Περί Μαθηματικών.

[Δροσος Γεωργιος]

Πρόβλεψη εκλείψεων: Το πρόβλημα των τριών σωμάτων (βίντεο)

Πριν από σχεδόν 3.000 χρόνια, οι Βαβυλώνιοι ξεκίνησαν μια από τις μακροβιότερες επιστημονικές έρευνες στην ιστορία. Στόχος ήταν η πρόβλεψη των εκλείψεων. Αυτός ο μοναδικός στόχος οδήγησε σε νέες ανακαλύψεις της επιστήμης και των μαθηματικών, από τον κύκλο Σάρος, στην ελληνική γεωμετρία, στον μηχανισμό των Αντικυθήρων, στον λογισμό του Νεύτωνα και στο πρόβλημα των τριών σωμάτων. Σήμερα, η πρόβλεψη της έκλειψης είναι μια ακριβής επιστήμη. Οι επιστήμονες της NASA προβλέπουν εκλείψεις εκατοντάδες χρόνια στο μέλλον:

 

00:00 Η επίλυση του προβλήματος των Τριών Σωμάτων είναι το κλειδί για την πρόβλεψη των εκλείψεων 00:52 Σημασία των εκλείψεων για τους αρχαίους πολιτισμούς 01:20 Οι κύκλοι της σεληνιακής φάσης, επίπεδο εκλειπτικής, δρακόντειος μήνας, ανώμαλος μήνας 02:18 Ανακάλυψη του κύκλου σάρος από τους Βαβυλώνιους 03:34 Ο μηχανισμός των Αντικυθήρων κωδικοποιεί τον κύκλο του σάρος 04:22 Οι ανακαλύψεις του Νεύτωνα οδηγούν σε νέους υπολογισμούς της έκλειψης 00:48 Πώς να λύσετε το πρόβλημα των τριών σωμάτων 05:24 Η λύση της NASA στο πρόβλημα των τριών σωμάτων, θέση της Γης, της Σελήνης και του Ήλιου 06:51 JPL Development Ephemeris 07:25 Πρόβλεψη μελλοντικών εκλείψεων 08:14 Το τέλος της τρέχουσας σειράς σαρος

διαβάστε σχετικά: How the Ancient Art of Eclipse Prediction Became an Exact Science

 

[Δροσος Γεωργιος]

Φυσικοί βρίσκουν έναν νέο τρόπο υπολογισμού του αριθμού π

Πολλές φορές η φυσική συν-πλέκεται με τα καθαρά μαθηματικά. Ένα ωραίο παράδειγμα είναι απόδειξη της σειράς Wallis που προσεγγίζει τον αριθμό π , μέσα από την επίλυση ενός προβλήματος κβαντομηχανικής (διαβάστε σχετικά: Η κβαντομηχανική προσέγγιση του αριθμού π). Στην περίπτωση αυτή αποδεικνύεται με έναν πρωτότυπο τρόπο ένας τύπος που ήταν ήδη γνωστός από το 1655.
Όμως, πριν από μερικές ημέρες ανακοινώθηκε κάτι πιο εντυπωσιακό.
Σύμφωνα με το phys.org, οι φυσικοί Arnab Saha και Aninda Sinha από το Ινδικό Ινστιτούτο Επιστημών (IISc), ενώ διερευνούσαν το πώς η θεωρία χορδών μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει ορισμένα φυσικά φαινόμενα, έκαναν και μια παράπλευρη ανακάλυψη. Βρήκαν μια νέα σειρά που αναπαριστά τον αριθμό π. Η σειρά περιέχεται στο παράρτημα της δημοσίευσης στο Physical Review Letters. (Field theory expansions of string theory amplitudes). Όπως αναφέρεται στην περίληψη της εργασίας η σειρά συγκλίνει πολύ γρήγορα στο π.Οι φυσικοί Arnab Saha και Aninda Sinha φωτογραφίζονται με τον πίνακα που περιέχει την σειρά που προσεγγίζει τον αριθμό πΤο phys.org υποστηρίζει ότι αυτός ο νέος τύπος παρέχει έναν ευκολότερο τρόπο (;) εξαγωγής του αριθμού π, ενώ το indiatoday.in υπερθεματίζει πως αυτή η νέα σειρά θα μπορούσε να αλλάξει τα μαθηματικά για πάντα!!
Αν ίσχυε κάτι τέτοιο, τότε γιατί η δημοσίευση δεν έγινε σε κάποιο μαθηματικό περιοδικό;
Αφού η δημοσίευση έγινε σε περιοδικό φυσικής, τότε γιατί δεν εκλαϊκεύεται το μάλλον σημαντικότερο φυσικό περιεχόμενό της, αλλά αντ’ αυτού προβάλλεται η προσέγγιση του αριθμού π;

πηγές: https://phys.org/news/2024-06-physicists.html – https://www.indiatoday.in/science/story/indian-iisc-physicists-untangle-new-pi-series-that-could-change-maths-forever-2555611-2024-06-20

[Δροσος Γεωργιος]

Με έξι μετάλλια επέστρεψαν οι Έλληνες μαθητές από την 65η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα.

Ένα χρυσό, δύο αργυρά και τρία χάλκινα μετάλλια είναι ο απολογισμός από τη συμμετοχή Ελλήνων μαθητών στην 65η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα που διεξήχθη στο Μπαθ του Ηνωμένου Βασιλείου. Όπως τονίζει σε ανακοίνωσή της η Ελληνική Μαθητική Εταιρεία: «Οι υψηλές επιδόσεις των τελευταίων ετών σε διεθνείς διαγωνισμούς συνεχίστηκαν και φέτος αφού όλοι οι μαθητές διακρίθηκαν σε έναν δύσκολο και απαιτητικό διήμερο διαγωνισμό» ο οποίος έλαβε χώρα στις 11-22 Ιουλίου 2024 με τη συμμετοχή 108 χωρών.

Μαθηματική Ολυμπιάδα: Τα μετάλλια
 Ο Κυριάκος Τσουρέκας, από τη Σχολή Μωραΐτη κατέκτησε Χρυσό Μετάλλιο, ενώ τα δύο Αργυρά κατέκτησαν ο Ορέστης Λιγνός από τα Εκπαιδευτήρια Ελληνική Παιδεία και ο Νεκτάριος Ραφαήλ Μπερκουτάκης από το 3ο Γενικό Λύκειο Πύργου.Τέλος τα τρία Χάλκινα Μετάλλια κατέκτησαν οι Σωκράτης Ηλιάδης από το Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων, Ιωάννης Γαλαμάτης από το Πειραματικό Σχολείο Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης και Διονύσιος Πετράκης από το Γενικό Λύκειο Κανήθου.Αρχηγός της Ελληνικής ομάδας ήταν ο πρόεδρος της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας και Ομότιμος Καθηγητής του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου Ανάργυρος Φελλούρης και υπαρχηγός ο Σιλουανός Μπραζιτίκος, Επίκουρος καθηγητής του Πανεπιστημίου Κρήτης.Όπως σημειώνει σε ανακοίνωσή της η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία οι μαθητές που πήραν μέρος στην Ολυμπιάδα αναδείχθηκαν, όπως κάθε χρόνο, μέσα από τον Πανελλήνιο Διαγωνισμό στα Μαθηματικά που διοργανώνει η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία από το 1934, στην πρώτη φάση του οποίου συμμετείχαν 12.000 μαθητές από όλη την Ελλάδα.«Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία προετοιμάζει και υποστηρίζει τις προσπάθειες αυτών των μαθητών, πάντα σε εθελοντική βάση, στο πλαίσιο των στόχων της για την αναβάθμιση της Μαθηματικής Παιδείας και Εκπαίδευσης στη χώρα μας.

  Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία συγχαίρει όλους τους μαθητές της ελληνικής ομάδας για τη μεγάλη τους επιτυχία. Σημαντική ήταν η συμβολή του υπουργείου Παιδείας και Θρησκευμάτων σε όλη αυτή την προσπάθεια» επισημαίνει η ανακοίνωση της Εταιρείας.

https://www.iefimerida.gr/ellada/mathimatiki-olympiada-6-metallia-ellines-mathites

[Δροσος Γεωργιος]

Η «συμμετοχή» της Τεχνητής Νοημοσύνης στην Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024.

Τα μοντέλα Τεχνητής Νοημοσύνης, AlphaProof και AlphaGeometry 2, έλυσαν τέσσερα από τα έξι προβλήματα που τέθηκαν και «πήραν» ασημένιο μετάλλιο στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024

Τα προβλήματα της Μαθηματικής Ολυμπιάδας 2024Download

Δύο μοντέλα της Τεχνητής Νοημοσύνης του Google DeepMind, του ερευνητικού εργαστηρίου του τεχνολογικού γίγαντα, κατάφεραν να λύσουν προβλήματα μαθηματικών στη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα 2024, ενώ μέχρι στιγμής μοντέλα ΤΝ είχαν αποτύχει σε λογικούς συλλογισμούς.Τα μοντέλα AlphaProof και AlphaGeometry 2 έλυσαν τέσσερα από τα έξι προβλήματα που τους τέθηκαν στον φετινό διεθνή διαγωνισμό για μαθητές Λυκείου, φτάνοντας στο επίπεδο ενός ασημένιου Ολυμπιονίκη, μια «πρωτιά» σύμφωνα με την Google.

Αναλυτικά, το AlphaProof έλυσε δύο προβλήματα άλγεβρας και ένα πρόβλημα αριθμητικής, ενώ το AlphaGeometry 2 ένα πρόβλημα γεωμετρίας.

Η 65η διοργάνωση της Διεθνούς Μαθηματικής Ολυμπιάδας πραγματοποιήθηκε στο Ηνωμένο Βασίλειο από τις 11 έως τις 22 Ιουλίου.Αυτός ο διαγωνισμός, που διεξάγεται από το 1959, συγκεντρώνει μαθητές Λυκείου (και μερικές φορές ορισμένους εξαιρετικούς μαθητές) που επιλέγονται από περίπου 100 χώρες.Η πρώτη έκδοση του AlphaGeometry είχε ήδη καταφέρει να λύσει 25 προβλήματα γεωμετρίας της Ολυμπιάδας από ένα σύνολο 30 επιλεγμένων ασκήσεων, έγραψε το επιστημονικό περιοδικό Nature τον Ιανουάριο.«Αυτά τα αποτελέσματα ανοίγουν νέες προοπτικές στον τομέα των μαθηματικών συλλογισμών και δείχνει ένα μέλλον όπου μαθηματικοί και Τεχνητή Νοημοσύνη θα συνεργάζονται για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων», ανέφερε η Google σε δελτίο Τύπου.Τα μεγάλα γλωσσικά μοντέλα, κορυφαία προϊόντα της ΤΝ, έχουν μεγάλη δυσκολία σε τεστ λογικής, σύμφωνα με μελέτη που δημοσιεύθηκε τον Ιούνιο στο περιοδικό Open Science της Βρετανικής Βασιλικής Εταιρείας.Αυτή διαπίστωσε ότι το ChatGPT 3.5 και 4 της OpenAI, το Bard της Google, το Claude 2 της Anthropic και τρεις εκδόσεις του Llama της Meta απάντησαν αντιφατικά και βασίστηκαν συχνά σε παράλογους συλλογισμούς.Η στατιστική στη βαθμολόγηση των μαθητών που έλαβαν μέρος στην Μαθηματική Ολυμπιάδα 2023

Η ελληνική ομάδα

Ένα Χρυσό, δύο Αργυρά και τρία Χάλκινα μετάλλια ήταν ο απολογισμός από τη συμμετοχή Ελλήνων μαθητών στην 65η Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα που διεξήχθη στο Μπαθ του Ηνωμένου Βασιλείου.Ο Κυριάκος Τσουρέκας, από τη Σχολή Μωραΐτη κατέκτησε Χρυσό Μετάλλιο, ενώ τα δύο Αργυρά κατέκτησαν ο Ορέστης Λιγνός από τα Εκπαιδευτήρια Ελληνική Παιδεία και ο Νεκτάριος Ραφαήλ Μπερκουτάκης από το 3ο Γενικό Λύκειο Πύργου.Τέλος τα τρία Χάλκινα Μετάλλια κατέκτησαν οι Σωκράτης Ηλιάδης από το Πρότυπο Λύκειο Αναβρύτων, Ιωάννης Γαλαμάτης από το Πειραματικό Σχολείο Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης και Διονύσιος Πετράκης από το Γενικό Λύκειο Κανήθου.
 Αρχηγός της Ελληνικής ομάδας ήταν ο πρόεδρος της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας και Ομότιμος Καθηγητής του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου Ανάργυρος Φελλούρης και υπαρχηγός ο Σιλουανός Μπραζιτίκος, Επίκουρος καθηγητής του Πανεπιστημίου Κρήτης.

Πηγή: ΑΠΕ-ΜΠΕ – https://www.imo-official.org/year_individual_r.aspx?year=2024

2024_hel.pdf

[Δροσος Γεωργιος]

Πώς χρησιμοποιούν τα μαθηματικά οι πιο γρήγοροι κολυμβητές των ΗΠΑ.

