0.9999... = 1

[Darkchilde]

Ξεχνάς όμως ότι :

 

1/3 = 0,33333333... με άπειρα ψηφία

 

οπότε πρέπει να κάνεις πολλαπλασιασμό άπειρων ψηφίων... Σε αυτή την περίπτωση

 

3*0,333333...(με άπειρα ψηφία) = 3 * 1/3 = 1

 

Απλό. Δεν πρέπει να συγχέουμε τις έννοιες των μαθηματικών. Γι'αυτό στα μαθηματικά συνήθως χρησιμοποιούνται τα κλάσματα και όχι οι διαιρέσεις με άπειρα ψηφία. Όταν για το μάθημα των μαθηματικών, κάνω υπολογισμούς πάντα χρησιμοποιώ τα κλασματα και όχι τους άπειρους αριθμούς. Για να έχω σωστή και ακριβής απάντηση. Την διάιρεση την κάνω στο τελικό αποτέλεσμα και εαν βγεί άπειρος αριθμός τότε λέω ότι είναι περίπου ο τάδε αριθμός, με ειδικό σύμβολο που υπάρχει στα μαθηματικά και όχι με το ίσον.

[Darkchilde]

Ξέχασα να απαντήσω για το ότι είναι άπειρος αριθμός το 0,99999... Στην παραπάνω απόδειξη που παράθεσα βάλε όσα 9 θέλεις, θυμίσου την μετατόπιση. Βάλε 15, 20, 100, 1000, 100000 πάντα θα βρείς τον αριθμό 8,999...(με το 1 να είναι το τελευταίο δεκαδικό). Όσα ψηφία και να βάλεις.

 

Απλώς το 0,999... με άπειρα ψηφία, πλησιάζει το 1 αλλά δεν ισούται με το 1.

[dimidour]

Darkchilde ακριβώς αυτό προσπαθούσα να εξηγήσω αλλά εκείνη την ώρα που απαντούσα ήμουν ήδη πολύ κουρασμένος για να συνεχίσω με παράδειγμα! Είναι πολύ κατανοητό το παράδειγμά σου και ας έχεις πεπερασμένο πλήθος ψηφίων 9. Τα μαθηματικά είναι τόσο πολύπλοκα και συνάμα τόσο απλά κάποιες φορές που δημιουργούν πάρα πολλά παράδοξα!

[Vegan]

Aρχίζω να περπατάω προς τον απέναντι τοίχο που απέχει 1 μέτρο.

Καλύπτω το 0.9 της απόστασης.Μετά το 0.9 της απόστασης που απομενει, κατόπιν το 0.9 αυτής που απομένει κ.ο.κ.... Να ξεκινήσω να περπατάω, ή δε θα φτάσω ποτέ ?

[astrovox]

http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

 

Οντως το άρθρο είναι διαφωτιστικό. Ας το διαβάσουν όλοι, πριν συνεχίσουμε για να μιλάμε στην ίδια βάση.

 

Το αρχικό ερώτημα είναι πλασματικό με την ένοια ότι οι αριθμοί 0,999... και 1 είναι οι ίδιοι απλά υπάρχει πρόβλημα συμβολισμού με το 9 ως το περιοδικό σύμβολο (επί της ουσίας τα άπειρα 9άρια στο συμβολισμό απλά πρέπει να αντικαταστούνται από μηδενικά και αύξηση του πρηγούμενου ψηφίου).

 

Εξάλλου κάθε περιοδικός αριθμός είναι ρητός. Ο 0,9999... ειναι περιοδικός αριθμός και μαντέψτε πως γράφετε σε μορφή κλάσματος με ακέραιο αριθμητή και ακέραιο παρονομαστή

 

Προσωπικά απλά καταλήγω στο ότι είναι πρόβλημα συμβολισμού. Ο συμβολισμός 0,xxxxx.. στη δεκαδική μορφή είναι απλά ένα "κόλπο" για να γράφουμε ρητούς αριθμούς σε δεκαδική μορφή. Ετσι ο 0,3333... είναι το 1/3 και ο 0,9999999 είναι το 1. Απλά ξενίζει το ότι μπορεί κάποιος αριθμός να γραφτεί με δύο τρόπους αλλά δε θα έπρεπε να μας ξενίζει αν σκεφτούμε ότι το 1 γράφεται και 1.00000... και 1 και, όπως φαίνεται, και 0,99999....

