0.9999... = 1

[geobalt]

Μη μπερδεύουμε τους άπειρους όρους του 0.9999.... με το 0.999...9 το οποίο μπορεί να έχει ένα τεράστιο αλλά πεπερασμένο πλήθος όρων.

 

Το 0.9 δεν ειναι 1, ούτε το 0.99999999999999999999. Εντούτοις το 0.999.... και για κάθε 9 που "προσθέτουμε" μετά την υποδιαστολή έχει μικρότερο σφάλμα απόκλισης απο το 1. Ετσι από ένα πλήθος 9 και μετά μέχρι και το σφάλμα έχει γίνει τόσο ελάχιστο που έχει και αυτό "σταθεροποιηθεί". Εξ ου και η "ισότητα".

 

Η ισότητα όμως είναι μια προσέγγιση όπως και το ίδιο το πλήθος των 9 (που τείνουν στο άπειρο). Είναι σαφώς σωστότερη η έκφραση "τείνει στο 1" , αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας λέμε ισούται.

 

Γενικώς δεν είναι κάτι το περίεργο και ισχύει για κάθε αριθμό, δηλαδή

2 = 1.9999...

0.72 = 0.719999999...

κτλ.

[aristarchus]

Μη μπερδεύουμε τους άπειρους όρους του 0.9999.... με το 0.999...9 το οποίο μπορεί να έχει ένα τεράστιο αλλά πεπερασμένο πλήθος όρων.

Ακριβως και αυτο ειχα αναφερει ποιο πανω.

 

Το 0.9 δεν ειναι 1, ούτε το 0.99999999999999999999. Εντούτοις το 0.999.... και για κάθε 9 που "προσθέτουμε" μετά την υποδιαστολή έχει μικρότερο σφάλμα απόκλισης απο το 1. Ετσι από ένα πλήθος 9 και μετά μέχρι και το σφάλμα έχει γίνει τόσο ελάχιστο που έχει και αυτό "σταθεροποιηθεί". Εξ ου και η "ισότητα".

Πολυ σωστα ... και μαλιστα, υπο την προυποθεση για "απειρα" 9αρια, δεν υπαρχει το "β" που αναφερω ποιο πανω.

 

Η ισότητα όμως είναι μια προσέγγιση όπως και το ίδιο το πλήθος των 9 (που τείνουν στο άπειρο). Είναι σαφώς σωστότερη η έκφραση "τείνει στο 1" , αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας λέμε ισούται.

Και αυτο μπορω να δεκτω αλλα οχι πληρης. Οταν κατι "τεινει", υπονοει οτι υπαρχει ενα σφαλμα και το οποιο μικραινη οσο η σειρα μακρενη. Στην συγκεκριμενη περιπτωση, δεν υπαρχει σφαλμα επειδη δεν μπορουμε να ορισουμε την διαφορα "1 - 0.99999...." και, εφοσον δεν μπορουμε να ορισουμε την διαφορα, τοτε ΔΕΝ υπαρχει σφαλμα!

 

Γενικώς δεν είναι κάτι το περίεργο και ισχύει για κάθε αριθμό, δηλαδή

2 = 1.9999...

0.72 = 0.719999999...

κτλ.

Την παθαμε ασχημα αν δεν ειναι η υποθεση οτι 0 = 0.000...., 1 = 1.00000...., 2 = 2.0000.... κοκ καθως με την ιδια λογικη, 1 = 0.9999....., 2 = 1.9999..... κοκ.

[aristarchus]

Στην συγκεκριμενη περιπτωση, δεν υπαρχει σφαλμα επειδη δεν μπορουμε να ορισουμε την διαφορα "1 - 0.99999...." και οποτε ΔΕΝ υπαρχει σφαλμα!

Ωστε να μην υπαρχει παρεξηγηση, ας κανουμε χρηση την μοναδικη γλωσσα που ειναι παντα ακριβεστατη ....

 

α = 0.9999....

γ = 1.0000....

 

Κατι "τεινει" οταν υπαρχει σφαλμα "δ" οπου δ = | γ - α | και δ > 0.

 

Στην συγκεκριμενη περιπτωση, μιλαμε για ισοτητα και οχι "τεινει" επειδη δεν μπορουμε να ορισουμε δ > 0.