Ο αριθμοθεωρητικός Ken Ono διδάσκει τους Ολυμπιονίκες να κολυμπούν πιο αποτελεσματικά.

Το φθινόπωρο του 2014, ο Andrew Wilson άρχισε να παρακολουθεί το μάθημα της θεωρίας αριθμών του Ken Ono στο Πανεπιστήμιο Emory στην Ατλάντα. Ο Wilson δεν είχε μόνο ειδίκευση στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και τη φυσική, αλλά ήταν και μέλος της κολυμβητικής ομάδας του Emory. Ο Ono ενδιαφέρθηκε για τις φιλοδοξίες του Γουίλσον και σκέφτηκαν να συνεργαστούν, χρησιμοποιώντας το ενδιαφέρον τους για τα μαθηματικά, για την βελτίωσή του ως κολυμβητή. Ο Ono, ο οποίος συνήθως μελετά αφηρημένα μοτίβα σε αριθμούς και ειδικές συναρτήσεις που ονομάζονται δομοστοιχειωτές μορφές (modular forms), άρχισε να συλλέγει και να αναλύει δεδομένα επιτάχυνσης από τον Wilson και άλλους κολυμβητές του Emory για να εντοπίσει και να ποσοτικοποιήσει τις αδυναμίες τους. Μέσα σε δύο χρόνια, ο Wilson κέρδισε ένα εθνικό συλλογικό πρωτάθλημα και ένα χρυσό μετάλλιο στους Ολυμπιακούς Αγώνες στο Τόκιο. Στη συνέχεια ο Ono εντάχθηκε στο επιτελείο της Ολυμπιακής ομάδας ως τεχνικός σύμβουλος. Πόσο επιτυχημένο ήταν το πρόγραμμά τους; Τα αποτελέσματα των αθλητών του – μετάλλια και ρεκόρ – μιλούν από μόνα τους.Ο αρχικός στόχος του Ken Ono, ήταν να εφαρμόσει στην κίνηση του κολυμβητή τους νόμους του Νεύτωνα. Σύμφωνα με τον ίδιο: «Θέλαμε να κατανοήσουμε τις συνέπειες των νόμων του Νεύτωνα όταν εφαρμόζονται στους κολυμβητές στην πισίνα. Πώς μετράμε την επιτάχυνση, την επιβράδυνση και την οπισθέλκουσα; Αυτές ήταν οι πρώτες ερωτήσεις που έπρεπε να απαντήσουμε κατά την ανάπτυξη των εργαλείων μας». Ο Ken Ono ξεκίνησε προσαρμόζοντας με διάφορους ευρηματικούς τρόπους επιταχυνσιόμετρα στους κολυμβητές, αλλά από τότε έχει εξελίξει τις μεθόδους του και επιπλέον καταγράφει την κολύμβηση με βίντεο υψηλής ευκρίνειας. Μελετά πώς κολυμπούν οι αθλητές όταν κάνουν τις κινήσεις τους σε διαφορετικούς ρυθμούς και το πόσο ευέλικτοι είναι. Πόσο κουράζονται μετά από συγκεκριμένες προσπάθειες, αποκτώντας έτσι μια καλή αίσθηση για τις δυνατότητές τους. Κατά τη διάρκεια αυτών των δοκιμών, μετρά τη δύναμη που δημιουργείται στον τρισδιάστατο χώρο από τα πόδια του αθλητή, από τον κυματισμό στους γοφούς και από τα χέρια του. Το βίντεο υψηλής ευκρίνειας καταγράφει γενικά μόνο 24 στιγμιότυπα οθόνης ανά δευτερόλεπτο. Όμως, κάθε αισθητήρας προσαρμοσμένος στον αθλητή δίνει 512 διανύσματα δύναμης ανά δευτερόλεπτο. Έτσι αποκαλύπτονται πράγματα που δεν θα φαίνονται ποτέ στο βίντεο. Σε επίπεδο ολυμπιακών και παγκοσμίων πρωταθλημάτων, όπου οι αγώνες κρίνονται στα εκατοστά του δευτερολέπτου, αυτά τα πράγματα έχουν σημασία.

Πόσο δύσκολα εξάγονται οι χρήσιμες πληροφορίες από τα δεδομένα;
Τόσο «δύσκολα», όσο η γραμμική άλγεβρα. Όταν ένας αθλητής κολυμπά, παράγει δυνάμεις που μπορεί να έχουν φορά προς τα κάτω, προς τα πάνω, προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά ή προς την κατεύθυνση του διαδρόμου κολύμβησης. Με τεχνικές γραμμικής άλγεβρας υπολογίζεται το ποσοστό σε καθεμία από αυτές τις κατευθύνσεις.
Χρησιμοποιώντας όλα τα δεδομένα δημιουργείται το «ψηφιακό δίδυμο» ενός αθλητή. Πρόκειται για ένα μαθηματικό μοντέλο σαν αυτά που εφαρμόζονται σε περίπλοκα συστήματα και διαδικασίες, όπως η εξάπλωση του Covid ή η μετανάστευση πληθυσμών ζώων – συστημάτων που εξελίσοονται με την πάροδο του χρόνου. Μελετώντας το ψηφιακό δίδυμο, γίνονται προσαρμογές και να προκύψει η βέλτιστη τακτική που πρέπει να χρησιμοποιηθεί στον αγώνα του αθλητή – από το πού βάζει τα χέρια του ο κολυμβητής σε μια στροφή, πόσες αναπνοές παίρνει κ.λπ. Με τον τρόπο αυτό μπορεί να υπολογιστεί η βελτίωση του χρόνου αν χρησιμοποιηθούν συγκεκριμένες κινήσεις και τακτικές.

Σύμφωνα με τον Ken Ono:
«Το ζήτημα του προσανατολισμού στον τρισδιάστατο χώρο είναι κρίσιμο. Το σώμα του κολυμβητή είναι συνεχώς σε κίνηση. Πώς αποφασίζουμε πότε η δύναμη ωθεί προς την κατεύθυνση της κολύμβησης; Δεν είναι τόσο εύκολο. Δεν έχουμε ανακαλύψει ή εφεύρει νέα μαθηματικά. Δεν κάνουμε επιστήμη πυραύλων εδώ. Αυτό που έχει αξία είναι η προσοχή στη λεπτομέρεια που προέρχεται από την αναλυτική σκέψη. Θέλω να βρω τα πράγματα που κανείς άλλος δεν έχει ανακαλύψει και να χρησιμοποιήσω τους νόμους του Νεύτωνα, μαζί με πειραματισμούς και λίγη γραμμική άλγεβρα, για να βοηθήσω τους αθλητές με τους οποίους συνεργαζόμαστε να κάνουν τις καλύτερες επιδόσεις. Υπάρχουν ακόμα προπονητές που δεν μας παίρνουν στα σοβαρά. Αλλά δεν είναι αυτή η δουλειά μου. Η δουλειά μου είναι να βοηθήσω αυτούς τους αθλητές να βελτιωθούν ως κολυμβητές και να τους βοηθήσω να ενταχθούν στην Ολυμπιακή ομάδα. Είμαι μαθηματικός και αυτό είναι μια ενασχόληση μάλλον μοναχική. Είναι ίσως η μοναδική φορά στη ζωή μου όπου η εκπαίδευσή μου ως μαθηματικός φαίνεται να έχει σημασία για μια μεγάλη ομάδα ανθρώπων. Είναι ένα ονειρικό ταξίδι.»

Πάντως ο Απόστολος Χρήστου κατέκτησε το ασημένιο μετάλλιο στα 200 μέτρα ύπτιο και την 4η θέση στα 100 μέτρα ύπτιο στους Ολυμπιακούς αγώνες του Παρισιού το 2024 … χωρίς την βοήθεια του μαθηματικού Ken Ono

Τα παραπάνω είναι μερικά αποσπάσματα από το άρθρο στο περιοδικό Quanta Magazine με τίτλο «How America’s Fastest Swimmers Use Math to Win Gold» – https://www.quantamagazine.org/how-americas-fastest-swimmers-use-math-to-win-gold-20240710/

[Δροσος Γεωργιος]

To θεώρημα του Μπέυζ και το γιότ «Μπεϋζιανός»

 … του μεγιστάνα Μάικ Λιντς

Η εξίσωση στην παραπάνω εικόνα εκφράζει το θεώρημα του Bayes (Μπέυζ). Στην εξίσωση αυτή οι εκφράσεις P(A) και P(B) είναι οι πιθανότητες να συμβούν τα γεγονότα A και B που είναι ανεξάρτητα μεταξύ τους, P(A|B) είναι η υπό συνθήκη πιθανότητα – η πιθανότητα του A δεδομένου ότι αληθεύει το γεγονός B και P(B|A) είναι η πιθανότητα του B δεδομένου ότι αληθεύει το γεγονός A.Το θεώρημα διατυπώθηκε από τον Άγγλο μαθηματικό και πρεσβυτεριανό ιερέα Τόμας Μπέυζ (1701–1761). Επρόκειτο για μια νέα προσέγγιση σε ένα θεμελιώδες αίνιγμα: πως να προχωρήσεις αντίστροφα από τις παρατηρήσεις στα κρυφά αίτια όταν οι πληροφορίες που έχεις είναι ελλιπείς. Το θεώρημα αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Pierre-Simon Laplace, που δημοσίευσε τη μοντέρνα διατύπωση το 1812 στο βιβλίο του «Théorie analytique des probabilités». Μάλιστα χρησιμοποίησε το θεώρημα για να εκτιμήσει την μάζα του πλανήτη Κρόνου. Έτσι, ο Laplace ήταν ένας από τους πρώτους «Μπεϋζιανούς» στατιστικολόγους.

“Bayesian” (Μπεϋζιανός) ήταν και το όνομα του πολυτελούς γιότ του Βρετανού μεγιστάνα Mike Lynch, του οποίου η βύθιση σε ακτή της Σικελίας στις 19 Αυγούστου 2024, προκάλεσε τον πνιγμό του μαζί με άλλα 21 άτομα που επέβαιναν στο σκάφος. Στον «Μπεϋζιανό» γιόρταζε με φίλους την αθώωσή του μετά την πολυετή δικαστική διαμάχη με την Hewlett-Packard (HP) στις ΗΠΑ. Το όνομα του γιότ «Μπεϋζιανός» δεν ήταν τυχαίο. Ο άτυχος επιχειρηματίας είχε γοητευθεί από τα φοιτητικά του χρόνια με την μπεϋζιανή μαθηματική ανάλυση.Ο Μάικ Λιντς σπούδασε φυσική, μαθηματικά και βιοχημεία στο Κέιμπριτζ και εκπόνησε διδακτορική διατριβή σχετική με την μηχανική μάθηση [Lynch, M. R. (1990). Adaptive techniques in signal processing and connectionist models]. Κατά την διάρκεια των σπουδών του στο Κέιμπριτζ ο Lynch γοητεύτηκε από τη θεωρία πιθανοτήτων και το έργο του Τόμας Μπέυζ. Η Autonomy, η εταιρεία λογισμικού που ίδρυσε ο Lynch το 1996 θα γινόταν μια από τις πιο επιτυχημένες εξαγωγές τεχνολογίας του Ηνωμένου Βασιλείου κατά τη διάρκεια μιας περιόδου που κατά τα άλλα κυριαρχούσε η Silicon Valley. Στο θεώρημα του Μπέυζ βασίζονταν η ικανότητα του Autonomy να αναλύει μεγάλα σύνολα δεδομένων. Σε μια συνέντευξη στο WIRED το 2015, ο Lynch δήλωσε ότι ο Μπέυζ στην εποχή της πληροφορίας ισοδυναμεί με ό,τι ήταν ο Αϊνστάιν για τη φυσική.Το όνομα Μπεϋζιανός που έδωσε o Λιντς στο γιότ του δείχνει πόσο ενθουσιώδης και εμμονικός ήταν στη ζωή του με την μπεϋζιανή θεωρία πιθανοτήτων, στην οποία βασίζονταν και η εργασία του στη μηχανική μάθηση και την τεχνητή νοημοσύνη. 

Εκ των υστέρων, απεδείχθη ότι οι πιθανότητες δεν ήταν με το μέρος του.