 

ΥΓ: Σε όσους λένε ότι "τείνει αλλά δεν είναι", οι πραγματικοί αριθμοί δεν μπορούν παρά να τείνουν στον ίδιο τους τον εαυτό. Αν "είναι" κάτι άλλο και "τείνει" σε κάτι άλλο δεν ειναι πραγματικός αριθμός, είναι... διχασμένη προσωπικότητα

[vasiamits]

Ακριβώς. Η ισότητα τελικα ισχύει 0.9999...=1 είναι διαφορετικοί συμβολισμοί της ίδιας ποσότητας. Απλώς δυσκολευόμαστε να αντιλιφθούμε τι πραγματικά εκφράζει ένας περιοδικός αριθμός.

[aristarchus]

Δηλαδή το 0,999... δεν ισούται με το 1. Όσα 9 και να βάλεις μετά, όπως είπε ο dimidour, έχεις πάντα ένα 9 ακόμα.

Ας παρουμε μια αλλη προσεγγηγη και την οποια μου κανει εντυπωση οτι κανενας φιλος/η της παρεας δεν εχει αναφερει.

 

Υπαρχει τουλαχιστο ενας αριθμος μεταξυ 0.99999...... και 1.000000..... ? Ποιο συγκεκριμενα:

 

Αν α=0.99999...... και γ=1.000000....., υπαρχει β οπου α < β < γ ????????

 

Αν ναι, ποιος ειναι και οποτε α και γ ΔΕΝ ειναι ισιοι.

 

Αν οχι, τοτε α και γ ειναι ισιοι.

[giorgosgr]

Το αρχικό ερώτημα είναι πλασματικό με την ένοια ότι οι αριθμοί 0,999... και 1 είναι οι ίδιοι απλά υπάρχει πρόβλημα συμβολισμού με το 9 ως το περιοδικό σύμβολο (επί της ουσίας τα άπειρα 9άρια στο συμβολισμό απλά πρέπει να αντικαταστούνται από μηδενικά και αύξηση του πρηγούμενου ψηφίου).

 

Ακριβώς!

[Darkchilde]

Aρχίζω να περπατάω προς τον απέναντι τοίχο που απέχει 1 μέτρο.

Καλύπτω το 0.9 της απόστασης.Μετά το 0.9 της απόστασης που απομενει, κατόπιν το 0.9 αυτής που απομένει κ.ο.κ.... Να ξεκινήσω να περπατάω, ή δε θα φτάσω ποτέ ?

 

Αυτό είναι παρόμοιο με τα παράδοξα του Ζήνωνα.

[Darkchilde]

Arisarchus ακριβώς αυτό συμβαίνει λόγω άπειρων αριθμών. Πάντα θα υπάρχει ένας αριθμός λίγο μεγαλύτερος μεταξύ του 0,999... (άπειρο) και 1. Είναι σαν το παιχνίδι ποιος είναι ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να υπάρξει. Κάποιος λέει έναν πολύ μεγάλο αριθμό, και μετά πετάγεται κάποιος και λέει "+1". Υπάρχουν άπειροι αριθμοί όπως ξέρουμε, και ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς αριθμούς όποιοι και να είναι αυτοί πάντα υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός.

 

Αν προσέξεις πάντως και στο άρθρο σου λέει ότι αρκετοί δεν αποδέχονται αυτή την ισότητα. Όσο για το "τείνει στο" νομίζω η απάντηση υπάρχει στο άρθρο, όπου λέει ότι χρησιμοποιούνται τα limits για να δώσει πιο σωστή απάντηση, αλλά όπως ξέρουμε με τα limits, μία ποσότητα τείνει σε κάποια άλλη, και λύνεται με την ισότητα των δύο άνισων ποσοτήτων κατά κάποιο τρόπο.

 

Μην ξεχνάμε πως η ισότητα 0,999... =1 προσπαθεί να κάνει έναν άρρητο αριθμό σύμμετρο.

 

Σε μαθηματικά forum υπάρχουν άπειρες συζητήσεις για το ίδιο θέμα, άλλοι αποδέχονται αυτή την ισότητα άλλοι όχι.

