Ισος αριθμός αειφανών και αμφιφανών αστέρων. (άσκηση)

[thanos22]

Καλησπέρα. Στην αστρονομία του πανεπιστημίου Αθηνών πριν λίγο καιρό μας τέθηκε η ερώτηση να βρούμε το γεωγραφικο πλάτος της περιοχής για το οποίο ένας παρατηρητής θα βλέπει περίπου τον ίδιο αριθμό αειφανών και αμφιφανών αστέρων.

Όσο και αν το πάλεψα δεν βρήκα κάποια λύση. Έχετε καμιά ιδεά? (σχηματικά φαίνεται το πλάτος αυτό να είναι περίπου στις 60+ μοίρες..)

Eυχαριστώ πολύ για τυχόν απάντηση.

[thanos22]

To ελυσα με ολοκληρωματα και βρηκα περιπου 70 μοιρες. αν γνωριζει κανεις αν ισχυει ας μου απαντησει.

[Vensius]

Για να είναι αειφανές πρέπει η γωνιακή του απόσταση από τον πολικό συν το γεωγραφικό πλάτος της περιοχής να είναι μικρότερο από 90 μοίρες; Και μετά τι έκανες; Ολοκλήρωμα στην ουράνια σφαίρα; Οι 70 λογικό ακόύγεται. Εγώ θα έλεγα ποιοτικά 67,5 που είναι το μέσο μεταξύ βόρειου πόλου και ισημερινού.

[Vensius]

Για να είναι αειφανές πρέπει η γωνιακή του απόσταση από τον πολικό συν το γεωγραφικό πλάτος της περιοχής να είναι μικρότερο από 90 μοίρες; Και μετά τι έκανες; Ολοκλήρωμα στην ουράνια σφαίρα; Οι 70 λογικό ακόύγεται. Εγώ θα έλεγα ποιοτικά 67,5 που είναι το μέσο μεταξύ βόρειου πόλου και ισημερινού.

[kkokkolis]

Σε τι χρονικό διάστημα; Στιγμιαία ή σε 1 ώρα ή σε μια νύκτα και ποιάς ημέρας του ηλιακού έτους;

Υποθέτω στιγμιαία, αλλιώς γίνεται αρκετά πολύπλοκο (και πλησιάζει ολο και περισσότερο τον Βόρειο Πόλο).

[bellatrix]

Σε τι χρονικό διάστημα; Στιγμιαία ή σε 1 ώρα ή σε μια νύκτα και ποιάς ημέρας του ηλιακού έτους;

Υποθέτω στιγμιαία, αλλιώς γίνεται αρκετά πολύπλοκο (και πλησιάζει ολο και περισσότερο τον Βόρειο Πόλο).

 

Δεν παίζει κανένα ρόλο απολύτως στην άσκηση..!

 

Ποιοτικά και εγώ που το είδα κάπου εκεί βγαίνει, αλλά θα το κοιτάξω πιο αναλυτικα.. Την βρίσκω ενδιαφέρουσα άσκηση!

[kkokkolis]

Γιατί δεν παίζει ρόλο; σε μια υποτιθέστω ώρα θα βλέπεις συνεχώς τον ίδιο αριθμό αειφανών αλλά θα ανατέλλουν συνεχώς νέοι αμφιφανείς. Άρα θα πρέπει να μετακινηθεί το σημείο προς τον πόλο, όπου φαίνονται περισσότεροι αειφανείς, έτσι ώστε ο αριθμός τους να ισούται με τον συνολικό αριθμό των αρχικά ορατών αμφιφανών + τον αριθμό όσων όσων θα ανατείλλουν εντός διαστήματος 1h.

[Heal]

Γιατί δεν παίζει ρόλο; σε μια υποτιθέστω ώρα θα βλέπεις συνεχώς τον ίδιο αριθμό αειφανών αλλά θα ανατέλλουν συνεχώς νέοι αμφιφανείς. Άρα θα πρέπει να μετακινηθεί το σημείο προς τον πόλο, όπου φαίνονται περισσότεροι αειφανείς, έτσι ώστε ο αριθμός τους να ισούται με τον συνολικό αριθμό των αρχικά ορατών αμφιφανών + τον αριθμό όσων όσων θα ανατείλλουν εντός διαστήματος 1h.