διαβάστε σχετικά: Mike Lynch: The Probability Man – https://reaction.life/mike-lynch-the-probability-man/

[Δροσος Γεωργιος]

Tα κρυμμένα μαθηματικά στην «Εναστρη Νύχτα» του βαν Γκογκ

«Η έναστρη νύχτα», του Vincent van Gogh (1889). Θεωρείται το καλύτερο έργο του Βαν Γκογκ και είναι ένας από τους πιο γνωστούς πίνακες στην ιστορία του Δυτικού πολιτισμού.Η εμβληματική «Έναστρη Νύχτα» του Βίνσεντ βαν Γκογκ αποτελεί διαχρονικά ένα από τα πιο θαυμαστά και αναγνωρίσιμα έργα της παγκόσμιας τέχνης, αλλά και σταθερά πεδίο δημόσιας συζήτησης -αν όχι αντιπαράθεσης- για την έμπνευση πίσω από το περιδινούμενο νυχτερινό τοπίο. Ήταν ο στροβιλισμός των νεφών αντανάκλαση της ταραγμένης ψυχικής κατάστασης του μετα-ιμπρεσιονιστή ζωγράφου; Ή μήπως το πολύχρομο μοτίβο βασίζεται σε κατι πιο «ψαγμένο», όπως η θεωρία της τυρβώδους ροής του Κολμογκόροφ; Μία νέα ανάλυση Κινέζων και Γάλλων φυσικών υποστηρίζει πως ο καλλιτέχνης είχε μια βαθιά, διαισθητική κατανόηση της μαθηματικής δομής της τυρβώδους ροής. Σύμφωνα με τους επιστήμονες, το μεγαλειώδες αυτό έργο ήταν αποτέλεσμα όχι της επιστημονικής γνώσης, αλλά της διαισθητικής κατανόησης από τον βαν Γκογκ των κανόνων που διέπουν τη φύση.Ως κοινό φυσικό φαινόμενο που παρατηρείται στα ρευστά -το νερό, τα ωκεάνια ρεύματα, τη ροή του αίματος, τα διογκούμενα σύννεφα της καταιγίδας, τον καπνό του τσιγάρου- η τυρβώδης ροή είναι χαοτική, καθώς οι μεγαλύτερες δίνες διασπώνται σε μικρότερες.Μπορεί στον απλό παρατηρητή, η καταιγιστική δίνη του καπνού ενός τσιγάρου να φαίνεται τυχαία, ωστόσο μπορεί να μελετηθεί και, τουλάχιστον εν μέρει, να εξηγηθεί με τη χρήση μαθηματικών εξισώσεων.«Φανταστείτε πως στέκεστε σε μία γέφυρα και παρατηρείτε τη ροή του ποταμού. Θα δείτε να σχηματίζονται δίνες στην επιφάνεια, αλλά αυτές οι δίνες δεν είναι τυχαίες. Οργανώνονται με συγκεκριμένα μοτίβα και αυτά τα είδη μοτίβων μπορούν να προβλεφθούν βάσει των νόμων της φυσικής» εξηγεί ο Γιονγσιάνγκ Χουάνγκ, επικεφαλής της μελέτης που δημοσιεύτηκε την Τρίτη στο επιστημονικό περιοδικό Physics of Fluids.

Όμως, τι σχέση έχει η Έναστρη Νύχτα με την τυρβώδη ροή; 

Η «Έναστρη Νύχτα» είναι μια ελαιογραφία σε καμβά, η οποία απεικονίζει ένα τοπίο λίγο πριν την αυγή, από το ανατολικό παράθυρο του δωματίου στο άσυλο του Σεν Ρεμί ντε Προβάνς, στη νότια Γαλλία, όπου νοσηλευόταν ο καλλιτέχνης, μετά τον ακρωτηριασμό του αριστερού του αυτιού. Με τη χρήση ενός ψηφιακού αντιγράφου του πίνακα, ο Χουάνγκ και οι συνάδελφοί του εξέτασαν την κλίμακα των 14 βασικών περιδινούμενων σχηματισμών για να κατανοήσουν αν συμμορφώνονταν με θεωρίες της φυσικής που περιγράφουν τη μεταφορά ενέργειας από μεγάλης σε μικρή κλίμακα περιδινήσεων καθώς συγκρούονται και αλληλεπιδρούν μεταξύ τους.Ο ουρανός του πίνακα, καθώς είναι φιλοτεχνημένος και δεν κινείται πραγματικά, δεν μπορεί να μετρηθεί άμεσα, οπότε ο Χουάνγκ και οι συνάδεφλοί του υπολόγισαν με ακρίβεια τις πινελές, συγκρίνοντας το μέγεθός τους με μαθηματικές κλίμακες της τυρβώδους ροής. Για να μετρήσουν τη φυσική κίνηση, χρησιμοποίησαν τη φωτεινότητα των διαφορετικών χρωμάτων που χρησιμοποίησε ο καλλιτέχνης.Ετσι, ανακάλυψαν πως τα μεγέθη των 14 στροβίλων στην «Έναστρη Νύχτα» και η σχετική απόσταση και έντασή τους ακολουθούν ένα νόμο της φυσικής που διέπει τη δυναμική των ρευστών και είναι γνωστή ως θεωρία της τύρβης του Κολμογκόροφ. Τη δεκατία του 1940, ο Σοβιετικός μαθηματικός Αντρέι Κολμογκόροφ περιέγραψε μια μαθηματική σχέση μεταξύ των διακυμάνσεων της ταχύτητας μιας ροής και του ρυθμού με τον οποίο διαχέεται η ενέργειά της.Σύμφωνα με τον Χουάνγκ και την επιστημονική ομάδα του, ο πίνακας, σε μικρότερη κλίμακα, αναμειγνύεται με κάποιες δίνες και στροβιλισμούς υποβάθρου με τρόπο που προβλέπεται από τη θεωρία της τύρβης, ακολουθώντας ένα στατιστικό μοτίβο γνωστό ως κλίμακα του Batchelor (Batchelor’s scaling, καθορίστηκε από τον George Batchelor και περιγράφει μαθηματικά τον τρόπο με τον οποίο τα μικρά σωματίδια, όπως τα παρασυρόμενα φύκια στον ωκεανό ή τα κομμάτια σκόνης στον άνεμο, αναμειγνύονται παθητικά από την τυρβώδη ροή). Σύμφωνα με τον Χουάνγκ, η επιστήμη πασχίζει να εφαρμόσει την τυρβώδη ροή στη ρευστοδυναμική με τρόπο που θα επέτρεπε στους επιστήμονες να προβλέψουν το φαινόμενο – σε λογής πεδία, από την πρόγνωση του καιρού έως τις πτητικές αναταράξεις. Ωστόσο, το φαινόμενο δεν έχει εξηγηθεί πλήρως, παραμένοντας ένα από τα βασικά μυστήρια της επιστήμης της Φυσικής. «Ακόμα και μετά από 100 χρόνια ερευνών, δεν γνωρίζουμε πώς να ορίσουμε το περίπλοκο αυτό φαινόμενο. Είναι εξαιρετικά σημαντικό, αλλά και εξαιρετικά δύσκολο» λέει ο ίδιος. 

Πηγή: CNN – https://www.kathimerini.gr/life/science/563229991/ta-krymmena-mathimatika-stin-enastri-nychta-toy-van-gkogk/

[Δροσος Γεωργιος]

Ποιός είναι ο μεγαλύτερος γνωστός πρώτος αριθμός;

Πρώτοι αριθμοί είναι οι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με τον εαυτό τους και τη μονάδα, όπως οι 2, 3, 5, 7, 11, 13, κ.ο.κ. Οι πρώτοι αριθμοί που γράφονται στη μορφή 2n-1 (n= ακέραιος), ονομάζονται πρώτοι του Mersenne, από το όνομα του Γάλλου μοναχού Marin Mersenne, τον πρώτο που διερεύνησε αριθμούς τέτοιας μορφής.Το πρόγραμμα Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) ανακοίνωσε χτες την ανακάλυψη του μεγαλύτερου (μέχρι σήμερα) πρώτου αριθμού: πρόκειται για τον 2136279841-1 που διαθέτει 41.024.320 δεκαδικά ψηφία. Το προηγούμενο ρεκόρ κατείχε εδώ και 6 χρόνια ο αριθμός 282589933-1 που διαθέτει 24.862.048 ψηφία. Επισημαίνεται ότι δεν είναι γνωστό αν στο διάστημα μεταξύ αυτών των δύο αριθμών υπάρχει άλλος πρώτος αριθμός.Ο νέος πρώτος αριθμός που αναφέρεται και ως M136279841, μπορεί να υπολογιστεί αν πολλαπλασιάσουμε 136.279.841 φορές τον αριθμό 2 με τον εαυτό του και στη συνέχεια να αφαιρέσουμε το 1.

Γράφει ο Δημήτρης Χριστοδούλου στο βιβλίο «ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΑ, ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ – ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ» (εκδόσεις Ευρασία):
«… Οι πρώτοι αποτελούν τους οικοδομικούς λίθους στο βασίλειο των αριθμών, γιατί όλοι οι άλλοι αριθμοί είναι σύνθετοι, εφόσον παράγονται παίρνοντας γινόμενα πρώτων. Ακόμα και η πιο επιπόλαια μελέτη αποκαλύπτει ότι οι πρώτοι αραιώνουν όπως προχωρούμε σε ολοένα μεγαλύτερους αριθμούς. Εγείρεται λοιπόν το ερώτημα: σταματούν κάπου; Δηλαδή υπάρχει κάποιος τελευταίος πρώτος και όλοι οι αριθμοί που τον ακολουθούν είναι σύνθετοι; Ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος που το απάντησε και μάλιστα κατά τον τέλειο τρόπο.
Κανένας ηλεκτρονικός υπολογιστής δεν θα μπορούσε να απαντήσει στο ερώτημα, εφόσον είναι ερώτημα που αφορά το άπειρο. Μόνο ο νους μπορούσε. Εδώ είναι λοιπόν η απόδειξη του Ευκλείδη. Ας υποθέσουμε ότι, τουναντίον, το σύνολο των πρώτων αριθμών είναι πεπερασμένο, επομένως μπορούμε να τους απαριθμήσουμε κατά αύξουσα τάξη, παραλείποντας την μονάδα:
p1• p2• … • pn
Aς εξετάσουμε τότε τον αριθμό
Μ=Π+1
όπου Π είναι το γινόμενο
Π= p1• p2• … • pn
Εφόσον ο Μ είναι μεγαλύτερος από τον τελευταίο πρώτο, τον pn, πρέπει να είναι σύνθετος αριθμός. Επομένως, ο Μ έχει κάποιον πρώτο παράγοντα, ας πούμε τον q. Άρα ο q είναι ένας από τους p1, p2, … , pn.
Ωστόσο, εάν q=pk για κάποιο k=1, …, n, τότε, εφόσον ο q διαιρεί τον Μ και επίσης προφανώς διαιρεί το γινόμενο Π, κατ’ ανάγκη διαιρεί την διαφορά τους, δηλαδή την μονάδα. Τούτο όμως είναι άτοπο. Γιατί κανείς αριθμός, εκτός από την ίδια την μονάδα, δεν διαιρεί την μονάδα, και έχουμε παραλείψει την μονάδα από την παραπάνω απαρίθμηση.
Επομένως, το αντίθετο της αρχικής μας υποθέσεως πρέπει να ισχύει, δηλαδή το σύνολο των πρώτων αριθμών πρέπει να είναι άπειρο.
Όσο απλή κι αν φαίνεται αυτή η απόδειξη, θεωρείται ακόμα ως μια από τις κομψότερες σε όλα τα μαθηματικά. Ας σκεφτούμε τις επαναστάσεις στην ιστορία της σκέψεως που περιέχονται σε αυτό το απλό κομμάτι μαθηματικών.
Πρώτον, ότι ο νους μπορεί να θέσει ένα ερώτημα που αφορά το άπειρο . Δεύτερον, ότι ο νους μπορεί να δώσει την απάντηση κατά έναν καθοριστικό και μη αμφισβητήσιμο τρόπο. Τρίτον, ότι η αλήθεια βρίσκεται δείχνοντας ότι η αντίθετη υπόθεση οδηγεί σε άτοπο. Όλες οι μεγάλες αποδείξεις στα μαθηματικά από την εποχή του Ευκλείδη μέχρι σήμερα έχουν χρησιμοποιήσει την ευκλείδεια μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής…»

πηγή: https://www.mersenne.org/primes/?press=M136279841

 

[Δροσος Γεωργιος]

Δύο μαθήτριες ανακαλύπτουν «αδύνατη» απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος και ανακαλύπτουν εννέα νέες λύσεις.

Εντυπωσιακό επίτευγμα που προκαλεί θαυμασμό στη μαθηματική κοινότητα.

Δύο μαθήτριες που ανακάλυψαν μια φαινομενικά αδύνατη απόδειξη για το Πυθαγόρειο θεώρημα το 2022 εντυπωσίασαν ξανά την κοινότητα των μαθηματικών με εννέα εντελώς νέες λύσεις στο πρόβλημα.Ενώ ήταν ακόμη στο λύκειο η Νεκίγια Τζάκσον και η Καλσία Τζόνσον από τη Λουιζιάνα χρησιμοποίησαν την τριγωνομετρία για να αποδείξουν το Πυθαγόρειο θεώρημα το οποίο δηλώνει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας (της πλευράς που βρίσκεται απέναντι από την ορθή γωνία) ενός ορθογώνιου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών». Οι μαθηματικοί πίστευαν από καιρό ότι η χρήση της τριγωνομετρίας για την απόδειξη του θεωρήματος ήταν αδύνατη δεδομένου ότι οι θεμελιώδεις τύποι για την τριγωνομετρία βασίζονται στην υπόθεση ότι το θεώρημα είναι αληθές.Η Τζάκσον και η Τζόνσον βρήκαν αυτή την «αδύνατη» απόδειξή ως απάντηση σε μια ερώτηση μπόνους σε σχολικό μαθηματικό διαγωνισμό. Παρουσίασαν την εργασία τους σε μια συνάντηση της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας το 2023 αλλά η απόδειξη δεν εξετάστηκε διεξοδικά. Τώρα όμως η απόδειξη τους αφού ελέγχθηκε από καθηγητές μαθηματικών δημοσιεύεται στην επιθεώρηση «American Mathematical Monthly» γεγονός που αποτελεί μια πρώτη επιβεβαίωση αυτής της απόδειξης. Επιπλέον οι δύο μαθήτριες περιέγραψαν εννέα ακόμη αποδείξεις για το Πυθαγόρειο θεώρημα χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία.«Το να δημοσιεύεις μια εργασία σε τόσο νεαρή ηλικία  είναι πραγματικά συγκλονιστικό. Είμαι πολύ περήφανη που μπορούμε και οι δύο να ασκήσουμε τόσο θετική επιρροή δείχνοντας ότι οι νέες γυναίκες και μάλιστα οι γυναίκες αφρικανικής καταγωγής μπορούν να κάνουν αυτά τα πράγματα» αναφέρει η Νεκίγια Τζόνσον που σπουδάζει περιβαλλοντική μηχανική στο Πολιτειακό Πανεπιστήμιο της Λουιζιάνα.

