0.9999... = 1

[vasiamits]

Ίσως όχι τόσο σχετικό με την αστρονομία, αλλα η απόδειξη αυτή με οδήγησε σε σοβαρή κοσμολογική συζήτηση

 

0.9999... = 1

 

 

 

Απόδ.

 

0.9999... = 1

 

χ = 0.9999...

10χ = 9.9999...

10χ - χ = 9.9999... - 0.9999...

9χ = 9

χ = 1

[dimidour]

Αν και φαίνεται πολύ λογική η σκέψη σου και μέσα στα πλαίσια της άλγεβρας εντούτοις υπάρχει λάθος το οποίο δεν φαίνεται φυσικά καθαρά!

 

Το λάθος είναι στις τελείες....δηλαδή στο άπειρο πλήθος των ψηφίων 9 που ακολουθούν την υποδιαστολή. Εσύ αφαιρείς έναν αριθμό με άπειρα ψηφία από έναν άλλο με εξίσου άπειρα ίδια ψηφία και βγάζεις ακέραιο. Αυτό όμως δυστυχώς απαγορεύεται καθώς πάντα υπάρχει άλλο ένα ψηφίο 9 το οποίο δεν έχει αφαιρεθεί....

[giorgosgr]

Δεν είναι λαθος 0.9999...=1

 

http://faqs.cs.uu.nl/na-dir/sci-math-faq/0.999999.html

 

Μ' άρεσε (παρότι δεν είναι αυστηρή απόδειξη) το 0.333...=1/3, 0.999...=3x1/3=1.

[xmavidis]

Το αποτέλεσμα αυτό βγαίνει με χρήση άπειρων σειρών. Αυτό σημαίνει όχι ότι ο 0,9999... = 1 αλλά ότι ο αριθμός 0,999... προσεγγίζει το 1 αλλά δεν τον φτάνει ποτέ.

[George Makris]

Το αποτέλεσμα αυτό βγαίνει με χρήση άπειρων σειρών. Αυτό σημαίνει όχι ότι ο 0,9999... = 1 αλλά ότι ο αριθμός 0,999... προσεγγίζει το 1 αλλά δεν τον φτάνει ποτέ.

 

To 0.999... = 1

 

Η ακολουθία Σν = 9/10 + 9/100 + 9/1000 +... προσεγγίζει το 1 όταν το ν τείνει στο άπειρο.

[George Makris]

Αυτό όμως δυστυχώς απαγορεύεται καθώς πάντα υπάρχει άλλο ένα ψηφίο 9 το οποίο δεν έχει αφαιρεθεί....

 

Ποιό δεν έχει αφαιρεθεί; Όλα αφαιρούνται. Είναι από τα παράδοξα των supertags.

[giorgosgr]

Το ίδιο είναι, το 0.999...=1 ουσιαστικά σημαίνει ότι το 9/10+9/100+9/1000+... τείνει στο 1. Άθροισμα άπειρων όρων

γεωμετρικής προόδου.

Τελείως ανάλογο με το 0.3333...=1/3 για παράδειγμα. Το link που έδωσα το αναλύει:

 

In modern mathematics, the string of symbols 0.9999... is understood

to be a shorthand for ``the infinite sum 9/10 + 9/100 + 9/1000 +

...''. This in turn is shorthand for ``the limit of the sequence of

real numbers 9/10, 9/10 + 9/100, 9/10 + 9/100 + 9/1000, ...''. Using

the well-known epsilon-delta definition of the limit (you can find it

in any of the given references on analysis), one can easily show that

this limit is 1. The statement that 0.9999... = 1 is simply an

abbreviation of this fact.

[KOSTAKIS]

Ειναι το προφανες παραδειγμα της αδυναμιας των υπολογιστων για μακροπροβλεψεις.Μπορει να εκλαμβανεται σαν αμελητεα διαφορα σε μια απλη πραξη,οταν ομως ειναι πχ παραγοντας σε καταστασεις που εχουμε επαναληψη,το προστιθεμενο "σφαλμα" μπορει να ειναι τεραστιο,και να αποπροσανατολισει τελειως το αποτελεσμα.Αν βαλεις πχ μια σφαιρα να γυριζει με πραγματικη περιοδο 0,999999999.......... δευτερολεπτα,ενω ο υπολογιστης διαβαζει 1,και θες να μετρησεις ποσες περιστροφες θα εχει κανει μετα απο 1000 χρονια,φανταστειτε ποσο λανθασμενο θα ειναι το αποτελεσμα.

