Το παράδοξο των διδύμων

[george2]

Αγαπητοί φίλοι,

στο βιβλίο Γενική Θεωρία της Σχετικότητας με τα μαθηματικά του λυκείου διάβασα για το παράδοξο των διδύμων.Εκεί το παράδοξο αυτό εξετάζεται με βάση την ειδική και με βάση την γενική θεωρία της σχετικότητας(λαμβάνοντας υπόψη ότι μέχρι ο δίδυμος που κάνει το ταξίδι να αποκτήσει την τελική του ταχύτητα επιταχύνεται άρα βρίσκεται σε μη αδρανειακό σύστημα).

Καταλήγει όμως και τις δύο φορές στο ίδιο αποτέλεσμα.

Τελικά αν υποθέσουμε ότι δύο δίδυμοι έμπαιναν σ'αυτή τη διαδικασία τι θα γινόταν;

Θα ήταν αυτός που έκανε το ταξίδι μικρότερος σε ηλικία από τον αδερφό του ή όχι;

 

Συγγνώμη αν σας κούρασα.

 

Φιλικά

Γιώργος

[Λιάκος]

πολύ ενδιαφέρον το ερώτημά σου. Μου το είχε εξηγήσει ένας καθηγητής στη σχολή αυτό. Απλά μου είπε ότι εξαρτάται απο το σύστημα αναφοράς που εσύ διαλέγεις. Τότε οι εξισώσεις της Ε.Θ.Σ προσαρμόζονται κατάλληλα. Αν διαλέξεις σαν ακίνητο σύστημα αναφοράς την γη, τότε ο ιπτάμενος αδερφός γερνάει πιο αργά, όμως αν επιλέξεις ακίνητο σύστημα αναφοράς το διαστημόπλοιο που κινείται, τότε ο αδερφός στην γη γερνάει πιο αργά. όλα στηρίζονται στην εξίσωση περί διαστολής χρόνου. Μιλάμε πάντα για αδρανειακά συστήματα, και απλούστευσα το πείραμα ώστε να μην έχουμε επιτάχυνση, και χρειάζονται οι εξισώσεις της Γ.Θ.Σ, όπου εκεί δεν ισχύουν τα παραπάνω.

[George Makris]

Για δύο αδρανειακά συστήματα ο ένας βλέπει τον άλλο να είναι νεώτερος γιατί η κίνηση είναι σχετική.

Όταν όμως ο άλλος φεύγει κι επιστρέφει δεν έχουμε δύο αδρανειακά συστήματα.

[dimos]

O Σάγκαν στη Σειρά Κόσμος επιδυκνύει με διασκεδαστικό τρόπο αυτό το παράδοξο, χρησιμοποιώντας ως "διαστημόπλοιο" ένα ...σκουτεράκι στην ύπαιθρο της Ιταλίας!

Το ανώτατο όριο των 40χλμ/ώρα θεωρείται στο συγκεκριμένο παράδειγμα ως το όριο της ταχύτητας του φωτός.

Ο μεγαλύτερος αδερφός αφήνει τον πολύ μικρότερο αδερφό και την παρέα του και πηγαίνει για μια ολιγόλεπτη βόλτα στήν ύπαιθρο με το σούπερ ντούπερ σκουτεράκι του.

Στο ταξίδι του και πλησιάζοντας το όριο των 40χλμ/ώρα ο χώρος όλος συμπιέζεται σε ένα κύκλο που όλο και μικραίνει μπροστά από τα μάτια του. Όλα τα αντικείμενα, τα δέντρα και τα σπίτια που βρίσκονται πίσω του τα βλέπει πλέον συμπιεσμένα στον κύκλο μπροστά του με μια κόκκινη απόχρωση (μετατόπιση προς το ερυθρό) μαζί με τα αντικείμενα που βρίσκονται κανονικά εμπρός του με μια μπλέ απόχρωση (μετατόπιση προς το κυανό)!!

