0.9999... = 1

[koyote]

Αλλο και το π.......

Ορεξη για συζητηση εχουμε παντως

[Canopus]

εντυπωσιάστηκα αφάνταστα

μετα απο ενα υπεροχο Παρνωνα ατο ήταν εξαιρετικη τροφη για το μυαλο

και αν το λύσατε εχω και αλλη μια

υπαρχει αραγε γεωμετρία (μη ευκλειδια προφανως) όπου ο π (3,14159...) είναι ρητός?

 

Ωπα. Το θέμα είναι πλέον τι ορίζεις ως "π" σε μια μη ευκλίδεια γεωμετρία. Π.χ. στην ευκλίδεια γεωμετρία, το π είναι ο λόγος της διαμέτρου προς την περίμετρο του κύκλου, όπου κύκλος το σύνολο των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το κέντρο Κ.

 

Αλλά μπορεί η μη-ευκλείδια γεωμετρία να ορίζει άλλες νόρμες για την απόσταση, που να δίνουν άλλη μορφή στον κύκλο. Ή μπορεί να υποθέτει άλλο ορισμό για το τι εστί επίπεδο, για τη μοναδικότητα επιπέδου/ευθείας που διέρχεται από κάποια σημεία κλπ.

 

Δεν έχει νόημα να πετάμε μια σταθερά που ισχύει στο ένα σύστημα (και μπορεί να μην είναι καν ορισμένη σε άλλο, και αν είναι θα είναι ορισμένη βάσει διαφορετικών αξιωμάτων) και να ρωτάμε για τις ιδιότητές της σε αυτό. Π.χ. λες ρητός. ΟΚ τι είναι ρητός, γεωμετρικά; Πως ορίζεται;

 

Βάλε μας εσύ τα αξιώματα και εμείς το ψάχνουμε φτάνει να είναι "συνεπή" μεταξύ των.

[vag_stephanou]

Θα συμφωνήσω κι εγώ. Ο π είναι ένας πραγματικός άρρητος αριθμός. Όπως και να τον κοιτάξεις θα είναι πάντα άρρητος.

 

Αυτό που μπορεί να μην είναι πάντα άρρητος, και ίσως αυτό ρωτάς Νίκο, είναι ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο. Σε μια γεωμετρία πάνω σε μια σφαίρα για παράδειγμα, ο λόγος αυτός μπορεί να είναι ρητός. Δείτε για ένα παράδειγμα εδώ:

 

http://blog.plover.com/math/pi.html

 

στο σημείο που λέει "non-euclidean geometry".

 

Το π λοιπόν ως αριθμός, θα μπορούσαμε να πούμε πως στον ευκλείδιο χώρο με την ευκλείδια νόρμα (αυτή είναι που καθορίζει τα πάντα), "τυχαίνει" να είναι ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς τη διάμετρο.