[Canopus]

Ωστε να μην υπαρχει παρεξηγηση, ας κανουμε χρηση την μοναδικη γλωσσα που ειναι παντα ακριβεστατη ....

 

α = 0.9999....

γ = 1.0000....

 

Κατι "τεινει" οταν υπαρχει σφαλμα "δ" οπου δ = | γ - α | και δ > 0.

 

Στην συγκεκριμενη περιπτωση, μιλαμε για ισοτητα και οχι "τεινει" επειδη δεν μπορουμε να ορισουμε δ > 0.

 

O ορισμός του ορίου δεν έχει "=":

 

Λέμε ότι η ακολουθία a(n) τείνει στο k, αν για κάθε δ>0 υπάρχει n0, τέτοιο ώστε για κάθε n>n0, ισχύει δ>|a(n)-k|.

 

Επιπλέον, ως γνωστόν, αν f συνεχής και f(x1)->k, lim(x->x1)f(x)=k (οκ, άλλο domain από τις σειρές είναι αυτό, αλλά η ισότητα εν γένει δεν αποκλείει το όριο. Εδώ βέβαια στο 0.999... το όριο αποκλείει την ισότητα, διότι πάντα υπάρχει δ>0 τ.ω. |1-a(n)|>δ)

 

Αν δεις οποιοδήποτε βιβλίο ανάλυσης, αυτόν τον ορισμό έχει. Άρα, μια χαρά τείνει προς το 1. Ρε παιδιά, δε θα το πάρετε χαμπάρι επιτέλους, όλη η συζήτηση έχει να κάνει με θέμα συμβολισμού, και όχι μαθηματικών Ούτως η άλλως, στον πραγματικό κόσμο η ακρίβεια είναι 32 bit Και εκεί δεν υπάρχουν παύλες, άπειρα ψηφία, κ.ο.κ.

 

Όσον αφορά το θέμα "πράξεις με ορίσματα με άπειρα ψηφία", για να τελειώνουμε, δεν υπάρχει τέτοιο πράγμα, ούτε υπολογίζει άνθρωπος.υπολογιστής με σημειολογία με άπειρα ψηφία. Μια πράξη έχει να κάνει ΠΑΝΤΑ μα ΠΑΝΤΑ με ορισμένο αριθμό ψηφίων. Αν τα ψηφία είναι άπειρα, στρογγυλοποιούμε. Σε οποιαδήποτε ακρίβεια δεκαδικών, το 0.999999... στρογγυλοποιείται σε 1. Άρα, 0.999999... -1 =1-1=0.-

[koyote]

[geobalt]

Και αυτο μπορω να δεκτω αλλα οχι πληρης. Οταν κατι "τεινει", υπονοει οτι υπαρχει ενα σφαλμα

 

Όχι απαραίτητα. Το "τείνει" χρησιμοποιείται μιας και το πλήθος των όρων τείνει στο άπειρο.

 

Όσα λέει ο φίλος Canopus είναι αληθή. Άλλωστε άλλα τα υπολογιστικά μαθηματικά και άλλος ο διαφορικός λογισμός.

[aristarchus]

Λέμε ότι η ακολουθία a(n) τείνει στο k, αν για κάθε δ>0 υπάρχει n0, τέτοιο ώστε για κάθε n>n0, ισχύει δ>|a(n)-k|.

Συμφωνω με αυτα που γραφεις ΑΛΛΑ εχεις ως βαση το "αν για κάθε δ>0". Στην συγκεκριμενη περιπτωση ομως δεν υπαρχει δ>0 ΠΟΤΕ αλλα δ=0 οπου δ=|γ-α| και α=0.9999.... και γ=1.0000...... και αυτο (το δ=0) ισχυει επειδη δεν μπορουμε να ικανοποιησουμε την σχεση α < β < γ.

[aristarchus]

Λέμε ότι η ακολουθία a(n) τείνει στο k, αν για κάθε δ>0 υπάρχει n0, τέτοιο ώστε για κάθε n>n0, ισχύει δ>|a(n)-k|.

Με προβληματιζει και το "για κάθε n>n0" οσον αφορα την συζητηση μας επειδη μιλαμε για απειρη σειρα απο την αρχη και οχι κατι που αναπτυσεται οσο αυξανεται το "n".

