει τουλαχιστο ενας αριθμος μεταξυ 0.99999...... και 1.000000..... ? Ποιο συγκεκριμενα: Αν α=0.99999...... και γ=1.000000....., υπαρχει β οπου α < β < γ ???????? Αν ναι, ποιος ειναι και οποτε α και γ ΔΕΝ ειναι ισιοι. Αν οχι, τοτε α και γ ειναι ισιοι. Φιλικά, Αντώνης Αγιομαμίτηςhttp://www.perseus.gr Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
giorgosgr Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Το αρχικό ερώτημα είναι πλασματικό με την ένοια ότι οι αριθμοί 0,999... και 1 είναι οι ίδιοι απλά υπάρχει πρόβλημα συμβολισμού με το 9 ως το περιοδικό σύμβολο (επί της ουσίας τα άπειρα 9άρια στο συμβολισμό απλά πρέπει να αντικαταστούνται από μηδενικά και αύξηση του πρηγούμενου ψηφίου). Ακριβώς! Facebook Giorgos'' videoastronomy page https://www.facebook.com/videoastronomy/ Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
Darkchilde Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Aρχίζω να περπατάω προς τον απέναντι τοίχο που απέχει 1 μέτρο.Καλύπτω το 0.9 της απόστασης.Μετά το 0.9 της απόστασης που απομενει, κατόπιν το 0.9 αυτής που απομένει κ.ο.κ.... Να ξεκινήσω να περπατάω, ή δε θα φτάσω ποτέ ? Αυτό είναι παρόμοιο με τα παράδοξα του Ζήνωνα. Το ιστιολογιόν μου: The Dark Side of the Force and Other StoriesΕλληνικό Forum για Science Fiction και FantasyΟ Κόσμος της Επιστήμης Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
Darkchilde Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Arisarchus ακριβώς αυτό συμβαίνει λόγω άπειρων αριθμών. Πάντα θα υπάρχει ένας αριθμός λίγο μεγαλύτερος μεταξύ του 0,999... (άπειρο) και 1. Είναι σαν το παιχνίδι ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να υπάρξει. Κάποιος λέει έναν πολύ μεγάλο αριθμό, και μετά πετάγεται κάποιος και λέει "+1". Υπάρχουν άπειροι αριθμοί όπως ξέρουμε, και ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς αριθμούς όποιοι και να είναι αυτοί πάντα υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός. Αν προσέξεις πάντως και στο άρθρο σου λέει ότι αρκετοί δεν αποδέχονται αυτή την ισότητα. Όσο για το "τείνει στο" νομίζω η απάντηση υπάρχει στο άρθρο, όπου λέει ότι χρησιμοποιούνται τα limits για να δώσει πιο σωστή απάντηση, αλλά όπως ξέρουμε με τα limits, μία ποσότητα τείνει σε κάποια άλλη, και λύνεται με την ισότητα των δύο άνισων ποσοτήτων κατά κάποιο τρόπο. Μην ξεχνάμε πως η ισότητα 0,999... =1 προσπαθεί να κάνει έναν άρρητο αριθμό σύμμετρο. Σε μαθηματικά forum υπάρχουν άπειρες συζητήσεις για το ίδιο θέμα, άλλοι αποδέχονται αυτή την ισότητα άλλοι όχι. Το ιστιολογιόν μου: The Dark Side of the Force and Other StoriesΕλληνικό Forum για Science Fiction και FantasyΟ Κόσμος της Επιστήμης Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
chder Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 x = 0.9999… = 9/1e+1 + 9/1e+2 + … + 9/1e+(n-1) + 9/1e+n10x = 10 (9/1e+1 + 9/1e+2 + … + 9/1e+n) = 9 + 9/1e+1 + … + 9/1e+(n-1)10x – x = 9x = 9 – 9/1e+n ==> x = 1-1/1e+n Το 0.9999... δεν είναι 1. Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
xmavidis Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Το θέμα είναι να κατανοήσουμε την έννοια του ορίου. Η ευθεία y=0.999... προσεγγίζει αυθαίρετα την ευθεία y=1 αλλά οι δυο αυτές ευθείες δεν ταυτίζονται ποτέ. Επίσης αναφέρθηκε παραπάνω ότι δεχόμαστε ότι η πράξη 1/3 ισούται ακριβώς με 0,333... . Αυτό γίνεται κατά προσέγγιση, καθώς η πράξη 1/3 θα δώσει έναν αριθμό στο δεκαδικό σύστημα και τυχαίνει ο αριθμός αυτός να είναι άρρητος. Science is the belief in the ignorance of the expertsRichard Feynman Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