[chder]

x = 0.9999… = 9/1e+1 + 9/1e+2 + … + 9/1e+(n-1) + 9/1e+n

10x = 10 (9/1e+1 + 9/1e+2 + … + 9/1e+n) = 9 + 9/1e+1 + … + 9/1e+(n-1)

10x – x = 9x = 9 – 9/1e+n ==> x = 1-1/1e+n

 

Το 0.9999... δεν είναι 1.

[xmavidis]

Το θέμα είναι να κατανοήσουμε την έννοια του ορίου. Η ευθεία y=0.999... προσεγγίζει αυθαίρετα την ευθεία y=1 αλλά οι δυο αυτές ευθείες δεν ταυτίζονται ποτέ. Επίσης αναφέρθηκε παραπάνω ότι δεχόμαστε ότι η πράξη 1/3 ισούται ακριβώς με 0,333... . Αυτό γίνεται κατά προσέγγιση, καθώς η πράξη 1/3 θα δώσει έναν αριθμό στο δεκαδικό σύστημα και τυχαίνει ο αριθμός αυτός να είναι άρρητος.

[chder]

Δηλαδή το 0,999... δεν ισούται με το 1. Όσα 9 και να βάλεις μετά, όπως είπε ο dimidour, έχεις πάντα ένα 9 ακόμα.

Ας παρουμε μια αλλη προσεγγηγη και την οποια μου κανει εντυπωση οτι κανενας φιλος/η της παρεας δεν εχει αναφερει.

 

Υπαρχει τουλαχιστο ενας αριθμος μεταξυ 0.99999...... και 1.000000..... ? Ποιο συγκεκριμενα:

 

Αν α=0.99999...... και γ=1.000000....., υπαρχει β οπου α < β < γ ????????

 

Αν ναι, ποιος ειναι και οποτε α και γ ΔΕΝ ειναι ισιοι.

 

Αν οχι, τοτε α και γ ειναι ισιοι.

 

Σύμφωνα με το παραπάνω σχόλιό μου είναι ο 1-1/2e+n = β

[vasiamits]

Σύμφωνα με το παραπάνω σχόλιό μου είναι ο 1-1/2e+n = β

 

Ναί, αλλά εσυ βάζοντας τον παράγοντα n θεωρείς ότι το πλήθος των δεκαδικών ψηφίων είναι πεπερασμένο. Στην περίπτωση ενός περιοδικού όμως, το n=άπειρο.

[chder]

Όχι δεν είπα κάτι τέτοιο. Το θεώρησα αυτονόητο.

 

Βρίσκεις κάποιο (μαθηματικό) λάθος στις πράξεις μου?

[vasiamits]

Όχι δεν βρίσκω κάποιο λάθος, αλλά αν στην εξίσωση 1-1/2e+n = β αντικαταστήσεις το n με άπειρο, τι βγαίνει?

[chder]

Όχι δεν βρίσκω κάποιο λάθος, αλλά αν στην εξίσωση 1-1/2e+n = β αντικαταστήσεις το n με άπειρο, τι βγαίνει?

 

Δεν ξέρω! Ψάχνεις να βρεις το όριο?

[astrovox]

Αυτό γίνεται κατά προσέγγιση, καθώς η πράξη 1/3 θα δώσει έναν αριθμό στο δεκαδικό σύστημα και τυχαίνει ο αριθμός αυτός να είναι άρρητος

 

Ε όχι και άρρητος! Ρητότατος είναι. Ρητός είναι όποιος αριθμός μπορεί να γραφτεί σε κλάσμα με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή. Ο 1/3 ή 0,3333333 είναι ρητός. Το 0,3333333... είναι απλά ο δεκαδικός (και προβληματικός!) συμβολισμός για τον αριθμό 1/3. Απλά συμβολισμός. Ο αριθμός είναι ο ίδιος!

 

Επίσης επαναλαμβάνω ότι κάθε περιοδικός αριθμός είναι ρητός. Αν κανείς αμφισβητεί αυτό το γεγονός ας μας πει. Ο 0,9999... είναι περιοδικός και οφείλει να είναι ρητός. Και εμείς λέμε ότι είναι το 1. Αν κάποιος διαφωνεί, ας μας πει.

 

 

Υπάρχουν άπειροι αριθμοί όπως ξέρουμε, και ανάμεσα σε δύο διαφορετικούς αριθμούς όποιοι και να είναι αυτοί πάντα υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός.