 

Λυπαμαι που τα ελληνικα μου δεν ειναι οσο καλα ειναι τα αγγλικα μου ....

[chder]

Ρε παιδιά, δε θα το πάρετε χαμπάρι επιτέλους, όλη η συζήτηση έχει να κάνει με θέμα συμβολισμού, και όχι μαθηματικών

 

Συμφωνώ απολύτως. Είναι θέμα συμβολισμού, δηλαδή "μαθηματικής γραφής" και όχι μαθηματικών. Σχολιάζουμε το σύμβολο "0.999..." και όχι τόσο τη μαθηματική του υπόσταση.

 

Όπως θα δείτε και στο παρακάτω link (το οποίο θεωρώ πιο "αξιόπιστο" από τη Wikipedia):

 

http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm

 

υπάρχει διχογνωμία σχετικά το εάν ένας αριθμός ταυτίζεται με το όριό του (με τις περισσότερες γνώμες να υποστηρίζουν το να μην ταυτίζεται - γεγονός που μου φαίνεται και εμένα λογικό).

 

Επίσης, δε μπορούμε να κάνουμε στοιχειώδεις πράξεις (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό) με το 0.999... δεδομένου του ότι ποτέ δε γνωρίζουμε (θεωρητικά) το τελευταίο του δεκαδικό ψηφίο (άρα, η υπόθεση αυτή ακυρώνει και τις σχετικές απλοικές αποδείξεις ότι 0.999...=1).

 

Επίσης γιατί να μην ισχύει 9x = 8.999... ?

 

Όλα αυτά μου θυμίζουν την ενασχόληση κάποιων ακαδημαϊκών για ένα παντελώς (πρακτικά) άχρηστο ζήτημα, που παραπέμπει και λίγο σε "μεταφυσικές" ανησυχίες πιτσιρικάδων διδακτορικών φοιτητών.

 

Για όλα αυτά και περισσότερα ρίξτε μία ματιά στο http://www.math.fau.edu/Richman/HTML/999.htm

 

Μία γενικότερη παρατήρηση: να αποφεύγουμε την (ανευ προβληματισμού) χρήση της Wikipedia γιατί σε λίγο καιρό μπορεί να κάνουμε search γαι την Ελλάδα, για να ανακαλύψουμε ότι Ελλάδα είναι η μόνο η Κρήτη... (και οι τελίτσες εδώ δεν έχουν κάποια μαθηματική σημασία).

[Darkchilde]

Πολύ καλό το Link, και συμφωνώ με το συγκεκριμένο άρθρο.

[giorgosgr]

9x=8.9999....

9x=9

x=1

 

ή

 

9x=8.999....

9x=8+0.999...

9x=8+x

8x=8

x=1

 

Ας σταματήσουμε τα παιχνίδια άνευ νοήματος, εξ αρχής έχει απαντηθεί.

[chder]

Εχει απαντηθεί τι? Και πού? Στη Wikipedia?

 

Κάθε νέα γενιά επιστημόνων, κάτω και από την πίεση των δημoσιεύσεων, ανακαλύπτει και ένα καινούριο "όραμα".

 

Οι αποδείξεις με τις απλές προσθαφαιρέσεις έτσι και αλλιώς αμφισβητούνται ανοικτά και θεωρούνται λίγο ... μπακάλικο.

 

Σε κάθε περίπτωση, όταν η παγκόσμια μαθηματική κοινότητα υιοθετήσει την ισότητα 0.999... = 1 θα το ξανασυζητήσουμε. Μέχρι τότε, όποιος νοιώθει άβολα μπορεί να ετοιμάσει τη διδακτορική του διατριβή σχετικά με το θέμα.

 

Δε νπορώ να υιοθετώ απόψεις, που αναφέρονται στη Wkipedia. Έλεος ... (ή όπως κάποιος συνάδελφος αστροπαρατηρητής έγραφε πριν λίγες μέρες "Ας είμαστε σώφρονες!")

 

Παραπέμπω πάλι στο link που ανάφερα σε προηγούμενο μηνυμά μου και το οποίο προέρχεται από την ακαδημαϊκή κοινότητα και όχι τη Wikipedia!