chder Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Δηλαδή το 0,999... δεν ισούται με το 1. Όσα 9 και να βάλεις μετά, όπως είπε ο dimidour, έχεις πάντα ένα 9 ακόμα. Ας παρουμε μια αλλη προσεγγηγη και την οποια μου κανει εντυπωση οτι κανενας φιλος/η της παρεας δεν εχει αναφερει. Υπαρχει τουλαχιστο ενας αριθμος μεταξυ 0.99999...... και 1.000000..... ? Ποιο συγκεκριμενα: Αν α=0.99999...... και γ=1.000000....., υπαρχει β οπου α < β < γ ???????? Αν ναι, ποιος ειναι και οποτε α και γ ΔΕΝ ειναι ισιοι. Αν οχι, τοτε α και γ ειναι ισιοι. Σύμφωνα με το παραπάνω σχόλιό μου είναι ο 1-1/2e+n = β Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
vasiamits Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Συγγραφέας Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Σύμφωνα με το παραπάνω σχόλιό μου είναι ο 1-1/2e+n = β Ναί, αλλά εσυ βάζοντας τον παράγοντα n θεωρείς ότι το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων είναι πεπερασμένο. Στην περίπτωση ενός περιοδικού όμως, το n=άπειρο. http://www.cool-stuff.gr/ Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
chder Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Όχι δεν είπα κάτι τέτοιο. Το θεώρησα αυτονόητο. Βρίσκεις κάποιο (μαθηματικό) λάθος στις πράξεις μου? Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
vasiamits Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Συγγραφέας Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Όχι δεν βρίσκω κάποιο λάθος, αλλά αν στην εξίσωση 1-1/2e+n = β αντικαταστήσεις το n με άπειρο, τι βγαίνει? http://www.cool-stuff.gr/ Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
chder Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Όχι δεν βρίσκω κάποιο λάθος, αλλά αν στην εξίσωση 1-1/2e+n = β αντικαταστήσεις το n με άπειρο, τι βγαίνει? Δεν ξέρω! Ψάχνεις να βρεις το όριο? Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
astrovox Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Αυτό γίνεται κατά προσέγγιση, καθώς η πράξη 1/3 θα δώσει έναν αριθμό στο δεκαδικό σύστημα και τυχαίνει ο αριθμός αυτός να είναι άρρητος Ε όχι και άρρητος! Ρητότατος είναι. Ρητός είναι όποιος αριθμός μπορεί να γραφτεί σε κλάσμα με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή. Ο 1/3 ή 0,3333333 είναι ρητός. Το 0,3333333... είναι απλά ο δεκαδικός (και προβληματικός!) συμβολισμός για τον αριθμό 1/3. Απλά συμβολισμός. Ο αριθμός είναι ο ίδιος! Επίσης επαναλαμβάνω ότι κάθε περιοδικός αριθμός είναι ρητός. Αν κανείς αμφισβητεί αυτό το γεγονός ας μας πει. Ο 0,9999... είναι περιοδικός και οφείλει να είναι ρητός. Και εμείς λέμε ότι είναι το 1. Αν κάποιος διαφωνεί, ας μας πει. Υπάρχουν άπειροι αριθμοί όπως ξέρουμε, και ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς αριθμούς όποιοι και να είναι αυτοί πάντα υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός. Ακριβώς!, Σε κάθε περίπτωση αν πάρεις δύο οποιουσδήποτε διαφορετικούς αριθμούς, όσο κοντά θες μεταξύ τους, πάντα θα μπορείς να βρεις έναν συγκεκριμένο αριθμό ανάμεσά τους. Μεταξύ 0,9999... και 1 μπορείς; Οχι! Διότι δεν είναι διαφορετικός αριθμός. Αν προσέξεις πάντως και στο άρθρο σου λέει ότι αρκετοί δεν αποδέχονται αυτή την ισότητα. Μπορείς να μου δώσεις το ακριβές κομμάτι που το λέει; Ο