Όταν επέστρεψε, ο χώρος όλος επανέρχεται στην κανονική του θέα, έχουν περάσει μόλις λίγα λεπτά γι'αυτόν, αλλά όλη η παρέα του έχει πεθάνει και συνταντάει τον μικρότερο αδερφό του, Βιντσέζο, ο οποίος είναι πλέον γέρος!

[George Makris]

Πολύ σημαντικό είναι ότι για τον ταξιδιώτη ο χώρος μικραίνει.

 

Μια καλή παρουσίαση του παραδόξου:

 

How does relativity theory resolve the Twin Paradox?

http://www.sciam.com/askexpert_question.cfm?articleID=000BA7D8-2FB2-1E6D-A98A809EC5880105&catID=3&topicID=13

 

Από το περιοδικό Scientific American:

ASK THE EXPERTS

http://www.sciam.com/askexpert_directory.cfm

[Flashy]

O Σάγκαν στη Σειρά Κόσμος επιδυκνύει με διασκεδαστικό τρόπο αυτό το παράδοξο, χρησιμοποιώντας ως "διαστημόπλοιο" ένα ...σκουτεράκι στην ύπαιθρο της Ιταλίας!

Το ανώτατο όριο των 40χλμ/ώρα θεωρείται στο συγκεκριμένο παράδειγμα ως το όριο της ταχύτητας του φωτός.

Ο μεγαλύτερος αδερφός αφήνει τον πολύ μικρότερο αδερφό και την παρέα του και πηγαίνει για μια ολιγόλεπτη βόλτα στήν ύπαιθρο με το σούπερ ντούπερ σκουτεράκι του.

Στο ταξίδι του και πλησιάζοντας το όριο των 40χλμ/ώρα ο χώρος όλος συμπιέζεται σε ένα κύκλο που όλο και μικραίνει μπροστά από τα μάτια του. Όλα τα αντικείμενα, τα δέντρα και τα σπίτια που βρίσκονται πίσω του τα βλέπει πλέον συμπιεσμένα στον κύκλο μπροστά του με μια κόκκινη απόχρωση (μετατόπιση προς το ερυθρό) μαζί με τα αντικείμενα που βρίσκονται κανονικά εμπρός του με μια μπλέ απόχρωση (μετατόπιση προς το κυανό)!!

Όταν επέστρεψε, ο χώρος όλος επανέρχεται στην κανονική του θέα, έχουν περάσει μόλις λίγα λεπτά γι'αυτόν, αλλά όλη η παρέα του έχει πεθάνει και συνταντάει τον μικρότερο αδερφό του, Βιντσέζο, ο οποίος είv

αι πλέον γέρος!

 

 

επιτελους μπορω να εξηγησω σε φιλους τι γινεται τελειο πχ

[Βιβή]

εγώ αυτό θέμα με τα ταξίδια των διδύμων στο σύμπαν το αντιλαμβάνομαι όπως τα ταξίδια πάνω στην υδρόγειο.

Δηλαδή όπως όταν ταξιδεύειες για ιαπωνία πχ το ταξίδι διαρκεί (δηλαδή έσυ αντιλαμβάνεσαι οτι ταξιδεύεις) 16 ώρες, όμως όταν φτάσεις στην ιαπωνία ενημερώνεσαι οτι έφτασες 22 ώρες μετά την αναχώρησή σου. Δηλαδή οι κάτοικοι της Ιαπωνίας είναι 6 ώρες μεγαλύτεροι από ότι τους περίμενες (τα δυο σημεία πάνω στη γη κινούνται με την ίδια ταχύτητα). Όταν αποφασίσεις να γυρίσεις το τξίδι σου ( εφόσον θα γίνει με την ίδια ταχύτητα) θα διαρκέσει για σένα πάλι 18 ώρες αλλά θα φτάσεις 6 ώρες νωρίτερα από ότι περίμενες.

Στο ταξίδι όμως ale retour τις ώρες που χάνεις τις κερδίζεις.

Άρα ταξιδεύεις συνολικά όσες ώρες σε βλάπουν και οι άλλοι να ταξιδεύεις.