 

Εγώ προσωπικά, ποτέ δεν διδάχθηκα αριθμούς με "τελίτσες", ούτε στο σχολείο, ούτε στο Πανεπιστήμιο. Και σε τελική ανάλυση, εάν αυτοί οι αριθμοί διδάσκονται σήμερα στο δημοτικό, ε ... ξανά έλεος!

 

Τι σημαίνει η αρχική συνθήκη των απλοϊκών αποδείξεων, που αναφέρθηκαν, δηλαδή τι σημαίνει x = 0.999... ? Γιατί εάν υπάρχει πρόβλημα ορισμού της αρχικής συνθήκης, τότε και όλα τα άλλα είναι στον αέρα.

 

Σε κάθε περίπτωση, θεωρώ πως το θέμα ξεφεύγει από τον αστρονομικό χαρακτήρα του forum.

[Odysseus]

Το 0,999... δεν ισούται με το 1. Τείνει προς το 1 αλλά δεν ισούται ποτέ. Τέλος.

[Canopus]

Εχει απαντηθεί τι? Και πού? Στη Wikipedia?

 

Όχι εδώ μέσα. Αν ψάξεις στις προηγούμενες σελίδες, θα βρεις κάμποσες εξηγήσεις. Αν τις θεωρείς λάθος όλες, πες μας που νομίζεις ότι σφάλλουμε, για να το δούμε και εμείς (δε λεω, μπορεί να κάνουμε λάθος)

 

Φιλικά πάντα, αλλά έλεος, το παρακουράσαμε! Και να ήταν κάποιο ενδιαφέρον μαθηματικό πρόβλημα!

[giorgosgr]

Σε κάθε περίπτωση, όταν η παγκόσμια μαθηματική κοινότητα υιοθετήσει την ισότητα 0.999... = 1 θα το ξανασυζητήσουμε.

 

Την έχει.

 

Συμφωνώ με τον canopus, πολύ το κουράσαμε.

[chder]

Εχει απαντηθεί τι? Και πού? Στη Wikipedia?

 

Όχι εδώ μέσα. Αν ψάξεις στις προηγούμενες σελίδες, θα βρεις κάμποσες εξηγήσεις. Αν τις θεωρείς λάθος όλες, πες μας που νομίζεις ότι σφάλλουμε, για να το δούμε και εμείς (δε λεω, μπορεί να κάνουμε λάθος)

 

Φιλικά πάντα, αλλά έλεος, το παρακουράσαμε! Και να ήταν κάποιο ενδιαφέρον μαθηματικό πρόβλημα!

 

Γι αυτό το λόγο και πρότεινα να προωθήσεις τις "λύσεις", που αναφέρθηκαν προηγουμένως στην Ελληνική Μαθηματική Εταιρία για τις προωθήσει με τη σειρά της περαιτέρω.

 

Σχετικά με το που (νομίζω?) ότι σφάλεις, σε παρέπεμψα σε συγκεκριμένο link, με το οποίο συμφωνώ απολύτως και το οποίο δεν αφορά τη Wikipedia.

 

Ελπίζω όλα αυτά να είναι κατανοητά.

 

Και ζητώ συγνώμη εάν το ύφος του προηγούμενου μηνύματός μου σε ενόχλησε.

[astrovox]

Δε νπορώ να υιοθετώ απόψεις, που αναφέρονται στη Wkipedia. Έλεος ... (ή όπως κάποιος συνάδελφος αστροπαρατηρητής έγραφε πριν λίγες μέρες "Ας είμαστε σώφρονες!")

 

Παραπέμπω πάλι στο link που ανάφερα σε προηγούμενο μηνυμά μου και το οποίο προέρχεται από την ακαδημαϊκή κοινότητα και όχι τη Wikipedia!

 

Το πόσο έμπιστο είναι ένα κείμενο κρίνεται και από τις αναφορές του. Το συγκεκριμένο άρθρο στη wikipedia έχει σε γενικές γραμμές καλές αναφορές. Φυσικά ένα άρθρο στη wikipedia που δεν έχει αναφορές θα απαιτούσε μεγάλη δυσπιστία όμως στα άρθρα της wikipedia που έχουν καλές αναφορές είναι ίσως ό,τι πιο αξιόπιστο υπάρχει στο διαδίκτυο. Φυσικά δε θα διαφωνήσω ότι ο προβληματισμός και η κριτική σκέψη είναι απαραίτητα προς παντού και κάθε πηγή.