Ο συλλογισμός

Αποδεικνύοντας το θεώρημα του Πυθαγόρα χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία, αλλά χωρίς να χρησιμοποιήσουν το ίδιο το θεώρημα, οι δύο νεαρές γυναίκες ξεπέρασαν μια αποτυχία της λογικής γνωστή ως κυκλικός συλλογισμός ή φαύλος κύκλος. Η τριγωνομετρία είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που καθορίζει πώς σχετίζονται οι πλευρές, τα μήκη και οι γωνίες σε ένα τρίγωνο και ως εκ τούτου, ο κλάδος συχνά περιλαμβάνει εκφράσεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Όμως οι δύο κοπέλες κατάφεραν να αποδείξουν το θεώρημα χρησιμοποιώντας ένα αποτέλεσμα της τριγωνομετρίας που ονομάζεται Νόμος των Ημιτόνων, αποφεύγοντας τον κυκλικό συλλογισμό.Στη νέα μελέτη, και πάνω από την αρχική τους απόδειξη, οι δύο νεαρές μαθηματικοί περιέγραψαν τέσσερις νέους τρόπους για να αποδείξουν το θεώρημα του Πυθαγόρα χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία, καθώς και μια νέα μέθοδο που αποκάλυψε άλλες πέντε αποδείξεις, συνολικά 10 αποδείξεις.Η Τζάκσον είναι μόλις ο τρίτος άνθρωπος και η Τζόνσον είναι ο τέταρτος άνθρωπος που είναι γνωστό ότι έχουν αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία και χωρίς να καταφεύγουν σε κυκλικό συλλογισμό. Τα άλλα δύο άτομα ήταν καθηγητές μαθηματικών. «Δεν πίστευα ότι η έρευνα μας θα έφτανε τόσο μακριά. Έμεινα έκπληκτη που η μελέτη δημοσιεύεται σε επιθεώρηση» λέει η Τζάκσον που σπουδάζει επί του παρόντος φαρμακολογία στο Πανεπιστήμιο Xavier της Λουιζιάνα.

https://www.naftemporiki.gr/techscience/1810011/dyo-mathitries-anakalyptoyn-adynati-apodeixi-toy-pythagoreioy-theorimatos-kai-anakalyptoyn-ennea-nees-lyseis/

[Δροσος Γεωργιος]

Η Μαγεία της Επαγωγής.

Η (μαθηματική) επαγωγή είναι µία απλή αλλά ισχυρή και ευέλικτη µέθοδος απόδειξης προτάσεων που αφορούν, άµεσα ή έµµεσα, ακεραίους. Έχει χρησιµοποιηθεί µε επιτυχία σε σχεδόν όλο το φάσµα των µαθηµατικών: την συναντάµε σε µεγάλο εύρος κλάδων όπως στην Άλγεβρα, στην Γεωµετρία, στην Τριγωνοµετρία, στην Ανάλυση, στην Συνδυαστική, στην Θεωρία Γραφηµάτων και σε πολλούς άλλους κλάδους. Η αρχή της επαγωγής έχει µακρά ιστορία στα µαθηµατικά. Κατ΄ αρχάς, παρ’ όλο που η ίδια η αρχή δεν διατυπώνεται µε σαφήνεια σε κανένα αρχαίο ελληνικό κείµενο, υπάρχουν αρκετά σηµεία όπου γίνεται χρήση ενός πρόδροµου σταδίου της. Άλλωστε ορισµένοι ιστορικοί αναγνωρίζουν στο ακόλουθο χωρίο από τον διάλογο Παρµενίδη (§147a7-c3) του Πλάτωνα (427-347 BC) ως την αρχαιότερη χρήση επαγωγικού συλλογισµού:
Και πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο όροι, εάν πρόκειται να υπάρχει επαφή. – Πρέπει – Εάν δε στους δύο όρους προστεθεί τρίτος διαδοχικά, τότε αυτοί µεν θα είναι τρεις, οι δε επαφές δύο. – Ναι – Και έτσι αν ένας όρος προστίθεται συνέχεια, και µία επαφή θα προστίθενται, και έπεται ότι οι επαφές θα είναι µία λιγότερες από το πλήθος των όρων. ∆ιότι µε όποιον αριθµό τα δύο πρώτα υπερέχουν του πλήθους των επαφών, µε το ίδιο αριθµό το µετέπειτα πλήθος των όρων θα υπερβαίνει το πλήθος των επαφών. ∆ιότι κατόπιν όταν προστίθεται ένας όρος, προστίθεται και µία επαφή στο πλήθος των επαφών. – Σωστά – Όσο λοιπόν είναι το πλήθος των όρων, πάντα οι επαφές θα είναι κατά µία λιγότερες. –Σωστά -.
Το προηγούµενο χωρίο είναι, βέβαια, από φιλοσοφικό κείµενο. Υπάρχουν όµως και
διαφορά µαθηµατικά έργα τα οποία περιέχουν µια πρώιµη µορφή επαγωγικού συλλογισµού. Ένα τέτοιο, παραδείγµατος χάριν, είναι στα Στοιχεία του Ευκλείδη (~330 – ~ 265 π.Χ.) Πρόταση 31 του βιβλίου VII, όπου αποδεικνύεται ότι κάθε φυσικός αριθµός είτε είναι πρώτος είτε διαιρείται από κάποιον πρώτο. Μία απόδειξη κάπως πιο κοντά στη σύγχρονη µορφή της επαγωγής περιέχεται στην Συναγωγή του Πάππου (~290-~350 µ.Χ.). Εκεί αποδεικνύεται το ακόλουθο γεωµετρικό θεώρηµα:
Έστω AB ένα ευθύγραµµο τµήµα και C ένα σηµείο του. Θεωρούµε από την ίδια πλευρά του AB τρία ηµικύκλια µε διαµέτρους AB, AC και CB, αντίστοιχα. Κατασκευάζουµε τώρα κύκλους Cn ως εξής: ο C1 εφάπτεται των τριών παραπάνω ηµικυκλίων. Ο Cn+1 εφάπτεται του Cn και των ηµικυκλίων επί των AB και AC. Αν dn το µήκος της διαµέτρου του Cn και hn η απόσταση του κέντρου του από την AB. Τότε hn = n dn.
Ο τρόπος µε τον οποίο αποδεικνύει το θεώρηµα ο Πάππος είναι να δείξει γεωµετρικά την αναδροµική σχέση hn+1/dn+1 = (hn + dn)/dn. Κατόπιν επικαλείται ένα αποτέλεσµα του Αρχιµήδη (287 – 212 π.Χ.) από το έργο του Λήµµατα (Πρόταση 6) η οποία δείχνει την ορθότητα του παραπάνω θεωρήµατος στην περίπτωση n=1. Χρησιµοποιώντας την τελευταία σε συνδυασµό µε την αναδροµική σχέση, συνάγει το αποτέλεσµα για το γενικό n. (διαβάστε περισσότερα ΕΔΩ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ, Μιχαήλ Λάµπρου, Πανεπιστήµιο Κρήτης)

Ακολουθεί ένα βίντεο από το Νumberphile με τίτλο «Η μαγεία της επαγωγής» , όπου ο μαθηματικός Asaf Karagila μιλάει για τις μαθηματικές αποδείξεις που βασίζονται στην μέθοδο της επαγωγής:

 

Το επεξεργάστηκε Νοέμβριος 28, 2024 ο Δροσος Γεωργιος

[Δροσος Γεωργιος]

Ο άρρητοι αριθμοί και η απόδειξη Απερή.

Είναι εκπληκτικά δύσκολο να αποδειχθεί μια από τις πιο βασικές ιδιότητες ενός αριθμού: αν μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα. Μια νέα μέθοδος μπορεί να βοηθήσει την επίλυση αυτού του μακροχρόνιου προβήματος.Από τις πρώτες εποχές των μαθηματικών ανακαλύψεων, οι άνθρωποι ρωτούσαν ποιοι αριθμοί είναι ρητοί. Πριν από δυόμισι χιλιετίες, οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι κάθε αριθμός είναι ο λόγος δύο ακέραιων αριθμών. Έπαθαν σοκ όταν ένα μέλος του σχολής τους απέδειξε ότι αυτό δεν ισχύει για την τετραγωνική ρίζα του 2. Ο μύθος λέει ότι ο δράστης τιμωρήθηκε με πνιγμό.Η τετραγωνική ρίζα του 2 ήταν μόνο η αρχή. Ειδικοί αριθμοί ξεχύνονται από όλους τους τομείς της μαθηματικής έρευνας. Κάποιοι, όπως το π, εμφανίζονται όταν υπολογίζουμε εμβαδά και όγκους. Άλλοι, όπως το e, η βάση των φυσικών λογαρίθμων, συνδέονται με συγκεκριμένες συναρτήσεις. Σύμφωνα με τον Henri Cohen, «πολλές φορές προβληματιζόμαστε αν ένας αριθμός που εμφανίζεται στα μαθηματικά αν είναι ρητός ή άρρητος. Αν είναι ρητός, τότε δεν είναι πολύ ενδιαφέρων αριθμός».Πολλοί μαθηματικοί έχουν την άποψη του ξυραφιού του Occam: Αν δεν υπάρχει υποχρεωτικός λόγος για τον οποίο ένας αριθμός πρέπει να είναι ρητός, μάλλον δεν είναι. Άλλωστε, οι μαθηματικοί γνωρίζουν από καιρό ότι οι περισσότεροι αριθμοί είναι άρρητοι.Ωστόσο, στο πέρασμα των αιώνων, οι αποδείξεις της αρρητότητας συγκεκριμένων αριθμών ήταν σπάνιες. Το 1700, ο μαθηματικός Leonhard Euler απέδειξε ότι το e είναι άρρητος και ένας άλλος μαθηματικός, ο Johann Lambert, απέδειξε το ίδιο για τον π. Ο Euler έδειξε επίσης ότι όλες οι τιμές της συνάρτησης ζήτα – οι αριθμοί ζ(2), ζ(4), ζ(6) και ούτω καθεξής – ισούνται με κάποιο ρητό αριθμό επί μια δύναμη του π, το πρώτο βήμα προς την απόδειξη του αρρητότητάς τους. Η απόδειξη ολοκληρώθηκε τελικά στα τέλη του 1800. Αλλά το είδος (ρητός ή άρρητος) πολλών άλλων απλών αριθμών, όπως το άθροισμα π + e ή το ζ(5), είναι άγνωστο ακόμη και σήμερα.Μπορεί να φαίνεται περίεργο το γεγονός ότι οι μαθηματικοί εξακολουθούν να παλεύουν με ένα τόσο βασικό ερώτημα σχετικά με τους αριθμούς. Αλλά παρόλο που ο ρητότητα είναι μια στοιχειώδης έννοια, οι ερευνητές έχουν λίγα εργαλεία για να αποδείξουν ότι ένας δεδομένος αριθμός είναι άρρητος. Και συχνά, αυτά τα εργαλεία αποτυγχάνουν.Τον Ιούνιο του 1978, οι διοργανωτές ενός μεγάλου συνεδρίου για τα μαθηματικά στη Μασσαλία της Γαλλίας, ανακοίνωσαν μια προσθήκη της τελευταίας στιγμής στο πρόγραμμα. Κατά τη διάρκεια του μεσημεριανού γεύματος, ο μαθηματικός Roger Apéry (Απερή) παρουσίαζε μια απόδειξη ότι ένας από τους πιο διάσημους αριθμούς στα μαθηματικά – «ζήτα του 3» ή ζ(3), όπως το γράφουν οι μαθηματικοί
δεν μπορούσε να εκφραστεί ως κλάσμα δύο ακέραιων αριθμοί, δηλαδή ήταν άρρητος αριθμός.