βλέπω δηλαδή αντιστοιχία με την προυπόθεση οτι ο χρόνος είναι ένα μονοδίαστατο αθξανόμαινο σταθερά αυξανόμενο μέγεθο(όπως η περιστροφή της γης που καθορίζει την ώρα).

το να γυρίζεις όλη τη γη όπως ο φιλέας φογκ (που στο τέλοσ κέρδισε 1 μέρα) νομίζω οτι αντιστοιχεί με ένα ταξίδι σε όλη την έκταση του μηχανισμου με τον οποίο μετριέται ο χρόνος του χώρου μέσα στον οποίο ταξιδεύεις.

 

αν έχω χάσει την μπάλα pleaseeeee βοηθείστε!!!

[George Makris]

Αγαπητή Βιβή, θα προσπαθήσω να βοηθήσω: Για τους κατοίκους της Ιαπωνίας και τους κατοίκους της Ελλάδας κάθε σου ταξείδι από την Ελλάδα προς την Ιαπωνία διαρκεί το ίδιο.

Δηλαδή η ώρα άφιξης σε ώρα Ιαπωνίας μείον την ώρα αναχώρησης σε ώρα Ιαπωνίας είναι το ίδιο με την ώρα άφιξης σε ώρα Ελλάδας μείον την ώρα αναχώρησης σε ώρα Ελλάδας, έτσι δέν είναι;

Η Ελλάδα και η Ιαπωνία δεν διαφωνούν στην διάρκεια του χρόνου, αλλά στο τι ώρα είναι.

 

Στην θεωρία της Σχετικότητας αν έχουμε δύο παρατηρητές όπου ο ένας κινείται με ταχύτητα κοντά στην ταχύτητα του φωτός τότε ο κάθε παρατηρητής αντιλαμβάνεται διαφορετικά την διάρκεια του χρόνου και την απόσταση που διανύεται.

[Heal]

Η αναλογία με τα ταξίδια και την αλλαγή ώρας είναι ελκυστική αλλά επισφαλής και δεν είναι σε απόλυτη αντιστοιχία, δηλαδή στο σύστημα αναφοράς της Ιαπωνίας υπάρχει διαφορά κάποιων ωρών αλλά ο χρόνος κυλάει παντού με την ίδια ταχύτητα.

 

Ας προσπαθήσουμε να δούμε λιγάκι το θέμα από την αρχή. Ας φανταστούμε ότι ένας άνθρωπος περνάει από μπροστά μας με μια ταχύτητα υ, τότε αν κάποιος τον παρακολουθήσει κοιτάξει θα νομίσει ότι ο χρόνος του κυλαέι πιο σιγά, με τη σειρά του αυτός που τρέχει ως προς εμάς δε θα αισθανθεί κάτι παράξενο για τον εαυτό του αλλά θα νομίσει ότι στο δικό μας σύστημα αναφοράς ο χρόνος κυλάει πιο αργά. Κατά συνέπεια αντικειμενικά δεν μπορεί να πει κανείς ότι ο χρόνος κυλάει πιο αργάή πιο γρήγορα, παρά μόνο αν το συγκρίνει με το δικό του αδρανειακό σύστημα.

 

Τί γίνεται όμως με το παράδοξο των διδύμων. Πριν προσπαθήσουμε να δώσουμε μια εξήγηση ας το περιγράψουμε. Την χρονική στιγμή t=0 ο αδερφός Α είναι ακίνητος πάνω στη Γη και ο αδερφός Β περνάει μπροστά του με μια τεράστια ταχύτητα κοντά στη ταχύτητα του φωτός, για κάποιο χρονικό διάστημα κινείτα και απομακρύνεται από τον αδερφό του, ώσπου επιβραδύνει σταματάει και μετά επιταχύνει προς την αντίθετη κατεύθυνση και επιστρέφει στον αδερφό του. Εκεί τον βρίσκει πολύ γερασμένο...