 

Οσο για το άρθρο του κύριου Καθηγητή ασφαλώς και δεν εκπροσωπεί την ακαδημαϊκή κοινότητα γενικά. Εξάλλου τα άρθρα που μετράνε είναι τα άρθρα που έχουν περάσει από το λεγόμενο peer-review, δηλαδή έχουν κριθεί από τους συναδέλφους και δημοσιευτεί. Ο καθένας μπορεί να δημοσιεύει ό,τι θέλει στην ιστοσελίδα του όμως αυτό δεν αποτελεί αξιόπιστη αναφορά. Δεν έχω, βέβαια, καμία πρόθεση να αμφισβητήσω την εγκυρότητα των όσων γράφει ο κύριος. Εξάλλου για τους προσεκτικά διαβάζοντες τα κρίσιμα σημεία όπου πραγματικά ο κύριος αναφέρει τη γνώμη του είναι:

 

 

Many believers in the equality think that we may no longer discuss how best to capture the intuitive notion of a real number by formal properties. They dismiss any idea at variance with the currently fashionable views. They claim that skeptics who question whether the real numbers form a complete ordered field are simply ignorant of what the real numbers are, or are talking about a different number system.

 

ήτοι ο συγγραφέας υιοθετεί τη θέση του σκεπτικιστή απέναντι στην "mainstream" άποψη.

 

 

So we see that in the traditional definition of the real numbers, the equation 0.9* = 1 is built in at the beginning. That is why anyone who challenges that equation is, in fact, challenging the traditional formal view of the real numbers.

 

ήτοι η υπάρχουσα επίσημη θεώρηση των πραγματικών αριθμών λέει ότι 0,999...=1 ενώ όπως είναι εμφανές ο κύριος προσπαθεί γενικά να δει με κριτικό πνεύμα την mainstream θεώρηση των πραγματικών αριθμών...

 

Παρόμοια σημεία υπάρχουν στο τέλος όπου επί της ουσίας εξερευνεί διάφορους τρόπους προσέγγισης των δεκαδικών και των πραγματικών αριθμών όπου ανάλογα με τον τρόπο προσέγγισης μπορούμε και να βγάλουμε διάφορα συμπεράσματα.

 

Ομως πρέπει να γίνει κατανοητό ότι επί της ουσίας και αυτό το άρθρο αναφέρει ότι η mainstream θεώρηση είναι αυτή της ισότητας και όχι το αντίθετο δηλαδή επιβεβαιώνει τα γνωστά. Απλά προσθέτει τη δική του προσέγγιση με κριτικό πνεύμα απέναντι στη σιγουριά αυτού του γεγονότος. Τέτοιες πληροφορίες δεν υπάρχουν στη wikipedia καθώς από τους κανόνες της η wikipedia δε φιλοξενεί πρωτότυπη έρευνα.

[vasiamits]

chder, ο Fred Richman που έγραψε το άρθρο που παρέθεσες, αναφέρεται πολλές φορές μέσα στο άρθρο της wikipedia.

 

Επίσης το άρθρο της wikipedia, έχει μια μεγάλη παράγραφο στο τέλος με τίτλο: "Different answers from alternative number systems".

[vag_stephanou]

Πω πω!!! Στη μία σελίδα το άφησα 5 το κανατε!!! Χαίρομαι πάντως που υπάρχει μαθηματικό ενδιαφέρον στο φορουμ!

 

Λοιπόν. Συγγνώμη αν στα αρχικά μου ποστ έκανα λάθος. Όταν το καλοσκέφτηκα όμως είδα πως όντως 0.999999...=1, αν και ο συμβολισμός είναι άθλιος.

 

Στα μόνα σημεία που διαφωνώ είναι οι δύο αποδείξεις α) του vasiamits στο αρχικό ποστ και β)η απόδειξη του giorgosgr με το 8.9999, διότι και στις δύο παίρνεις αυθαίρετα κάτι που σε βολεύει, παίρνωντας στην ουσία το αποτέλεσμα που θες. Κάτι που θα ήταν πιο σταθερό ίσως είναι

 

[code:1]1/3=0.3333333....

3*1/3=0.99999...