 

Ακριβώς, έτσι είναι!

 

Στην πρώτη περίπτωση θέλουμε η επιφάνεια που καταλαμβάνουν στον ουράνιο θόλο οι αειφανείς να είναι το μισό του ημισφαιρικού θόλου (π έναντι 2π, μιας και βλέπουμε μόνο το μισό της σφαιρικής επιφάνειας κάθε στιγμή) και λύνοντας το ολοκλήρωμα το τόξο που περιέχει τους αειφανείς αστερισμούς είναι 2π/3 (120 μοίρες), το οποίο συμβαίνει σε γεωγραφικό πλάτος 60 μοιρών.

 

Με βάση τη δεύτερη συλλογιστική θα μπορέσει κανείς να το υπολογίσει ως εξής: η επιφάνεια του ουράνιου θόλου που καλύπτουν οι οι αμφιφανείς είναι όλη η ουράνια σφαία (4π) μείον την επιφάνεια των αειφανών μείον την επιφάνεια των αφανών (οι δύο αυτές επιφάνειες είναι ίσες μεταξύ τους αν κάνεις ένα σχήμα και δεις ποιες γωνίες είναι κατακορυφή θα φανεί αμέσως, ας τις ονομάσουμε Α), και Β την επιφάνεια που καλύπτουν οι αμφιφανείς: συνολικά θα πρέπει να είναι:

2Α+Β=4π και επειδή ψάχνουν το γεωγραφικό πλάτος όπου Α=Β ισχύει ότι Α=4π/3, λύνοντας βλέπουμε ότι όντως αυτό συμβαίνει όταν το γεωγραφικό πλάτος είναι τοξο συνημιτόνου 1/3 δηλαδή σε γωνία περίπου 70 μοιρών.

[bellatrix]

Γιατί δεν παίζει ρόλο; σε μια υποτιθέστω ώρα θα βλέπεις συνεχώς τον ίδιο αριθμό αειφανών αλλά θα ανατέλλουν συνεχώς νέοι αμφιφανείς. Άρα θα πρέπει να μετακινηθεί το σημείο προς τον πόλο, όπου φαίνονται περισσότεροι αειφανείς, έτσι ώστε ο αριθμός τους να ισούται με τον συνολικό αριθμό των αρχικά ορατών αμφιφανών + τον αριθμό όσων όσων θα ανατείλλουν εντός διαστήματος 1h.

 

Έχεις απόλυτο δίκιο, ήταν βιαστική η απάντηση μου!

[thanos22]

Παιδια σας ευχαριστω ειλικρινα για τις απαντησεις σας! Το αποτελεσμα που βρηκα ειναι για την ακριβεια 70,5 μοιρες. Οσον αφορα την ασκηση δεν διευκρινιζει τη χρονικη διαρκεια επομενως συμπαιρανα οτι αναφερεται στους αμφιφανεις που παρατηρουμε γενικα καθ'ολη τη διαρκεια του 24ωρου. Μολις εχω νεα απο τη διορθωση θα σας ενημερωσω και θα ανεβασω για οποιον τυχον ενδιαφερεται τη λυση.(αν και γενικα πιστευω την περιεγραψε μια χαρα ο heal)

[bellatrix]

Παιδια σας ευχαριστω ειλικρινα για τις απαντησεις σας! Το αποτελεσμα που βρηκα ειναι για την ακριβεια 70,5 μοιρες. Οσον αφορα την ασκηση δεν διευκρινιζει τη χρονικη διαρκεια επομενως συμπαιρανα οτι αναφερεται στους αμφιφανεις που παρατηρουμε γενικα καθ'ολη τη διαρκεια του 24ωρου. Μολις εχω νεα απο τη διορθωση θα σας ενημερωσω και θα ανεβασω για οποιον τυχον ενδιαφερεται τη λυση.(αν και γενικα πιστευω την περιεγραψε μια χαρα ο heal)

 

Επειδη δεν το διευκρίνισε η άσκηση θεώρησα και εγώ βιάστηκα ότι δεν έπαιζε ρόλο...

 

Λύνοντας το με την δεύτερη συλλογιστική είχα βρει 70.5 μοίρες. .