 

Με μια πρώτη ματιά θα πει κανείς: αφού με βάση τα παραπάνω αν ο Α κινείται ως προς τον Β και ο Β θα κινείται ως προς τον Β οπότε η διαστολή του χρόνου θα υφίσταται και για τους δύο επομένως κανείς δε θα έπρεπε να δει τον άλλο πιο γηρασμένο.

 

Όλο το παιχνίδι έχει να κάνει με το ότι δεν μπορείς σε ένα επίπεδο χωρόχρονο να κάνεις ένα ταξίδι που να αρχίζει και να τελειώνει στο ίδιο σημείο χωρίς να υποστείς κάποια επιτάχυνση. Οι νόμοι όμως της ειδικής σχετικότητας δεν ισχύουν για επιτάχυνομενα συστήματα αναφοράς. Έτσι οι δύο παρατηρητές δεν είναι ισοδύναμοι, μιας και ο πρώτος είναι συνεχώς σε αδρανειακό σύστημα αναφοράς ενώ ο δεύτερος είναι σε επιταχυνόμενο. Αυτή η επιτάχυνση είναι ακριβώς η αιτία που επιστρέφει και βρίσκει τον αδερφό του γερασμένο.

[Βιβή]

δυσκολευομαί να αντιληφθώ τον όρο "επίπεδος χωροχρόνος"

τι ορίζεται ως επίπεδο;

[Heal]

Eνας χωρόχρονος που ικανοποιεί τη μετρική του Μινκόφσκι.

[vag_stephanou]

εγώ αυτό θέμα με τα ταξίδια των διδύμων στο σύμπαν το αντιλαμβάνομαι όπως τα ταξίδια πάνω στην υδρόγειο.

 

Η διαφορά είναι στην ταχύτητα. Στο ταξίδι με το αεροπλάνο η διαφορά ώρας στην ουσία είναι τεχνητή, δεν υπάρχει. Απλά καθορίζεται από το πότε ανατέλλει ο ήλιος στην κάθε χώρα. (Βλέπε επίσης το post για το τι είναι χρόνος) Αν για παράδειγμα όλοι μετρουσαμε την ίδια ώρα, πχ Zulu time ή internet time δεν θα υπήρχε καμία απολύτως διαφορά μετά από ένα μακρινό ταξίδι στη Γη.

 

Τρέχοντας όμως κοντά στην ταχύτητα του φωτός τα πράγματα αλλάζουν ριζικά, διότι για αυτόν που ταξιδεύει ΑΛΛΑΖΕΙ ο χρόνος, κανονικά, όχι όπως η διαφορά μεταξύ Ελλάδας-Ιαπωνίας... Είναι λίγο μπέρδεμα να χωρέσει στο μυαλό. Γι'αυτό και εξηγείται με μαθηματικά (όχι ότι ξέρω πως) και όχι με λόγια, διότι εκεί δε χωράνε αμφιβολίες....

[Βιβή]

 

ερωτήσεις:

 

δηλαδή το οτι έχει αποδιχθεί οτι το σύμπαν είναι επίπεδο σημαίνει οτί έχει αποδιχθεί οτι είναι ένας χώρος όπως περιγάφθικε από τον Μινκοφσκι;

 

και αφού η θεωρεία τις σχετικότητας αναπτύχθικε με βάση αυτό τον χώρο με αυτό το συμπέρασμα(οτι δηλαδη το σύμπαν είναι ένας χώρος ΜΙνκοφσκι) εδρεώνεται περισσότερο αυτή;

 

τέλος τι γίνεται αν εξεταστεί το θέμα των διδύμων με την γενική θεωρία της οποίας οι νόμοιισχύουν και για επιταχυνόμενες κινήσεις;

[Heal]

Γεια σου Βιβή, είναι πάρα πολύ ενδιαφέρον το ζήτημα που ρίχνεις για συζήτηση!