Όμως 3*1/3=1

Άρα 1=0,999999...[/code:1]

 

Αυτή η απόδειξη δεν παίρνει κάτι του στυλ χ=ταδε όπου χ κάτι που μας βολεύει, αλλά βασίζεται απλά στις πράξεις!

 

Και πάλι ζητώ συγγνώμη για την αρχική "παραπλάνηση", η οποία πιστεύω έγκειται στην αδυναμία και των συμβολισμών.

 

edit:Συγγνώμη, μετά είδα ότι η απόδειξη αναφέρεται και στο άρθρο του wikipedia, δεν το παίζω έξυπνος απλά γράφοντας ότι γράφει εκεί!!

[chder]

Αγαπητέ Ανδρέα,

 

Και εγώ χρησιμοποιώ τη Wikipedia όπως και άλλα λιγότερο αξιόπιστα sites στο διαδίκτυο όταν ψάχνω για πληροφορίες, αλλά χρειάζεται ένας σκεπτικισμός γενικότερα σε σχέση με τις "πηγές πληροφόρησης".

 

Όπως είμαι βέβαιος πως θα γνωρίζεις, μεγάλο μέρος των επιστημονικών δημοσιεύσεων σε μεγάλα περιοδικά έντυπα του εξωτερικού και από τα πιο αναγνωρισμένα πανεπιστήμια - πολυτεχνεία είναι γεμάτα λάθη ή/και ανακρίβειες. Για την ακρίβεια, η εύρεση τέτοιων λαθών αποτελεί standard διαδικασία για όλους τους μεταπτυχιακούς φοιτητές στα μεγάλα πανεπιστήμια του εξωτερικού.

 

Παράλληλα, παγκοσμίως αναγνωρισμένα βιβλία είναι επίσης γεμάτα λάθη, πολλά εκ των οποίων αντικρούονται με τεκμηριωμένες δημοσιεύσεις, ...οι οποίες παραδόξως αντιμετωπίζουν ένα τοίχο δυσπιστίας και απόρριψης.

 

Σχετικά με το θέμα μας. Σήμερα βρήκα το χρόνο να ανοίξω την Encyclopedia of Mathematics του Eric W. Weisstein. Σχετικά links δίνονται παρακάτω, δεδομένου του ότι σχεδόν όλο το περιεχόμενό της υπάρχει στη διαδίκτυο.

 

Ευτυχώς για εμένα, επιβεβαίωσα τα λίγα που ξέρω σχετικά με τα όρια, δηλαδή ότι η έννοια όριο, αυτή καθ' αυτή αναφέρεται σε ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ και όχι σε αριθμούς (οι οποίοι μετασχηματίζονται σε συναρτήσεις). Έτσι δεν έχει νόημα να συζητάμε για το όριο του 0.999... αλλά για το όριο της συνάρτησης, που παρέχει το 0.999...

 

Τώρα, σε ότι αφορά το όριο συναρτήσεων, πουθενά δεν υφίσταται (μαθηματικά διατυπωμένη) η ταύτιση του ορίου με την τιμή. Γενικότερα, για αυτό το λόγο χρησιμοποιούμε την έκφραση f(x) --> a ή limf(x) = a και δε λέμε f(x)=a.

 

Με (αυστηρά) δεδομένα μαθηματικής ανάλυσης, η συνάρτηση, που αντιστοιχεί στον αριθμό 0.999... τείνει ή συγκλίνει στο 1, αλλά δεν ισούται. Η υιοθέτηση της ισότητας είναι λίγο αυθαίρετη (κατά την ταπεινή μου άποψη).

 

Γι αυτό το λόγο και σε προηγούμενα μηνύματά μου υιοθέτησα το ανάπτυγμα της γεωμετρικής σειράς, κάνοντας σαφές πως η τιμή διαφέρει από το όριο. Σχετικά βλ. και το παρακάτω διασκεδαστικό link http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.9999.html, όπου και εκεί γίνεται η εσφαλμένη κατά την άποψή μου τελική ταύτιση τιμής και ορίου.

 

Προσωπικά θεωρώ άκομψο κάποιοι να ταυτίζουν τη λέξη ισότητα με τη λέξη σύγκλιση, αλλά ... μπορεί να το δούμε και αυτό - αν δεν το έχουμε δει ήδη.

 

Τώρα αναφορικά με την απόδειξη,

 

x = 0.9999...