@heal ποια η διαφορά των δύο συλλογισμων ώστε το αποτέλεσμα να αποκλινει κατά 10 μοίρες περιπου;

[bellatrix]

Παιδια σας ευχαριστω ειλικρινα για τις απαντησεις σας! Το αποτελεσμα που βρηκα ειναι για την ακριβεια 70,5 μοιρες. Οσον αφορα την ασκηση δεν διευκρινιζει τη χρονικη διαρκεια επομενως συμπαιρανα οτι αναφερεται στους αμφιφανεις που παρατηρουμε γενικα καθ'ολη τη διαρκεια του 24ωρου. Μολις εχω νεα απο τη διορθωση θα σας ενημερωσω και θα ανεβασω για οποιον τυχον ενδιαφερεται τη λυση.(αν και γενικα πιστευω την περιεγραψε μια χαρα ο heal)

 

Επειδη δεν το διευκρίνισε η άσκηση θεώρησα και εγώ βιάστηκα ότι δεν έπαιζε ρόλο...

 

Λύνοντας το με την δεύτερη συλλογιστική είχα βρει 70.5 μοίρες. .

@heal ποια η διαφορά των δύο συλλογισμων ώστε το αποτέλεσμα να αποκλινει κατά 10 μοίρες περιπου;

[giannis60]

Έτσι όπως είναι διατυπωμένο το πρόβλημα είναι ασαφή. Καταλήγουμε τουλάχιστον σε δύο εκδοχές. Την μεν πρώτη την κατανοούμε σαν το πρόβλημα να είχε διατυπωθεί ως εξής: Πιο είναι το γεωγραφικό πλάτος του τόπου, που το σφαιρικό το εμβαδόν των αειφανών είναι ίσο με το ήμισυ του εμβαδού του ουράνιου θόλου;

Και την δεύτερη έτσι όπως το έθεσε πολύ σωστά ο Κωνσταντίνος. Διότι στο σφαιρικό τόξο των αειφανών βλέπουμε τα ίδια αστέρια όλο το 24αωρο ενώ στο υπόλοιπο αστέρια διαρκώς ανατέλλουν και δύουν, άρα σε όλο το 24αωρο στο συγκεκριμένο κομμάτι του ουρανού βλέπουμε όσα αυτή την στιγμή επί 2.

[Heal]

Παιδια σας ευχαριστω ειλικρινα για τις απαντησεις σας! Το αποτελεσμα που βρηκα ειναι για την ακριβεια 70,5 μοιρες. Οσον αφορα την ασκηση δεν διευκρινιζει τη χρονικη διαρκεια επομενως συμπαιρανα οτι αναφερεται στους αμφιφανεις που παρατηρουμε γενικα καθ'ολη τη διαρκεια του 24ωρου. Μολις εχω νεα απο τη διορθωση θα σας ενημερωσω και θα ανεβασω για οποιον τυχον ενδιαφερεται τη λυση.(αν και γενικα πιστευω την περιεγραψε μια χαρα ο heal)

 

Επειδη δεν το διευκρίνισε η άσκηση θεώρησα και εγώ βιάστηκα ότι δεν έπαιζε ρόλο...

 

Λύνοντας το με την δεύτερη συλλογιστική είχα βρει 70.5 μοίρες. .

@heal ποια η διαφορά των δύο συλλογισμων ώστε το αποτέλεσμα να αποκλινει κατά 10 μοίρες περιπου;

 

Η διαφορά είναι αυτή που περιέγραψε ο Κωνσταντίνος, τα αιεφανή αστέρια δεν ανατέλλουν ούτε δύουν, άρα είτε παρατηρείς μια ολόκληρη νύχτα, είτε μια στιγμή θα δεις ακριβώς τον ίδιο αριθμό. Αντίθετα, συνέχεια ανατέλλουν νέα αμφιφανή αστέρια, άρα με βάση τη δεύτερη προσέγγιση πρέπει η παρατήρηση να γίνει πλησιέστερα στον πόλο ώστε η επιφάνεια που καλύπτουν οι αειφανείς στον ουρανό να είναι μεγαλύτερη.

[bellatrix]

Ευχαριστώ πολύ και τους δύο σας για την διευκρίνηση

 

@Heal συμφωνουμε σε αυτό! Ευχαριστώ