 

Ακριβώς!, Σε κάθε περίπτωση αν πάρεις δύο οποιουσδήποτε διαφορετικούς αριθμούς, όσο κοντά θες μεταξύ τους, πάντα θα μπορείς να βρεις έναν συγκεκριμένο αριθμό ανάμεσά τους. Μεταξύ 0,9999... και 1 μπορείς; Οχι! Διότι δεν είναι διαφορετικός αριθμός.

 

Αν προσέξεις πάντως και στο άρθρο σου λέει ότι αρκετοί δεν αποδέχονται αυτή την ισότητα.

 

Μπορείς να μου δώσεις το ακριβές κομμάτι που το λέει;

 

Ο μαθηματικός συλλογισμός του chder είναι για πεπερασμένο n που δεν είναι η περίπτωσή μας. Αντί δηλαδή για το

 

x = 0.9999… = 9/1e+1 + 9/1e+2 + … + 9/1e+(n-1) + 9/1e+n

 

πρέπει να πούμε

 

x = 0.9999… = 9/1e+1 + 9/1e+2 + 9/1e+3 .....

 

με τις τελίτσες στο τέλος υπονοώντας άπειρα στοιχεία. Οι τελίτσες στη μέση και τέλειωμα σε n σημαίνει πεπερασμένα στοιχεία όπου απλά παραλείπουμε τα μεσαία για οικονομία χώρου.

 

Αμα το ξανακάνουμε έτσι θα βγει φυσικά 0,99999=1

[chder]

Όχι, όπως είπα και πιο προηγουμένως, n --> oo

[astrovox]

Αν n-->oo τότε η σειρά τείνει στο 1.

[chder]

Αν θυμάμαι καλά (γιατί έχουν περάσει και χρόνια), είναι η ίδια διαδικασία, που ακολουθούμε για την εύρεση αθροισμάτων, άπειρων όρων προόδων.

 

Είμαι βέβαιος ... ότι 0.9999... δεν ισούται με 1. Άλλο πράγμα είναι η "τυποποίηση" (formulation) των μαθηματικών, η οποία είναι μία ανθρώπινη "πατέντα" (σίγουρα με αδυναμίες) και άλλο πράγμα η ουσία αυτή καθ' αυτή.

[chder]

Αν n-->oo τότε η σειρά τείνει στο 1.

 

Δεν ασχολήθηκα με την εύρεση ορίου.

[astrovox]

Πάντως επιμένω ότι ο αρχικός συμβολισμός δεν είναι ο σωστός για να περιγράψει το πρόβλημα άσχετα το τι αποτέλεσμα βγάζει το όριο.

 

Σε κάθε περίπτωση, επειδή όντως μου τράβηξε το ενδιαφέρον το όλο θέμα, όσο κοίταξα στο διαδίκτυο βρήκα ότι οι μαθηματικοί λένε ότι το 0,9999... είναι το 1. Προσωπικά θα τους πιστέψω.

[aristarchus]

Σε κάθε περίπτωση, επειδή όντως μου τράβηξε το ενδιαφέρον το όλο θέμα, όσο κοίταξα στο διαδίκτυο βρήκα ότι οι μαθηματικοί λένε ότι το 0,9999... είναι το 1. Προσωπικά θα τους πιστέψω.

Δεν μπορει να μην ειναι 1 ("λένε ότι το 0,9999... είναι το 1") επειδη οπως αναφερω ποιο πανω, δεν υπαρχει "β" οπου α<β<γ και α=0.99999..... και γ=1.00000.....

 

Η κουβεντα ποιο πανω περι "Πάντα θα υπάρχει ένας αριθμός λίγο μεγαλύτερος μεταξύ του 0,999... (άπειρο) και 1" δεν ειναι καθολου σωστη επειδη τοτε υπαρχει το υπονοουμενο οτι μιλαμε για "0.999999.......9" και οχι "0.999999........".

[aristarchus]

Είμαι βέβαιος ... ότι 0.9999... δεν ισούται με 1.

Οπως και εγω ειμαι σιγουρος οτι ισουται επειδη δεν υπαρχει το "β" ωστε να ικανοποιησει "α < β < γ" οπου α=0.9999...... και γ=1.0000......