μαθηματικός συλλογισμός του chder είναι για πεπερασμένο n που δεν είναι η περίπτωσή μας. Αντί δηλαδή για το x = 0.9999… = 9/1e+1 + 9/1e+2 + … + 9/1e+(n-1) + 9/1e+n πρέπει να πούμε x = 0.9999… = 9/1e+1 + 9/1e+2 + 9/1e+3 ..... με τις τελίτσες στο τέλος υπονοώντας άπειρα στοιχεία. Οι τελίτσες στη μέση και τέλειωμα σε n σημαίνει πεπερασμένα στοιχεία όπου απλά παραλείπουμε τα μεσαία για οικονομία χώρου. Αμα το ξανακάνουμε έτσι θα βγει φυσικά 0,99999=1 «I have loved the stars too fondly to be fearful of the night». Sarah Williams, The Old Astronomer Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
chder Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Όχι, όπως είπα και πιο προηγουμένως, n --> oo Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
astrovox Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Αν n-->oo τότε η σειρά τείνει στο 1. «I have loved the stars too fondly to be fearful of the night». Sarah Williams, The Old Astronomer Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
chder Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Αν θυμάμαι καλά (γιατί έχουν περάσει και χρόνια), είναι η ίδια διαδικασία, που ακολουθούμε για την εύρεση αθροισμάτων, άπειρων όρων προόδων. Είμαι βέβαιος ... ότι 0.9999... δεν ισούται με 1. Άλλο πράγμα είναι η "τυποποίηση" (formulation) των μαθηματικών, η οποία είναι μία ανθρώπινη "πατέντα" (σίγουρα με αδυναμίες) και άλλο πράγμα η ουσία αυτή καθ' αυτή. Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
chder Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Αν n-->oo τότε η σειρά τείνει στο 1. Δεν ασχολήθηκα με την εύρεση ορίου. Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
astrovox Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Πάντως επιμένω ότι ο αρχικός συμβολισμός δεν είναι ο σωστός για να περιγράψει το πρόβλημα άσχετα το τι αποτέλεσμα βγάζει το όριο. Σε κάθε περίπτωση, επειδή όντως μου τράβηξε το ενδιαφέρον το όλο θέμα, όσο κοίταξα στο διαδίκτυο βρήκα ότι οι μαθηματικοί λένε ότι το 0,9999... είναι το 1. Προσωπικά θα τους πιστέψω. «I have loved the stars too fondly to be fearful of the night». Sarah Williams, The Old Astronomer Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
aristarchus Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Σε κάθε περίπτωση, επειδή όντως μου τράβηξε το ενδιαφέρον το όλο θέμα, όσο κοίταξα στο διαδίκτυο βρήκα ότι οι μαθηματικοί λένε ότι το 0,9999... είναι το 1. Προσωπικά θα τους πιστέψω.Δεν μπορει να μην ειναι 1 ("λένε ότι το 0,9999... είναι το 1") επειδη οπως αναφερω ποιο πανω, δεν υπαρχει "β" οπου α<β<γ και α=0.99999..... και γ=1.00000..... Η κουβεντα ποιο πανω περι "Πάντα θα υπάρχει ένας αριθμός λίγο μεγαλύτερος μεταξύ του 0,999... (άπειρο) και 1" δεν ειναι καθολου σωστη επειδη τοτε υπαρχει το υπονοουμενο οτι μιλαμε για "0.999999.......9" και οχι "0.999999........". Φιλικά, Αντώνης Αγιομαμίτηςhttp://www.perseus.gr Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
aristarchus Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Μοιραστείτε Δημοσιεύτηκε Ιούλιος 7, 2007 Είμαι βέβαιος ... ότι 0.9999... δεν ισούται με 1.Οπως και εγω ειμαι σιγουρος οτι ισουται επειδη δεν υπαρχει το "β" ωστε να ικανοποιησει "α < β < γ" οπου α=0.9999...... και γ=1.0000...... Φιλικά, Αντώνης Αγιομαμίτηςhttp://www.perseus.gr Σύνδεσμος για σχόλιο Κοινή χρήση σε άλλους ιστότοπους More sharing options...
Προτεινόμενες αναρτήσεις