Οι συμμετέχοντες στο συνέδριο ήταν δύσπιστοι. Η συνάρτηση ζήτα του Riemann είναι μια από τις πιο σημαντικές συναρτήσεις στη θεωρία αριθμών, και οι μαθηματικοί προσπαθούσαν για αιώνες να αποδείξουν ότι η τιμή της συνάρτησης ζ(z) για z=3 είναι άρρητος αριθμός. Ο Απερή, ο οποίος τότε ήταν 61 ετών, δεν συγκαταλεγόταν στους κορυφαίους μαθηματικούς. Είχε μια βλάχικη γαλλική προφορά και την φήμη του προβοκάτορα. Πολλοί παρευρισκόμενοι, υποθέτοντας ότι ο Apery έκανε μια περίτεχνη φάρσα, ήταν έτοιμοι να πληρώσουν τον φαρσέρ με το ίδιο νόμισμα. Όπως είπε αργότερα ένας μαθηματικός, «ήθελαν να του κάνουν καζούρα».Η διάλεξη γρήγορα κατέληξε σε πανδαιμόνιο. Με λίγες επεξηγήσεις, ο Απερή παρουσίασε διαδοχικές εξισώσεις, μερικές από τις οποίες περιείχαν αδύνατες πράξεις όπως η διαίρεση με το μηδέν. Όταν ρωτήθηκε από πού προέρχονται οι εξισώσεις του, ισχυρίστηκε ότι «φυτρώνουν στον κήπο μου». Οι μαθηματικοί υποδέχθηκαν τους ισχυρισμούς του με γέλια πετώντας χάρτινα αεροπλανάκια.Αλλά τουλάχιστον ένα άτομο – ο Henri Cohen, τώρα στο Πανεπιστήμιο του Μπορντό – πείστηκε από την ομιλία ότι ο Απερή ήταν σωστός. Ο Cohen άρχισε αμέσως να εμπλουτίζει τις λεπτομέρειες των επιχειρημάτων του Απερή. Μέσα σε μερικούς μήνες με τους συνεργάτες του, είχε ολοκληρώσει την απόδειξη. Όταν παρουσίασε τα συμπεράσματά τους σε ένα μεταγενέστερο συνέδριο, ένας ακροατής μούγκρισε: «μια νίκη για τον Γάλλο χωριάτη».Αφού τελικά οι μαθηματικοί αποδέχτηκαν την απόδειξη του Apéry, πολλοί περίμεναν μια πληθώρα αποτελεσμάτων σχετικά με αποδείξεις αρρητότητας. Οι άρρητοι αριθμοί υπερτερούν κατά πολύ των ρητών: Αν επιλέξετε ένα σημείο κατά μήκος της ευθείας των πραγματικών αριθμών τυχαία, είναι σχεδόν βέβαιο ότι θα αντιστοιχεί σε άρρητο αριθμό. Αλλά ενώ οι μαθηματικοί έχουν καταφέρει να δείξουν την αρρητότητα ορισμένων αριθμών, όπως π και e, αυτό είναι πολύ δύσκολο να αποδειχθεί για την πλεινότητα των αριθμών. Οι μαθηματικοί ήλπιζαν ότι τεχνική του Απερή θα μπορούσε τελικά να τους ανοίξει τον δρόμο, ξεκινώντας με τιμές της συνάρτησης ζήτα εκτός του ζ(3).Σύμφωνα με τον Wadim Zudilin από το Πανεπιστήμιο Radboud στην Ολλανδία, «Όλοι πίστευαν ότι ήταν ζήτημα ενός ή δύο ετών να αποδείξουν ότι κάθε τιμή της συνάρτησης ζήτα είναι άρρητος αριθμός». Αλλά η προβλεπόμενη πρόοδος δεν υλοποιήθηκε. Κανείς δεν κατάλαβε πραγματικά από πού προήλθαν οι τύποι του Απερή και όταν «έχεις μια απόδειξη που είναι τόσο εξωγήινη, δεν είναι πάντα τόσο εύκολο να γενικεύσεις, να επαναλάβεις τη μαγεία», υποστηρίζει ο Frank Calegari από το Πανεπιστήμιο του Σικάγο. Οι μαθηματικοί έφτασαν να θεωρούν την απόδειξη του Απερή ως ένα μεμονωμένο θαύμα.Όμως προσφάτως, ο Calegari και δύο άλλοι μαθηματικοί – ο Vesselin Dimitrov από το Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Καλιφόρνιας και ο Yunqing Tang του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια Μπέρκλεϋ – σε μια νέα δημοσίευση περιγράφουν την διεύρυνση της προσέγγισης του Apéry προς μια πολύ πιο ισχυρή μέθοδο. Με αυτή την μέθοδο απέδειξαν ότι μια άπειρη συλλογή τιμών συναρτήσεων που μοιάζουν με την ζήτα, είναι άρρητοι αριθμοί. Οι μαθηματικοί είναι ενθουσιασμένοι όχι μόνο από το αποτέλεσμα αλλά και από την προσέγγιση των ερευνητών, την οποία χρησιμοποίησαν το 2021 για να αποδείξουν μια εικασία 50 ετών σχετικά με τις σημαντικές εξισώσεις στη θεωρία αριθμών που ονομάζονται δομοστοιχειωτές μορφές (modular forms).Ενώ η απόδειξη του Απερή φαινόταν να βγαίνει από το πουθενά – ένας μαθηματικός την περιέγραψε ως «ένα μείγμα θαυμάτων και μυστηρίων» – η νέα δημοσίευση εντάσσει τη μέθοδό του σε ένα ευρύτερο πλαίσιο. Αυτή η πρόοδος δημιουργεί την ελπίδα ότι το επίτευγμα των Calegari, Dimitrov και Τang θα είναι ευκολότερο να αξιοποιηθεί από ό,τι του Απερή.

O Ρογήρος Απερή (1916 –1994) ήταν ένας Ελληνογάλλος μαθηματικός, από Γαλλίδα μητέρα και Έλληνα πατέρα. Είναι περισσότερο γνωστός για την απόδειξή του ότι ο η τιμή της συνάρτησης του Ρίμαν ζ(z) για z=3 δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα, δηλαδή ήταν «άρρητος αριθμός». Χρησιμοποίησε απλά μαθηματικά και γι αυτό ένα άρθρο αναφέρεται στο επίτευγμα του Απερή ως την απόδειξη που διέφυγε του Euler. Στον τάφο του στο Παρίσι, είναι χαραγμένος ο αριθμός ζ(3) με την επισήμανση ότι δεν μπορεί να γραφεί ως κλάσμα.
Μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα του αριθμού Απερή είναι η εξής: Πάρτε τρεις θετικούς ακέραιους στην τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα να μην έχουν κανένα κοινό παράγοντα; Απάντηση: περίπου 83%, για την ακρίβεια 0,8319073725807074….. που είναι ο αντίστροφος του αριθμού Απερή!…

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες: https://www.quantamagazine.org/rational-or-not-this-basic-math-question-took-decades-to-answer-20250108/

[Δροσος Γεωργιος]

Τι είναι η πιθανότητα;