 

Κατ' αρχάς η τετριμένη λύση των εξισώσεων του Αινστάιν απουσία πηγών (με τις κατάλληλες συνοριακές συνθήκες) είναι η μετρική του Μινκόφσκι, δηλαδή ένας επίπεδος χωρόχρονος. Για τα προβλήματα της κοσμολογίας η μετρική που είναι επαληθεύει τις εξισώσεις του Αινστάιν είναι αυτή του Robertson-Walker. Αυτή μπορεί να είναι επίπεδη ή θετικά ή αρνητικά καμπυλωμένη και το είδος της καμπυλότητας δεν αλλάζει (δηλαδή αν το σύμπαν ήταν θετικά καμπυλωμένο πριν από μερικά δις χρόνια θα είναι και σήμερα). Η λύση αυτή για την περίπτωση του επίπεδου σύμπαντος διαφοροποιείται απο την μετρική του Μινκόφσι στο έχει έναν παράγοντα κλίμακας που εξελίσσεται με το χρόνο και κατά βάση εκφράζει την διαστολή του σύμπαντος. Για κάθε χρονική στιγμή αυτός ο παράγοντας είναι ο ίδιος σε ολόκληρο το σύμπαν οπότε αν πάρουμε ένα στιγμιότυπο της εξέλιξης ενός επίπεδου σύμπαντος η γεωμετρία του θα περιγράφεται από την μετρική του Μινκόφσκι. Ενα όμορφο ανάλογο είναι ένα επίπεδο ελαστικό που το τεντώνουμε με αποτέλεσμα να διαστέλλεται. Αν και δεν είναι στατικό, εντούτοις είναι πάντα επίπεδο.

 

Για το δεύτερο ζήτημα κατά πόσον εδραιώνεται η θεωρία της σχετικότητας, από όσο ξέρω σε κλίμακες που μπορούμε να έχουμε εποπτεία δεν έχει αμφισβητηθεί, δηλαδή δεν υπάρχον πειράματα ή παρατηρήσεις (με μικρό πειραματικό σφάλμα) που να αποκλίνουν από τις προβλέψεις της. Φυσικά δεν έχει ελεγθεί σε όλες τις κλίμακες και για αυτό παραμένει θεωρία.

 

Για το παράδοξο των διδύμων που ήταν η αφορμή για αυτή τη κουβέντα: για το διάστημα επιβράδυνση-αλλαγή κατεύθυνσης- επιτάχυνση δεν ισχύει η Ειδική Σχετικότητα και γίνεται χρήση της Γενικής (μια όμορφη ανάλυση έχει το βιβλίο του Schutz "Εισαγωγή στη Γενική Σχετικότητα" δεν είναι αρκετά ελαφρύ και θέλει ένα αξιοπρεπές υπόβαθρο στα μαθηματικά και στη φυσική, 3ο-4ο έτος για φοιτητές θετικών σχολών). Οπότε η λύση του "παραδόξου" απαιτεί την χρήση της Γ.Σ. Φυσικά αν βρίσκονται εντός βαρυτικού πεδίου οι δύο παρατηρητές και η Γενική Σχετικότητα δεν μπορεί να αγνοηθεί χρειάζεται λεπτομερή λυση. Πάντως τέτοιου είδους ανάλυση δεν έχω πετύχει μέχρι ώρας πουθενά.

Φιλικά,

Κώστας

[ΠΑΠΑΣΩΤΗΡΙΟΥ ΛΕΩΝ]

Το μυστικο ειναι η επιταχυνση.Αυτη διαφοροποιει τον χρονο του ενος δυδυμου απο αυτον του αλλου.

Στο παραδειγμα που ο ενας μενει στη γη και ο αλλος ταξειδευει επιταχυνομενος ,ο δευτερος παρουσιαζεται πιο νεος απο τον πρωτο σε χρονο γης(π.χ.,μετα απο 20 γηινα χρονια θα ειναι λιγοτερο γερασμενος απο το πρωτο)

[dimos]

Πάντως από τις πρόσφατες παρατηρήσεις του τηλεσκοπίου Spitzer της ακτινοβολίας υποβάθρου προκύπτει ότι το σύμπαν ακολουθεί όντως την ευκλείδια γεωμετρία(!)...

 

Τι σου είναι όμως αυτοί οι αρχαίοι ημών..