10x = 9.9999...

10x - x = 9.9999... - 0.9999...

9x = 9

x = 1.

 

η οποία και δεν εμπίπτει στα "χωράφια" της μαθηματικής ανάλυσης, εξακολουθώ να πιστεύω ότι είναι λίγο "κάπως". Αλλά αυτή είναι η άποψή μου - ίσως να είμαι επηρεασμένος από τα χρόνια, που διδάχτηκα κλασσική μαθηματική ανάλυση και από το ότι δεν είμαι μαθηματικός, οπότε δεν τα πάω καλά με την "αριθμολογία".

 

Είναι γεγονός ότι η ισότητα 1 = 0.999... = 1 + 0.8999... χρησιμοποιείται "εβραίος" αλλά δεν είμαι σίγουρος κατά πόσο υφίσταται επισήμως, αν και αναφέρεται σε πολλά σοβαρά links. Μάλιστα, στην ενότητα "repeating decimals" Encyclopedia of Mathematics του Eric W. Weisstein, αναφέρεται ξεκάθαρα η ισότητα 0.50 = 0.5000... = 0.4999..., οπότε μάλλον, παρά το ότι διαφωνώ, είμαι υποχρεωμένος να δεχτώ την αποδοχή της (όχι και την ορθότητά της).

 

http://mathworld.wolfram.com/RepeatingDecimal.html

 

Τελειώνοντας, μετάνoιωσα (θεωρώντας πλεονασμό), που συμμετείχα σε αυτή τη συζήτηση, δεδομένου του ότι έχει ήδη διεξαχθεί η ίδια συζήτηση στο AstroForum, την οποία μετά από ένα γρήγορο search στο Google (για το 0.999...) βρήκα και προσπάθησα να παρακολουθήσω, χωρίς όμως αποτέλεσμα (για εμένα) .

 

"Τέλος", "Έλεος", "Ας είμαστε σώφρονες" "Φτάνει πιά" --> Μη δίνετε σημασία, απλά είναι (άσχετες) λεξούλες που δανείζομαι από συναδέλφους στο forum και που τώρα τελευταία μου αρέσει να τις χρησιμοποιώ.

 

Πού μπλέξαμε καλοκαιριάτικά? (--> Αυτό είναι δικό μου)

 

Χρίστος

 

Υ.Γ.: σε δύο σημεία του κειμένου αντί της σωστής έκφρασης "μαθηματική ανάλυση" χρησιμοποιήθηκε εκ παραδρομής η έκφραση "αριθμητική ανάλυση". Παρά το ότι το αντικείμενο της αριθμητικής ανάλυσης είναι πανελώς άσχετο με το υπό συζήτηση θέμα, προς αποφυγή συγχίσεων έκανα τις δύο σχετικές διορθώσεις.

[George Makris]

Η όλη δυσκολία έγκειται στό ότι το 0.9999... έχει άπειρα ψηφία. Πόσα άπειρα; Όσοι είναι και οι φυσικοί αριθμοί δηλαδή άλεφ μηδέν. Όταν λέμε "όσοι" εννοούμε ότι μπορεί να αντιστοιχηθεί 1-1 κάθε ψηφίο του 0.999... με ένα φυσικό αριθμό (πχ οι μονοί αριθμοί είναι το ίδιο πολλοί με τους φυσικούς αριθμούς).

Οι πραγματικοί αριθμοί είναι πιό μεγάλο άπειρο το άλεφ ένα, οι ρητοί είναι επίσης άλεφ μηδέν, ενώ οι άρρητοι είναι άλεφ ένα.

Η όλη κατάσταση να έχουμε ένα αριθμό με άπειρα (επαναλαμβανόμενα) ψηφία είναι όντως δυσνόητη γιατί θυμίζει τα supertags, δηλαδή άπειρες επαναλήψεις ενεργειών (όπως στο παράδοξο του Ζήνωνα).

Δείτε ένα ωραίο παράδοξο: Σε ένα ξενοδοχείο υπάρχουν άπειρα δωμάτια (το 1, 2, 3, κλπ) και είναι όλα κατηλειμένα. Έρχονται άπειροι νέοι τουρίστες (1,2,3 κλπ). Τι κάνουμε; Λέμε στους τουρίστες που ήδη κατοικούν να πάνε σε άλλο δωμάτιο. Αν είναι στο ν να πάνε στο 2*ν. Και βολεύουμε τους νέους βάζοντας τον κάθε ν νέο τουρίστα στο δωμάτιο 2*ν-1.