Όλες οι στατιστικές και μεγάλο μέρος της επιστήμης εξαρτώνται από την έννοια της πιθανότητας. Πρόκειται για ένα εκπληκτικό επίτευγμα, αν συνειδητοποιήσουμε ότι κανείς δεν είναι πραγματικά σίγουρος για το τι είναι πιθανότητα!Η ζωή είναι αβέβαιη. Κανείς μας δεν ξέρει τι πρόκειται να συμβεί. Γνωρίζουμε ελάχιστα για το τι έχει συμβεί στο παρελθόν ή τι συμβαίνει τώρα πέρα από την άμεση εμπειρία μας. Η αβεβαιότητα ονομάστηκε «συνειδητή επίγνωση της άγνοιας» – είτε πρόκειται για τον αυριανό καιρό, είτε για το αποτέλεσμα του ποδοσφαιρικού αγώνα Ολυμπιακού-Παναθηναϊκού, ή για το αν θα γίνει τις επόμενες ημέρες μεγάλος σεισμός.Στην καθημερινή ζωή, γενικά εκφράζουμε την αβεβαιότητα με λόγια, λέγοντας ότι ένα γεγονός «θα μπορούσε», «μπορεί» ή «είναι πιθανό» να συμβεί. Αλλά οι αβέβαιες λέξεις μπορεί να είναι ύπουλες. Όταν, το 1961, ο νεοεκλεγείς πρόεδρος των ΗΠΑ Τζον Φ. Κένεντι ενημερώθηκε για ένα σχέδιο εισβολής στην Κούβα υπό την αιγίδα της CIA και ζήτησε μια αξιολόγηση από την ανώτατη στρατιωτική του ομάδα. Κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι η αποστολή είχε 30% πιθανότητες επιτυχίας – δηλαδή 70% πιθανότητα αποτυχίας. Στην έκθεση που έφτασε στον πρόεδρο, αυτό αναφερόταν ως «μια καλή ευκαιρία». Έτσι αποφασίστηκε η εισβολή στον Κόλπο των Χοίρων και κατέληξε σε φιάσκο. Σήμερα υπάρχουν καθιερωμένες κλίμακες για την αριθμητική εκτίμηση πιθανοτήτων αβέβαιων γεγονότων. Για παράδειγμα, οποιοσδήποτε στην κοινότητα πληροφοριών του Ηνωμένου Βασιλείου χρησιμοποιεί τον όρο «πιθανό», αυτό θα πρέπει να σημαίνει πιθανότητα μεταξύ 55% και 75% (βλέπε go.nature.com/3vhu5zc).Ανοίξτε οποιοδήποτε επιστημονικό περιοδικό, για παράδειγμα και θα βρείτε άρθρα που είναι πασπαλισμένα με τιμές σημαντικότητας P, διαστήματα εμπιστοσύνης και πιθανώς εκ των υστέρων Μπεϋζιανές κατανομές, όπου όλα εξαρτώνται από την πιθανότητα.Κι όμως, οποιαδήποτε αριθμητική πιθανότητα – είτε σε μια επιστημονική εργασία, ως μέρος των μετεωρολογικών προβλέψεων, ή στην πρόβλεψη της έκβασης ενός ποδοσφαιρικού αγώνα ή στον ποσοτικό προσδιορισμό ενός κινδύνου για την υγεία – δεν είναι μια αντικειμενική ιδιότητα του κόσμου, αλλά μια κατασκευή που βασίζεται σε προσωπικές ή συλλογικές κρίσεις και (συχνά αμφίβολες) υποθέσεις. Επιπλέον, στις περισσότερες περιπτώσεις, δεν υπολογίζει καν κάποια υποκείμενη «αληθινή» ποσότητα. Πράγματι, η πιθανότητα σπανιότατα μπορεί να ειπωθεί ότι «υπάρχει».Η πιθανότητα εισήλθε σχετικά αργά στα μαθηματικά. Αν και οι άνθρωποι έπαιζαν «κόκκαλα» ή ζάρια για χιλιετίες, μόνο όταν οι Γάλλοι μαθηματικοί Blaise Pascal και Pierre de Fermat άρχισαν στη δεκαετία του 1650 την συστηματική ανάλυση των «τυχαίων» γεγονότων. Έκτοτε, η πιθανότητα έχει πλημμυρίσει τομείς τόσο διαφορετικούς όπως η οικονομία, η αστρονομία και η νομική – για να μην αναφέρουμε τον τζόγο.Για να καταλάβετε την παρανόηση που κρύβεται πίσω από την έννοια της πιθανότητας, σκεφτείτε πώς χρησιμοποιείται η έννοια στις σύγχρονες μετεωρολογικές προβλέψεις. Οι μετεωρολόγοι κάνουν προβλέψεις για την θερμοκρασία, την ταχύτητα του ανέμου και την ποσότητα της βροχής, και πολύ συχνά για την πιθανότητα βροχής – ας πούμε 70% για δεδομένο χρόνο και τόπο. Οι τρείς πρώτες μπορούν να συγκριθούν με τις «αληθινές» τιμές τους. Μπορείτε να βγείτε έξω και να τις μετρήσετε. Αλλά δεν υπάρχει «αληθινή» πιθανότητα να συγκρίνει την τελευταία με την εκτίμηση της πρόγνωσης. Δεν υπάρχει «πιθανόμετρο». Ή βρέχει ή δεν βρέχει.Επιπλέον, όπως υπογράμμισε ο φιλόσοφος Ian Hacking, η πιθανότητα έχει «το πρόσωπο του Ιανού»: χειρίζεται τόσο την τύχη όσο και την άγνοια. Φανταστείτε ότι ρίχνω ένα νόμισμα και σας ρωτάω ποιά είναι η πιθανότητα να έλθει «κορώνα». Λέτε άνετα «50%». Στη συνέχεια ρίχνω το νόμισμα και πιάνοντάς το με τα δυο μου χέρια στον αέρα. Αφού ρίξω μια γρήγορη κρυφή ματιά στο κέρμα, ξαναρωτάω: ποια είναι η πιθανότητά σας να είναι τώρα «κορώνα»;Σημειώστε ότι λέω η πιθανότητά «σας», όχι «η» πιθανότητα. Οι περισσότεροι άνθρωποι τώρα διστάζουν να δώσουν μια απάντηση, πριν επαναλάβουν διστακτικά «50–50». Αλλά το γεγονός συνέβη τώρα, και δεν υπάρχει τυχαιότητα – μόνο η άγνοιά σας. Η κατάσταση έχει μετατραπεί από την «τυχαία» αβεβαιότητα, για το μέλλον που δεν μπορούμε να γνωρίζουμε, στην «γνωσιολογική» αβεβαιότητα, γι αυτό που προς το παρόν δεν γνωρίζουμε. Η αριθμητική πιθανότητα χρησιμοποιείται και για τις δύο αυτές καταστάσεις.Ακόμα κι αν υπάρχει ένα στατιστικό μοντέλο για το τι πρέπει να συμβεί, αυτό βασίζεται πάντα σε υποκειμενικές υποθέσεις – στην περίπτωση ρίψης νομίσματος, ότι υπάρχουν δύο εξίσου πιθανά αποτελέσματα. Όλοι θεωρούμε ότι η ρίψη ενός νομίσματος έχει μοιρασμένες πιθανότητες «50-50» να έρθει κορώνα ή γράμματα, όταν (υποκειμενικά) εμπιστευόμαστε αυτόν που εκτελεί τη ρίψη ότι δεν χρησιμοποιεί ένα νόμισμα π.χ. με δυο κορώνες.Όποιαδήποτε πρακτική χρήση της πιθανότητας περιλαμβάνει υποκειμενικές κρίσεις. Αυτό δεν σημαίνει ότι μπορώ να επιλέξω οποιουσδήποτε αριθμούς – θα αποδεικνυόμουν κακός εκτιμητής πιθανοτήτων αν ισχυριζόμουν με βεβαιότητα 99,9% ότι μπορώ να πετάξω από τη στέγη μου, για παράδειγμα. Ο αντικειμενικός κόσμος μπαίνει στο παιχνίδι όταν οι πιθανότητες και οι υποκείμενες υποθέσεις τους ελέγχονται έναντι της πραγματικότητας. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι οι ίδιες οι πιθανότητες είναι αντικειμενικές.Ορισμένες υποθέσεις που χρησιμοποιούν οι άνθρωποι για να εκτιμήσουν τις πιθανότητες θα έχουν ισχυρότερη αιτιολόγηση από άλλες. Αν έχω εξετάσει προσεκτικά ένα νόμισμα προτού το ρίξω, και προσγειωθεί σε μια σκληρή επιφάνεια και αναπηδά χαοτικά, θα αισθανθώ πιο δικαιωμένος με την κρίση μου 50-50, παρά αν κάποιος άγνωστος μυστηριώδης τύπος ρίξει ένα δικό του νόμισμα περιορίζοντάς το σε μερικές τυχαίες στροφές. Αλλά αυτοί οι ίδιοι περιορισμοί ισχύουν οπουδήποτε χρησιμοποιούνται πιθανότητες – ακόμη και σε επιστημονικά πλαίσια, στα οποία θα μπορούσαμε να είμαστε λιγότερο υποψιασμένοι για την υποτιθέμενη αντικειμενικότητά τους.Είναι όμως αυτοί οι αριθμοί, οι υποκειμενικές μας, και ίσως εσφαλμένες εκτιμήσεις μας για κάποια υποκείμενη «αληθινή» πιθανότητα, ένα αντικειμενικό χαρακτηριστικό του κόσμου; Πώς ορίζεται στην πραγματικότητα μια αντικειμενική πιθανότητα;Έχουν γίνει πολλές προσπάθειες για να δοθεί μια απάντηση στο ερώτημα αυτό, αλλά όλες φαίνονται είτε ελαττωματικές είτε περιορισμένες. Αυτές περιλαμβάνουν την πιθανότητα συχνότητας, μια προσέγγιση που ορίζει τη θεωρητική αναλογία γεγονότων που θα μπορούσαν να εμφανιστούν σε άπειρες επαναλήψεις ουσιαστικά πανομοιότυπων καταστάσεων – για παράδειγμα, επανάληψη της ίδιας κλινικής δοκιμής στον ίδιο πληθυσμό με τις ίδιες καταστάσεις ξανά και ξανά, όπως στην ταινία Ημέρα της Μαρμότας. Αυτό φαίνεται μάλλον μη ρεαλιστικό. Ο Βρετανός στατιστικολόγος Ronald Fisher πρότεινε να σκεφτούμε ένα μοναδικό σύνολο δεδομένων ως δείγμα από έναν υποθετικό άπειρο πληθυσμό, αλλά αυτό φαίνεται να είναι περισσότερο ένα πείραμα σκέψης παρά μια αντικειμενική πραγματικότητα. Ή υπάρχει η ημι-μυστικιστική ιδέα της τάσης, ότι υπάρχει κάποια αληθινή υποκείμενη τάση να συμβεί ένα συγκεκριμένο γεγονός σε ένα συγκεκριμένο πλαίσιο, όπως για παράδειγμα να πάθω καρδιακή προσβολή τα επόμενα δέκα χρόνια ή να εκραγεί ένα συγκεκριμένο ηφαίστειο στους επόμενους μήνες. Οι πιθανότητες που αποδίδονται σε τέτοια γεγονότα φαίνονται πρακτικά μη επαληθεύσιμες.Υπάρχει ένα περιορισμένο εύρος καλά ελεγχόμενων, επαναλαμβανόμενων καταστάσεων με τεράστια πολυπλοκότητα που, ακόμη κι αν είναι ουσιαστικά ντετερμινιστικές, ταιριάζουν με το παράδειγμα συχνότητας, έχοντας μια κατανομή πιθανότητας με προβλέψιμες ιδιότητες μακροπρόθεσμα. Αυτές περιλαμβάνουν τυπικές διατάξεις τυχαιοποίησης, όπως τροχούς ρουλέτας, ανακατεμένες κάρτες, ρίξιμο νομισμάτων, ζαριών και σφαιρίδια λοταρίας, καθώς και γεννήτριες ψευδοτυχαίων αριθμών, που βασίζονται σε μη γραμμικούς, χαοτικούς αλγόριθμους για να δώσουν αποτελέσματα που περνούν τα τεστ τυχαιότητας.Στον φυσικό κόσμο, π.χ. μπορούμε να θεωρήσουμε την συμπεριφορά πολύ μεγάλου αριθμού μορίων αερίων τα οποία, ακόμα κι αν ακολουθούν τη νευτώνεια φυσική, υπακούουν στους νόμους της στατιστικής μηχανικής. ή στη γενετική, όπου η τεράστια πολυπλοκότητα της επιλογής και του ανασυνδυασμού των χρωμοσωμάτων οδηγεί σε σταθερά ποσοστά κληρονομικότητας. Μπορεί να είναι λογικό σε αυτές τις περιορισμένες περιστάσεις να υποθέσουμε μια ψευδο-αντικειμενική πιθανότητα – αντί για «μια» (υποκειμενική) πιθανότητα.Ωστόσο, σε κάθε άλλη κατάσταση στην οποία χρησιμοποιούνται πιθανότητες – από μεγάλα τμήματα της επιστήμης μέχρι τον αθλητισμό, την οικονομία, τον καιρό, το κλίμα, την σεισμολογία, την ανάλυση κινδύνου, τα μοντέλα καταστροφών κ.λπ. – δεν έχει νόημα να θεωρούμε ότι οι κρίσεις μας είναι εκτιμήσεις για αληθινές πιθανότητες. Αυτές είναι απλώς καταστάσεις στις οποίες μπορούμε να προσπαθήσουμε να εκφράσουμε την προσωπική ή συλλογική μας αβεβαιότητα ως προς τις πιθανότητες, με βάση τις γνώσεις και την κρίση μας.Όλα αυτά απλώς εγείρουν περισσότερα ερωτήματα. Πώς ορίζουμε την υποκειμενική πιθανότητα; Και γιατί οι νόμοι των πιθανοτήτων είναι λογικοί, αν βασίζονται σε πράγματα που ουσιαστικά επινοούμε; Αυτό έχει συζητηθεί στην ακαδημαϊκή βιβλιογραφία σχεδόν επί έναν αιώνα, αλλά χωρίς καθολικά αποδεκτό αποτέλεσμα.O μαθηματικός Bruno de Finetti ξεκινά το βιβλίο του «Θεωρία των Πιθανοτήτων» με την προκλητική δήλωση: οι πιθανότητες δεν υπάρχουν! Παρ’ όλα αυτά υποστήριξε ότι ξεκινώντας από μια συγκεκριμένη, αλλά καθαρά υποκειμενική, έκφραση πεποιθήσεων, θα πρέπει να ενεργούμε σαν τα γεγονότα να οδηγούνται από αντικειμενικές πιθανότητες.Είναι εκπληκτικό το γεγονός ότι ένα τόσο σημαντικό σύνολο έργου, στο οποίο βασίζεται όλη η στατιστική επιστήμη, όπως και πλήθος επιστημονικών και οικονομικών δραστηριοτήτων, έχει προκύψει από μια τόσο ασαφή ιδέα. Ίσως στον καθημερινό μας κόσμο, οι πιθανότητες πιθανότατα δεν υπάρχουν – αλλά είναι συχνά χρήσιμο να ενεργούμε σαν να υπάρχουν.

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες στο άρθρο του David Spiegelhalter με τίτλο «Probability Probably Doesn’t Exist» – http://www.scientificamerican.com/article/why-probability-probably-doesnt-exist-but-its-useful-to-act-like-it-does/

[Δροσος Γεωργιος]

Πώς το θεώρημα της Νέδερ έφερε επανάσταση στη Φυσική.

Η Emmy Noether απέδειξε ότι οι θεμελιώδεις φυσικοί νόμοι είναι μια συνέπεια απλών συμμετριών. Έναν αιώνα αργότερα, οι ιδέες της συνεχίζουν να διαμορφώνουν τη φυσική.Το φθινόπωρο του 1915, τα θεμέλια της φυσικής άρχισαν να ραγίζουν. Η νέα θεωρία για την βαρύτητα του Αϊνστάιν έδειχνε πως θα μπορούσε να παραβιάζεται η αρχή διατήρηση της ενέργειας, ένα αποτέλεσμα που θα ανέτρεπε τα θεμέλια της φυσικής.Η θεωρία του Αϊνστάιν, που ονομάζεται γενική σχετικότητα, μεταμόρφωσε ριζικά την έννοια του χώρου και του χρόνου. Αντί να είναι το σταθερό σκηνικό στο οποίο διαδραματίζονται τα γεγονότα του σύμπαντος, πλέον ο χώρος και ο χρόνος έγιναν και ίδιοι πρωταγωνιστές από μόνοι τους, ικανοί να καμπυλώνονται, να διαστέλλονται και να συστέλλονται παρουσία ύλης και ενέργειας.Ένα πρόβλημα με αυτόν τον μεταταβαλλόμενο χωροχρόνο είναι ότι καθώς τεντώνεται και συρρικνώνεται, η πυκνότητα της ενέργειας που περιέχει αλλάζει. Κατά συνέπεια, ο κλασικός νόμος διατήρησης της ενέργειας που κυριαχούσε σε όλη τη φυσική δεν ταίριαζε σε αυτό το πλαίσιο. Ο David Hilbert, ένας από τους πιο εξέχοντες μαθηματικούς εκείνη την εποχή, εντόπισε γρήγορα αυτό το ζήτημα και ξεκίνησε με τον συνάδελφό του Felix Klein μια προσπάθεια επίλυσης αυτής της προφανούς αποτυχίας της σχετικότητας. Αφού απέτυχαν να βρούν μια γρήγορη απάντηση, ο Hilbert μεταβίβασε το πρόβλημα στη βοηθό του, την Emmy Noether.Η Noether ήταν βοηθός μόνο κατ’ όνομα. Ήταν ήδη μια εξαιρετική μαθηματικός όταν, στις αρχές του 1915, οι Hilbert και Klein την προσκάλεσαν να εργαστεί στο Πανεπιστήμιο του Γκέτινγκεν. Όμως άλλα μέλη του διδακτικού προσωπικού διαφώνησαν με την πρόσληψη μιας γυναίκας, μπλοκάροντας έτσι τον διορισμό της Noether. Ανεξάρτητα από αυτό, θα περνούσε τα επόμενα τρία χρόνια διερευνώντας το ρήγμα που χωρίζει την φυσική και τα μαθηματικά, πυροδοτώντας τελικά έναν σεισμό που θα ταρακουνούσε τα θεμέλια της θεμελιώδης φυσικής.Το 1918, η Noether δημοσίευσε τα αποτελέσματα των ερευνών της σε δύο θεωρήματα-ορόσημα. Το πρώτο έδωσε νόημα στους νόμους διατήρησης σε μικρές περιοχές του χώρου, ένα μαθηματικό επίτευγμα που αργότερα θα αποδειχτεί σημαντικό για την κατανόηση των συμμετριών της κβαντικής θεωρίας πεδίου. Το δεύτερο, γνωστό σήμερα γνωστό ως θεώρημα της Noether, μας δείχνει ότι πίσω από κάθε νόμο διατήρησης κρύβεται μια βαθύτερη συμμετρία.