Η να ειναι παραγοντας εξω απο παρενθεση,και εντος της παρενθεσης να εχουμε μεγεθη που τεινουν στο απειρο....Το σφαλμα θα τεινει και αυτο στο απειρο.

[KOSTAKIS]

Εκανα μια προχειρη πραξη τωρα στο κομπιουτερακι και ξανα σφαλματα....

9δια 9=1...ξανα δια 9=0.1111111 ξανα δια 9=0.0123456......

επι 9=0,111104(αντι για 0.1111111)....επι 9 =0.9999936(αντι 1)..

Μπορει να ειναι της πλακας το κομπιουτερακι,αλλα και ενας υπερυπολογιστης,απλα,θα ελαχιστοποιησει το σφαλμα,και δεν θα το μηδενισει.......ποτε.

το ιδιο συμβαινει και με το 8 απο οτι ειδα.Στις πρωτες πραξεις ακολουθει κανονικα.Μολις οι δεκαδικοι αυξηθουν,χανεται ο ελεγχος τελειως

[vag_stephanou]

Παιδιά, είναι σωστό το ότι ο αριθμός αυτός ΤΕΙΝΕΙ στο 1 όταν τα ψηφία τείνουν στο άπειρο, αλλά δεν είναι σωστό να μιλάμε για ισότητα. vasiamits, ο συλλογισμός που έγραψες περιέχει ένα σφάλμα, αφού κάνει την υπόθεση "έστω χ=0,99999". Εσύ όμως θέλεις να δείξεις ότι 1=0,99999. Οπότε με το να δίνεις στο χ αυθαίρετα την τιμή ,99999 είναι σαν να δέχεσαι αυτό που θες να αποδείξεις, χ=0,99999=1 οπότε είναι λογικό να σου βγαίνει το αποτέλεσμα χ=1.......

 

Εξάλλου, όσα 9αρια και να βάλουμε στο τέλος, πάντα θα υπάρχει ένας αριθμός ανάμεσα στον αριθμό με τα πολλά 9αρια και τη μονάδα... Αυτό είναι γνωστό και ως "πυκνότητα των ρητών στους πραγματικούς", δηλαδή ανάμεσα σε οποιουσδήποτε δύο πραγματικούς υπάρχει ένας ρητός.

 

Είναι άλλο πράγμα να τείνει κάτι κάπου και άλλο ότι είναι ίσα...

[Heal]

Πράγματι, μια πιο αυστηρή διατύπωση για να αποφύγουμε το φαινεμονικό παράδοξο είναι ότι το όριο του αθροίσματος:

9/10+9/100+9/1000+... είναι 1 ή ισοδύναμα

 

όριο Σ 9/(10^ν) για ν=1 έως Ν όταν το Ν τείνει στο άπειρο είναι 1

 

Οσον αφορά το πείραμα με το κομπιουτεράκι υπάρχει η εξής αδυναμία, συνήθως αποθηκεύουν τους αριθμούς ως πραγματικούς με κάποιο πεπερασμένο πλήθος δεκαδικών, οπότε ακόμα και αν εκτελέσουμε αντίστροφα τις πράξεις και στο μεταξύ υπάρχουν ψηφία που χάνονται (ακόμη και εάν ο αριθμός δεν είναι περιοδικός), αλλά δεκαδικός με πεπερασμένο πλήθος ψηφίων δε θα καταλήξουμε στον αρχικό αριθμό.

[vag_stephanou]

Σωστός ο Heal! Είναι παραπλανητικό να γράφουμε "0,99999...=1", πολύ απλά δεν υπάρχουν κάν αριθμοί με τελίτσες!!

[dimidour]

Ακριβώς αυτό έλεγα και εγώ! Δεν ισχύει η ισότητα.