[vag_stephanou]

Παιδιά ας μη το κουράζουμε άλλο. Η ισότητα ισχύει. Για την ακρίβεια είναι ο ίδιος αριθμός σε άλλη μορφή.Γιατί κανείς δεν αμφισβητεί ότι το 1/3 κάνει 0.33333...; Όσο για τα όσα λέγονται για αριθμητική ανάλυση, πιστεύω πως δεν είναι η σωστή προσέγγιση στο θέμα. Διότι στην αριθμητική ανάλυση πάντα μιλάμε για κάποιο σημείο στο οποίο σταματάμε και μετά κοιτάμε σφάλματα κλπ. Εδώ είναι αλλιώς. Το θέμα έχει να κάνει καθαρά με την κατασκευή των πραγματικών αριθμών (το οποίο δεν είναι "αριθμολογία", αυτό είναι σαν την ανάγνωση του μέλλοντος από αριθμούς μάλλον...! ). Επίσης, για το αν το όριο ταυτίζεται με την τιμή, (πλέον μιλάμε για συναρτήσεις), αυτή είναι η "υγιής" περίπτωση, δηλαδή οι συνεχείς συναρτήσεις, οι "καλές" συναρτήσεις.

 

Τέλος, δεν υπάρχει θέμα αν είναι σωστές ή λάθος οι πηγές. Μόνο αν καταλαβαίνουμε τους πραγματικούς αριθμούς ή όχι...

[chder]

Όσο για τα όσα λέγονται για αριθμητική ανάλυση, πιστεύω πως δεν είναι η σωστή προσέγγιση στο θέμα. Διότι στην αριθμητική ανάλυση πάντα μιλάμε για κάποιο σημείο στο οποίο σταματάμε και μετά κοιτάμε σφάλματα κλπ. Εδώ είναι αλλιώς. Το θέμα έχει να κάνει καθαρά με την κατασκευή των πραγματικών αριθμών (το οποίο δεν είναι "αριθμολογία", αυτό είναι σαν την ανάγνωση του μέλλοντος από αριθμούς μάλλον...! ). Επίσης, για το αν το όριο ταυτίζεται με την τιμή, (πλέον μιλάμε για συναρτήσεις), αυτή είναι η "υγιής" περίπτωση, δηλαδή οι συνεχείς συναρτήσεις, οι "καλές" συναρτήσεις.

 

Τέλος, δεν υπάρχει θέμα αν είναι σωστές ή λάθος οι πηγές. Μόνο αν καταλαβαίνουμε τους πραγματικούς αριθμούς ή όχι...

 

Επειδή το θέμα αφορά τα μαθηματικά, νοιώθω υποχρεωμένος να αποσαφηνίσω ότι όταν αναφέρθηκα σε "ανάλυση" δεν εννοούσα αυτό, που εσύ κατάλαβες, δηλαδή τη "numerical analysis".

 

Για την "αριθμολογία" ... μπορεί να έχεις και δίκιο - ευτυχώς που καταλάβαμε το ίδιο πράγμα - αυτό μου αρέσει στις συζητήσεις μας!

 

Επειδή από ό,τι καταλάβα πολύς κόσμος "τσακώνεται" διεθνώς για αυτή την ιστορία, λέω να ασχοληθώ πλέον με κάτι άλλο, όπως με την κατανόηση των πραγματικών αριθμών και την αξιολόγηση των πηγών μου.

 

Άντε, καλά μπάνια σε όλο τον κόσμο.

[vag_stephanou]

...ίσως να είμαι επηρεασμένος από τα χρόνια, που διδάχτηκα κλασσική αριθμητική ανάλυση...

 

Καλή συνέχεια!

[nicktremoulis]

εντυπωσιάστηκα αφάνταστα

μετα απο ενα υπεροχο Παρνωνα ατο ήταν εξαιρετικη τροφη για το μυαλο

και αν το λύσατε εχω και αλλη μια

υπαρχει αραγε γεωμετρία (μη ευκλειδια προφανως) όπου ο π (3,14159...) είναι ρητός?