«Ενώ η Νέδερ συμμετείχε στη συνεργασία των Χίλμπερτ και Κλάιν με τον Αϊνστάιν το 1917, όλοι τους εστίαζαν την προσοχή τους σε ένα σημείο-κλειδί: τη σύνδεση ανάμεσα στα αναλλοίωτα και τη θεωρία της σχετικότητας του Αϊνστάιν – μολονότι σε μεγάλες ταχύτητες ο χρόνος ‘παραμορφώνεται’, υπάρχουν πράγματα που παραμένουν αναλλοίωτα. Σε μια επιστολή του στον Χίλμπερτ ο Αϊνστάιν έγραφε: «Χθες είχα μια ενδιαφέρουσα συζήτηση με τη Fräulein Δόκτορα Νέδερ σχετικά με το έργο της στα αναλλοίωτα. Με εντυπωσίασε το ότι κάποιος μπορεί να θεωρήσει αυτό το πράγμα [τη σχετικότητα] από πολλές διαφορετικές οπτικές γωνίες… Έχω την αίσθηση ότι καταλαβαίνει καλά το έργο της.» Συνδέοντας τα διαφορικά αναλλοίωτα με τη γραμμική άλγεβρα, η Νέδερ κατόρθωσε να δημιουργήσει τη μαθηματική διατύπωσή της σχετικότητας, μια αγγαρεία που κανείς, περιλαμβανομένου του ίδιου του Αϊνστάιν, δεν μπόρεσε να φέρει σε πέρας χωρίς τη δική της αφηρημένη άλγεβρα. Ως φυσικός ο Αϊνστάιν γνώριζε ότι ήταν απαραίτητη μια μαθηματική απόδειξη, όμως δεν ήταν σε θέση να την διεκπεραιώνουν οι ίδιοι οι φυσικοί! Οι επαναστατικές τεχνικές της Νέδερ της επέτρεψαν να προσεγγίσει τη θεωρία του Αϊνστάιν με έναν νέο και επαναστατικό τρόπο και να εκτελέσει τους «υπολογισμούς» στο μόνο δυνατό επίπεδο – σ’ εκείνο της αφηρημένης άλγεβρας.»
απόσπασμα από το βιβλίο του Μ.B.W. Tent: «Έμι Νέδερ – Η Κυρία της άλγεβρας«, μετάφραση Νάσος Κυριαζόπουλος, εκδόσεις ΤΡΑΥΛΟΣ

Με μαθηματικούς όρους, μια συμμετρία είναι κάτι που μπορείτε να κάνετε σε ένα σύστημα που το αφήνει αμετάβλητο. Εξετάστε την πράξη της περιστροφής. Αν ξεκινήσετε με ένα ισόπλευρο τρίγωνο, θα διαπιστώσετε ότι μπορείτε να το περιστρέψετε κατά πολλαπλάσια των 120 μοιρών χωρίς να αλλάξετε την μορφή του. Αν ξεκινήσετε με έναν κύκλο, μπορείτε να τον περιστρέψετε κατά οποιαδήποτε γωνία. Αυτές οι δράσεις χωρίς συνέπειες αποκαλύπτουν τις υποκείμενες συμμετρίες αυτών των σχημάτων.Και εδώ μπήκε η διορατικότητα της Noether. Οι συμμετρίες φαίνονταν να μην έχουν καμία επίδραση στη φυσική του συστήματος, αφού δεν επηρεάζουν την Λαγκρανζιανή. Αλλά η Noether συνειδητοποίησε ότι οι συμμετρίες πρέπει να είναι μαθηματικά σημαντικές, καθώς περιορίζουν τον τρόπο συμπεριφοράς ενός συστήματος. Ψάχνοντας το πώς θα έπρεπε να είναι αυτός ο περιορισμός, από τα μαθηματικά της Λαγκραντζιανής προέκυψε μια αναλλοίωτη ποσότητα. Αυτή η ποσότητα αντιστοιχεί σε ένα φυσικό μέγεθος που διατηρείται. Η αθέατη σχέση του με την συμμετρία κρυβόταν πίσω από τις εξισώσεις.Στην περίπτωση της συμμετρίας μετατόπισης στον χώρο, η συνολική ορμή του συστήματος διατηρείται σταθερή. Στην περίπτωση της συμμετρίας μετατόπισης στον χρόνο, διατηρείται σταθερή η συνολική ενέργεια του συστήματος. Η Noether ανακάλυψε ότι οι νόμοι διατήρησης δεν είναι θεμελιώδη αξιώματα του σύμπαντος. Αντίθετα, αναδύονται από βαθύτερες συμμετρίες.Οι φυσικοί των αρχών του 20ου αιώνα σοκαρίστηκαν όταν συνειδητοποίησαν πως η ενέργεια δεν διατηρείται σε ένα σύστημα στο οποίο δεν ισχύει η συμμετρία μετατόπισης στο χρόνο. Τώρα γνωρίζουμε ότι αυτό συμβαίνει στο δικό μας σύμπαν που διαστέλλεται με επιταχυνόμενο ρυθμό (διαβάστε σχετικά: Η αρχή διατήρησης της ενέργειας στο διαστελλόμενο σύμπαν).«Πριν από το θεώρημα της Noether, η αρχή της διατήρησης της ενέργειας ήταν καλυμμένη με μυστήριο», έγραψε ο φυσικός και μαθηματικός Feza Gürsey το 1983. «… Η απλή και βαθιά μαθηματική διατύπωση της Noether συνέβαλε πολύ στην απομυθοποίηση της φυσικής».Το θεώρημα της Noether έχει διαμορφώσει και τον κβαντικό κόσμο. Στη δεκαετία του 1970, έπαιξε μεγάλο ρόλο στην κατασκευή του Καθιερωμένου Προτύπου των στοιχειωδών σωματιδίων. Οι συμμετρίες των κβαντικών πεδίων υπαγορεύουν νόμους που περιορίζουν τον τρόπο συμπεριφοράς των σωματιδίων. Για παράδειγμα, μια συμμετρία στο ηλεκτρομαγνητικό πεδίο αναγκάζει τα σωματίδια να διατηρούν σταθερό το φορτίο τους.Η δύναμη του θεωρήματος της Noether έχει εμπνεύσει τους φυσικούς να στρέφονται προς την συμμετρία για να ανακαλύψουν νέα φυσική. Έχει περάσει πάνω από ένας αιώνας από την διατύπωσή του και οι ιδέες της συνεχίζουν να επηρεάζουν τον τρόπο με τον οποίο σκέφτονται οι φυσικοί. Σύμφωνα με τον φυσικό John Baez: «Έχουμε πολλά να μάθουμε μελετώντας το θεώρημα της Noether. Διαθέτει μεγάλο και πολυστρωματικό βάθος»

 

H πρώτη σελίδα άρθρου της Emmy Noether με τίτλο «Invariante Variationsprobleme» (1918)

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες ΕΔΩ: https://www.quantamagazine.org/how-noethers-theorem-revolutionized-physics-20250207/

[Δροσος Γεωργιος]

Ενας 14χρονος Ινδός είναι ένα «ανθρώπινο κομπιουτεράκι»

Ο νεαρός σπάει όλα τα ρεκόρ επίλυσης μαθηματικών πράξεων με το μυαλό του.

Ένας έφηβος σπάει πολλά παγκόσμια ρεκόρ στα μαθηματικά κάνοντας περίπλοκους υπολογισμούς με το μυαλό του. Ο δεκατετράχρονος Αάριαν Σούκλα από τη Μαχαράστρα της Ινδίας κατέρριψε έξι παγκόσμια ρεκόρ (νοητικών) μαθηματικών σε μια μέρα κερδίζοντας τον τίτλο «Ανθρώπινο Κομπιουτεράκι».Τα κατορθώματα του Σούκλα περιλαμβάνουν τον ταχύτερο γνωστό χρόνο για να προσθέσει νοερά 100 τετραψήφιους αριθμούς (30,9 δευτερόλεπτα), 200 τετραψήφιους αριθμούς (1 λεπτό, 9,68 δευτερόλεπτα) και 50 πενταψήφιους αριθμούς (18,71 δευτερόλεπτα). Έκανε επίσης τον ταχύτερο χρόνο για τον πολλαπλασιασμό δύο πενταψήφιων συνόλων του δέκα (2 λεπτά, 35,41 δευτερόλεπτα) και τον ταχύτερο χρόνο για να διαιρέσει ένα σύνολο 10 20ψήφιων αριθμών με ένα σύνολο 10ψήφιων αριθμών (5 λεπτά, 42 δευτερόλεπτα).Ο νεαρός κατάφερε να κάνει τους υπολογισμούς στο μυαλό του πιο γρήγορα από ό,τι οι περισσότεροι άνθρωποι μπορούν να βάλουν τα νούμερα αυτά σε μια αριθμομηχανή. Ο Σούλκα σημείωσε αυτά τα νέα ρεκόρ σε εκδήλωση που διοργάνωσε ο οργανισμός των ρεκόρ Γκίνες στο Ντουμπάι.Εκτός από αυτά τα έξι πιο πρόσφατα ρεκόρ ο Σούλκα κατέχει το ρεκόρ για τον ταχύτερο χρόνο για να προσθέσει 50 πενταψήφιους αριθμούς το οποίο σημείωσε πριν από ένα χρόνο. Ο ίδιος πιστώνει την αριθμητική του ικανότητα στην πρακτική του στη γιόγκα, η οποία «με βοηθά να είμαι ήρεμος και συγκεντρωμένος», είπε στο περιοδικό People σε συνέντευξή του.Ο νεαρός εξασκείται επίσης στα μαθηματικά για πέντε ή έξι ώρες την ημέρα, ενδιάμεσα σε πιο τυπικά εφηβικά χόμπι όπως το διάβασμα και τα βιντεοπαιχνίδια.

https://www.naftemporiki.gr/techscience/1921649/enas-14chronos-indos-einai-ena-anthropino-kompioyteraki/

[Δροσος Γεωργιος]

Αποφασίζουμε ότι ο αριθμός π ισούται με 3,2 ακριβώς.

Η Βουλή των Αντιπροσώπων της Ιντιάνα το 1894 ψήφισε ομόφωνα ένα νομοσχέδιο σύμφωνα με το οποίο «ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρό του ισούται με 4/(5/4)=3,2»Ο αριθμός π είναι ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρο του κύκλου.Ο «τετραγωνισμός του κύκλου» βασάνιζε τους μαθηματικούς για περισσότερα από 2.000 χρόνια. Επαγγελματίες και ερασιτέχνες μαθηματικοί δημοσίευσαν χιλιάδες λανθασμένες αποδείξεις που ισχυρίζονται ότι επέλυσαν το πρόβλημα. Όμως, τι είναι το πρόβλημα που αναφέρεται ως «τετραγωνισμός του κύκλου»;Θεωρούμε για απλότητα έναν κύκλο με ακτίνα 1. Το εμβαδόν αυτού του κύκλου ισούται με A=πr2=π. «Τετραγωνισμός του κύκλου» είναι να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ένα τετράγωνο που να έχει το ίδιο εμβαδόν, δηλαδή να έχει πλευρά μήκους α=√π (αφού απαιτούμε α2=π). Μπορούμε να κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους ακριβώς ίσο με √π; Αν το καταφέρνατε τότε θα είχατε τετραγωνίσει το κύκλο! Ορδές μαθηματικών πάλεψαν με αυτό το πρόβλημα, χωρίς κανείς ποτέ να το λύσει, μέχρι τη στιγμή που παρενέβη ο γερμανός μαθηματικός Ferdinand von Lindemann, ο οποίος απέδειξε το 1882, ότι το π είναι υπερβατικός αριθμός. Ότι κανένας συνδυασμός ριζικών δεν θα μπορέσει ποτέ να δώσει αυτόν τον αριθμό, επομένως ο τετραγωνισμός του κύκου είναι αδύνατος. (διαβάστε σχετικά: Ο σκύλος του Χάιζενμπεργκ).

https://physicsgg.me/2025/03/05/ο-σκύλος-του-χάιζενμπεργκ/

Όμως εκείνη την εποχή τα νέα ταξίδευαν με πολύ αργό ρυθμό. Έτσι το 1894, δυο χρόνια μετά την απόδειξη του Lindemann, ένας γιατρός και ερασιτέχνης μαθηματικός, ο Edward J. Goodwin νόμισε πως κατάφερε να τετραγωνίσει τον κύκλο. Πέτυχε το ανέφικτο αφού είχε υποθέσει ότι το π ισούται με 3,2. Αντικαθιστώντας με ρητό αριθμό την τιμή του π, ο Goodwin παρέκαμψε τη θεμελιώδη δυσκολία του προβλήματος. Ένιωθε τόσο περήφανος για την ανακάλυψή του που το 1897, πρότεινε ένα νομοσχέδιο στην πολιτεία καταγωγής του, την Ιντιάνα, ώστε να κατοχυρώσει την μαθηματική του απόδειξη με νομοθετικό διάταγμα. Σε αντάλλαγμα, θα επέτρεπε στην πολιτεία της Ιντιάνα να χρησιμοποιεί την απόδειξη του χωρίς να πληρώνει δικαιώματα (που θα πλήρωναν οι άλλες πολιτείες). Ο Goodwin είχε καταφέρει να δημοσιεύσει την (λανθασμένη) απόδειξή του στο American Mathematical Monthly, ένα πολύ σοβαρό μαθηματικό περιοδικό μέχρι σήμερα. Αυτό πιθανότατα του έδωσε την αξιοπιστία ώστε η Βουλή των Αντιπροσώπων της Ιντιάνα να ψηφίσει το νομοσχέδιο ομόφωνα!Το νομοσχέδο προωθήθηκε στη συνέχεια για έγκριση στη Γερουσία της Ιντιάνα. Κατά καθαρή σύμπτωση, έτυχε να βρίσκεται εκεί ο καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Purdue, Clarence A. Waldo, για να πιέσει τους γερουσιαστές σχετικά με τον προϋπολογισμό του τμήματός του. Ο Waldo αντιλήφθηκε τυχαία το μαθηματικό τερατούργημα που θα ψηφιζόταν και εξήγησε στους γερουσιαστές περί τίνος πρόκειται. Παρ’ όλα αυτά, οι γερουσιαστές δεν καταψήφισαν το νομοσχέδιο. Αποφάσισαν απλά να το παρακάμψουν αναβάλλοντάς το επ’ αόριστον.