 

giorgosgr αυτό που δείχνεται με την ισότητα 0,33333...=1/3 δεν είναι τίποτα άλλο από τον τρόπο εύρεσης του κλάσματος που δίνει τον περιοδικό αριθμό. Αποδεικνύεται δηλαδή ότι οι περιοδικοί δεκαδικοί είναι ρητοί και όχι άρρητοι. Βρίσκεται δε στο βιβλίο μαθηματικών της Α' Γυμνασίου!!!! (Το τελευταίο το λέω έτσι απλά σαν ακαδημαϊκή γνώση....Δεν υπονοώ τίποτα!!!)

[Canopus]

Παιδιά, είναι σωστό το ότι ο αριθμός αυτός ΤΕΙΝΕΙ στο 1 όταν τα ψηφία τείνουν στο άπειρο, αλλά δεν είναι σωστό να μιλάμε για ισότητα.

 

Ακριβώς... Η πράξη που παρέθεσε ο αρχικός συγγραφέας είναι εντελώς λάθος από άποψη word_length. Τι πάει να πει άπειρο πλήθος από 9άρια; Πάει να πει ότι όσο το πλήθος των 9 τείνει στο άπειρο, το 0.99.... τείνει στο 1. Ωστόσο αυτό δεν είναι ισότητα, με την αυστηρή μαθηματική έννοια αλλά όριο.

 

Πιο αυστηρά, το 0,999.. είναι η αναδρομική ακολουθία

α(n)=α(n-1)+0.9/n, με α(0)=0.

 

Σε όποιον από τους όρους της ακολουθίας κάνεις την πράξη α(n)-1 το αποτέλεσμα δεν είναι *ποτέ* μηδέν. Ακριβώς όπως ισχύει για το

 

e-(1+1/n)^n, όπου πάλι, το όριο τείνει στο 0, αλλά δεν ισούται ποτέ με αυτό.

ps1: Σε fixed-point arithmetic, ωστόσο, θεωρώντας ότι το 9.9999.. έχει το μέγιστο αριθμό εννιαριών, ισχύει ο ισχυρισμός ότι 0.9999..=1 βάσει τη αφαίρεσης

ps2: όχι όμως σε floating-point arithmetic (όπως αυτή στο pc σας για τους δεκαδικούς)

[Achilleas]

Σιγά μπορούμε να γράψουμε 0,9 με μια γραμή πάνω απο το ψηφίο 9 που σημαίνει περιοδικός αριθμος 0,999999999999999...999999999...99999....

Και απ'όσο ξέρω είναι αποδεκτή σημειογραφία....

 

Βέβαια δεν ξερω για το 0,99999...=1 ίσως θα ταν πιο σωστό το 0,999999≃1 (δεν ξέρω αν θα φανεί αλλα αντί για "ισον" έβαλα "περιπου ίσον")

[giorgosgr]

Η ισότητα σαφώς και ισχύει τέλος μην το παιδεύετε.

 

http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...

 

 

ΥΓ Το 1/3=0.3333... δεν το αμφισβητεί κανείς. Το 0.9999...=1 συζητείται.

[koyote]

Εμενα κατι δε μου κολαει ομως....Συγχωρεστε με να λεω χαζομαρες αλλα δεν εχω τις απαραιτητες γνωσεις μαθ/κων.Μου φαινεται πιο λογικο αυτος ο αριθμος να τεινει στο 1.Εξαλλου δεν προκειται για 2 διαφορετικους αριθμους??

Αλλα το θεμα ξεπερνα τα ορια της δικης μου τουλαχιστον λογικης.......

[George Makris]

0.999... οι τρεις τελείες σημαίνουν άπειρα δεκαδικά ψηφία με το 9. Οπότε στην περίπτωση αυτή ΔΕΝ ΤΕΙΝΕΙ, αλλά ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΝ με το 1.

[Adam]

Ίσως όχι τόσο σχετικό με την αστρονομία, αλλα η απόδειξη αυτή με οδήγησε σε σοβαρή κοσμολογική συζήτηση

 

0.9999... = 1

Φίλε vasiamits ανάβεις "φωτιές" καλοκαιριάτικα

Φιλικά

[vasiamits]

Απο ότι γνωρίζω η ισότητα ισχύει και είναι αποδεκτή απο τα επίσημα μαθηματικά (διορθώστε με αν κάνω λάθος).

 

Όπως είπε και ο giorgosgr υπάρχει και το άλλο παράδοξο:

 

1/3=0.3333...

 

3*0.3333...=0.9999...

 

αλλά 3*1/3=1

 

 

 

[dimpap]

 

Είναι άλλο πράγμα να τείνει κάτι κάπου και άλλο ότι είναι ίσα...

 

[Darkchilde]

Ακριβώς γι'αυτό στα μαθηματικά δεν λές ποτέ ότι 0,9999... = 1 αλλά βάζεις άλλο σύμβολο που έχει κυματοειδής μορφή και λές ότι το 0,9999... στρογγυλοποιείται στο 1 για απλοποίηση. Όταν όμως θέλεις να χρησιμοποιήσεις τον αριθμό για περαιτέρω υπολογισμούς, τότε χρησιμοποιείς το 0,9999... και όχι το 1. Για να μπορέσεις να έχεις όσο το δυνατόν πιο ακριβή στοιχεία στους υπολογισμούς που κάνεις.

[vasiamits]

Το ότι όταν το πλήθος των δεκαδικών .9 τείνει στο άπειρο τότε το 0.9999... τείνει στο 1, το ξέρουμε. Το τι σχέση έχει με την αρχική μου απόδειξη δεν ξέρω.

 

Εγώ παρέθεσα δύο αποδείξεις, βρείτε το λάθος εκεί. Το 0.9999...=1 είναι το αποτέλεσμα, όχι αρχικό δεδομένο.

 

Κατά τη γνώμη μου, η απάντηση που προσεγγίζει αρκετά καλά το θέμα είναι η πρώτη του dimidour.

[Darkchilde]

Είναι ακριβώς όπως τα λέει ο dimidour. Η απαντησή μου είναι απλώς συμπλήρωμα στο πως γίνονται υπολογισμοί μερικές φορές, για να έχεις απλοποίηση. Στα μαθηματικά δεν μπορείς να πείς ότι δύο διαφορετικοί αριθμοί είναι ίδιοι. Δηλαδή το 0,999... δεν ισούται με το 1. Όσα 9 και να βάλεις μετά, όπως είπε ο dimidour, έχεις πάντα ένα 9 ακόμα.

 

Απλώς όσα περισσότερα 9 βάζεις μετά τόσο περισσότερο πλησιάζεις το 1, αλλά δεν το φτάνεις ποτέ.

 

Πες ότι χ = 0,9999999999 (ή όσα περισσότερα θέλεις να βάλεις) (εδώ έχουμε 10 αριθμούς 9 μετά το κόμμα)

 

άρα:

 

10χ = 9,999999999 (εδώ το ένα 9 μετατίθεται πριν το κόμμα και έχεις 9 εννιάρια μετά το κόμμα)

10χ - χ = 9,999999999 - 0,9999999999

9χ = 8,9999999991

χ = 0,9999999999

 

Όταν πολλαπλασιάζεις με το 10, ένα από τα 9 πάνε πριν από το κόμμα, οπότε όταν μειώνεις τον αριθμό δεν βγάζεις 9 αλλά 8,9999...(με το 1 τελευταίο ψηφίο) και ούτω καθεξής. Εκεί βρίσκεται το λάθος στην απόδειξή σου. Στο παραπάνω μπορείς να βάλεις όσα 9 θέλεις, απλώς πρόσεχε πόσα 9 έχεις πριν και μετά το κόμμα όταν κάνεις τους υπολογισμούς αυτούς. Αυτό ήθελε να σου πεί ο dimidour.

[vasiamits]

Το ότι δύο διαφορετικοί αριθμοί δεν μπορεί να είναι ίσοι το ξέρουμε. Όμως οι παραπάνω αποδείξεις μας οδηγούν αλλού.

 

Αυτό που λές για μετατόπιση του δεκαδικού είναι σωστά, αλλά ξεχνάς ότι το 0.9999... είναι δεκαδικός με άπειρα δεκαδικά ψηφία (οι τελείτσες το δείχνουν αυτο, μιας και δεν ξέρω πως μπορεί να γραφτεί το σύμβολο των περιοδικών στον υπολογιστή). Οπότε και να μετατοπίσεις το κόμμα δεν αλλάζει ο αριθμός

 

0.9...=0.99....=0.999... κτλ

 

Πέρα απο τα παραπάνω, η εξήγηση σου δεν εξηγεί την δεύτερη απόδειξη (αυτή με το 1/3)