διαβάστε περισσότερα:
1. Indiana’s House of Representatives Once Voted Unanimously to Change the Value of Pi – https://www.scientificamerican.com/article/the-story-behind-indianas-1897-vote-to-change-the-value-of-pi/
2. Indiana pi bill – https://en.wikipedia.org/wiki/Indiana_pi_bill
3. Indiana Pi – https://web.archive.org/web/20190221183039/http://www.agecon.purdue.edu/crd/Localgov/Second%20Level%20pages/Indiana_Pi_Story.htm

 

[Δροσος Γεωργιος]

Ημέρα του 3,14.

Η Παγκόσμια Ημέρα της Σταθεράς π=3,14 γιορτάζεται στις 14 Μαρτίου εξαιτίας αριθμητικών συμπτώσεων

Το ελληνικό γράμμα «π» είναι το πρώτο γράμμα της λέξης περιφέρεια. Και όπως όλοι γνωρίζουμε από τα θρανία, το «π» είναι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.Σήμερα, που η μόνη σταθερά τείνει να γίνουν άλλες διαιρέσεις, είναι η Παγκόσμια Ημέρα της Σταθεράς π=3,14. Γιορτάζεται στις 14 Μαρτίου εξαιτίας αριθμητικών συμπτώσεων. Στην Αμερική, η ημερομηνία 14/3 γράφεται ως 3-14. Σε πολλές μαθηματικές σχολές, η γιορτή αρχίζει στη 1:59 μετά το μεσημέρι, καθώς 1,5,9 είναι τα τρία ψηφία μετά το 3,14.Με τη βοήθεια των σύγχρονων υπολογιστών έχουν υπολογιστεί τρισεκατομμύρια, αλλά αλλού είναι η μαγεία. Τα ψηφία του «π» δεν τελειώνουν. Σ’ αυτό το σύμπαν, σε οποιονδήποτε γαλαξία… Σ’ αυτό το σύμπαν, ο «π» είναι υπερβατικός και δεν μπορεί με κανόνα και διαβήτη να γίνει του κύκλου τετραγωνισμός.

https://www.naftemporiki.gr/stories/1932940/imera-toy-314/

[Δροσος Γεωργιος]

Διδακτορική φοιτήτρια έλυσε μαθηματικό πρόβλημα που παρέμενε άλυτο επί 40 χρόνια
Μια διδακτορική φοιτήτρια από τη Φινλανδία κατάφερε να λύσει ένα μαθηματικό πρόβλημα που παρέμενε άλυτο επί 40 και πλέον χρόνια.Η Susanna Heikkilä από το Πανεπιστήμιο του Ελσίνκι κατάφερε να αποκρυπτογραφήσει το ερώτημα που έθεσε ο μαθηματικός Misha Gromov το 1981, και δημοσίευσε το αποτέλεσμα σε ένα από τα πιο έγκυρα επιστημονικά περιοδικά του κόσμου, τo Annals of Mathematics.Η υποψήφια διδάκτωρ έλυσε ένα πρόβλημα στην τοπολογία, δηλαδή στα μαθηματικά που αφορούν το σχήμα των επιφανειών, επισημαίνει σε δημοσίευμά του το πανεπιστήμιό της. Το γεγονός ότι ένα από τα άρθρα που περιλαμβάνονται στη διδακτορική της διατριβή έχει δημοσιευθεί στο ιδιαίτερα αξιόλογο περιοδικό Annals of Mathematics είναι χαρακτηριστικό για το επίπεδο των αποτελεσμάτων της.

Έδωσε απάντηση σε άλυτο μαθηματικό πρόβλημα 40 ετών
Το πρόβλημα που έλυσε η Susanna Heikkilä αφορά την ταξινόμηση των οιονεί ελλειπτικών (quasiregularly) 4-πολλαπλοτήτων, θέτοντας το ερώτημα ποια τετραδιάστατα σχήματα μπορούν να προκύψουν από μια συνεχή παραμόρφωση της τετραδιάστατης Ευκλείδειας γεωμετρίας.Το 1981, ο Ρωσο-Γάλλος μαθηματικός Misha Gromov διερωτήθηκε αν η ύπαρξη μιας συνεχούς απεικόνισης μεταξύ δύο Ευκλείδειων χώρων ίδιας διάστασης (οιονεί απεικονίσεων) είναι εγγυημένη όταν ο προκείμενος είναι απλά συνεκτικός. Το ερώτημα παρέμεινε ανοιχτό μέχρι το 2019, όταν ο Alexander Prywes απάντησε αρνητικά, δίνοντας ένα αντιπαράδειγμα στον τετραδιάστατο χώρο.«Το κύριο αποτέλεσμα της διδακτορικής μου διατριβής συμπληρώνει την απάντηση στο ερώτημα του Gromov, καθώς το αποτέλεσμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την ταξινόμηση κλειστών απλά συνδεδεμένων τετραδιάστατων πολλαπλών, για τις οποίες υπάρχει μια οιονεί απεικόνιση από έναν Ευκλείδειο χώρο», λέει η Susanna Heikkilä.

Πώς αξιοποίησε το πλέξιμο στην παρουσίασή της
Η Heikkilä, στα χόμπι της οποίας περιλαμβάνεται το πλέξιμο, απεικονίζει το θέμα επίσης μέσω πλεκτού υφάσματος. Το πλεκτό ολοκληρώθηκε για τη δημόσια εξέτασή της, όπου ήθελε να περιγράψει την έρευνά της με απλά λόγια.Το εργόχειρο φέρνει την απεικόνιση από το επίπεδο σε μια σφαίρα, γνωστή ως απεικόνιση Alexander. Η Heikkilä έπλεξε μπαλώματα διαφορετικών χρωμάτων και τα συναρμολόγησε σε μοτίβο σκακιέρας με τετράγωνα διαφορετικού χρώματος στις γωνίες. Χρειάστηκε επίσης μια μπάλα με διαφορετικά χρωματισμένα πάνω και κάτω ημισφαίρια.Όταν το σκακιστικό πλέγμα καμπυλώνεται γύρω από τη σφαίρα με τις χρωματιστές γωνίες συνδεδεμένες μεταξύ τους, αφήνεται ένα κενό μεταξύ των τετραγώνων. Αυτό συνοψίζει την ιδέα των οιονεί απεικονίσεων (quasiregular mappings): τα κενά μπορούν να κλείσουν με το τέντωμα του υφάσματος (μια απλή, συνεχής κίνηση).

<p>Πηγή: <a "https://www.iefimerida.gr">iefimerida.gr

[Δροσος Γεωργιος]

Ερευνητές λύνουν μαθηματικό πρόβλημα που δημιουργήθηκε πριν από 100 χρόνια.

Λύση σε γεωμετρικό πρόβλημα που έθεσε ο Σόιτσι Κακέγια το μακρινό 1917 βρήκαν δύο καθηγητές, μετά από 108 χρόνια.O Ιάπωνας μαθηματικός είχε θέσει το εξής ερώτημα που έμεινε γνωστό ως «η εικασία του Κακέγια»: Πώς μπορείτε να περιστρέψετε μια βελόνα κατά 360 μοίρες, εξασφαλίζοντας ταυτόχρονα ότι η περιοχή στην οποία κινείται είναι όσο το δυνατόν μικρότερη;Σήμερα έρχονται ο καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Νέας Υόρκης, Χονγκ Γουάνγκ, και ο καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Βρετανικής Κολομβίας στον Καναδά, Τζόσουα Ζαλ, να δώσουν λύση στο συγκεκριμένο πρόβλημα.

Η λύση που έδωσαν οι δύο καθηγητής στην «εικασία του Κακέγια»
Μία από τις δυνατότητες για την προσπάθεια επίλυσης του προβλήματος ήταν να στερεωθεί το ένα άκρο της βελόνας σε ένα σημείο και να περιστραφεί γύρω από αυτό το σημείο. Ένας άλλος τρόπος περιλαμβάνει την ταλάντευση της βελόνας μπρος-πίσω καθώς περιστρέφεται. Σε αυτή την περίπτωση, η κίνησή της θα σχημάτιζε ένα τρίγωνο με καμπύλες άκρες.Για να μπορέσει η βελόνα να ανιχνεύσει τον κύκλο ή το τρίγωνο με την κίνησή της, πρέπει να βρίσκεται πάνω σε ένα τραπέζι, δηλαδή σε δύο διαστάσεις. Ωστόσο, στον τρισδιάστατο χώρο, η βελόνα έχει να ακολουθήσει μεγαλύτερο αριθμό πιθανών κατευθύνσεων και το πέρασμα από όλες αυτές γίνεται πιο περίπλοκο.Επομένως, για να μπορέσει να περάσει από όλες τις τρισδιάστατες κατευθύνσεις αφήνοντας ταυτόχρονα έναν ελάχιστο χώρο για την κίνηση, η βελόνα πρέπει να είναι απείρως στενότερη, κάτι σαν γραμμή. Μ' αυτόν τον τρόπο, η βελόνα θα καλύπτει πολλές κατευθύνσεις χωρίς να καταλαμβάνει όγκο στο χώρο.Πώς κατάφεραν οι δύο ερευνητές να λύσουν την «εικασία του Κακέγια»
Αν και η υπόθεση φαίνεται απλή, οι μαθηματικοί χρειάστηκαν δεκαετίες για να αποδείξουν τη θεωρία σε τρισδιάστατη μορφή. Οι μαθηματικοί Τζόσουα Ζαλ και Χονγκ Γουάνγκ κατάφεραν να βρουν απαντήσεις για το πώς η βελόνα θα μπορούσε να κινηθεί σε τρεις χωρικές διαστάσεις. Τα αποτελέσματα δημοσιεύτηκαν στο arXiv.Η νέα εργασία φρόντισε να εξαλείψει κάθε πιθανότητα κατά την οποία ο αριθμός των διαστάσεων του σχήματος που ανιχνεύεται από τη βελόνα ήταν μικρότερος από τρεις. Με άλλα λόγια: εξασφάλισαν ότι η λύση τους ίσχυε για κάθε λύση άνω των 3 διαστάσεων. Για να το πετύχουν αυτό, εξέτασαν αν η απάντηση ίσχυε για 2,5 διαστάσεις, 2,5000001 διαστάσεις κ.ο.κ. Δεν έχει πολύ νόημα να σκεφτόμαστε σε σπασμένες «διαστάσεις»; Λοιπόν, θα πρέπει να γνωρίζετε ότι αυτό υπάρχει για τους μαθηματικούς.Οι δυο τους κατάφεραν να αποδείξουν ότι τα σύνολα Kakeya δεν μπορούν να έχουν πολύ μικρές γεωμετρικές δομές, παρόλο που μπορούν να έχουν μηδενικό τρισδιάστατο όγκο. Με άλλα λόγια, τα σύνολα αυτά, ακόμη και με μηδενικό όγκο, έχουν τρισδιάστατη δομή. Το 1971, ο μαθηματικός Roy Davies κατάφερε να αποδείξει πώς η βελόνα μπορεί να κινείται σε δύο διαστάσεις (2D), αλλά κανείς δεν έχει αποδείξει τη δυνατότητα τρισδιάστατων κινήσεων μέχρι σήμερα.«Ίσως η μεγαλύτερη ανακάλυψη στα μαθηματικά του τρέχοντος αιώνα»
«Η εργασία είναι ίσως η μεγαλύτερη ανακάλυψη στα μαθηματικά του τρέχοντος αιώνα», δήλωσε ο Νετς Κατζ, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο Rice στο περιοδικό New Scientist.«Επιλύει πλήρως ένα πρόβλημα που έχει αντιμετωπιστεί με διάφορες τεχνικές από αρκετές από τις κορυφαίες προσωπικότητες στον τομέα (σ.σ. των μαθηματικών), οι περισσότεροι από τους οποίους έχουν επιτύχει μόνο μέτρια επιμέρους αποτελέσματα»

"https://www.iefimerida.gr">iefimerida.gr</a>