Περί Μαθηματικών.

[Δροσος Γεωργιος]

Terence Τao: Γιατί οι μαθηματικοί πρέπει μαθαίνουν φυσική.

Μπορεί η Τεχνητή Νοημοσύνη να μας βοηθήσει να λύσουμε τα πιο δύσκολα προβλήματα στα Μαθηματικά;

Κάθε φορά που πληκτρολογείς έναν κωδικό πρόσβασης, αγοράζεις κάτι στο διαδίκτυο ή στέλνεις ένα κρυπτογραφημένο μήνυμα, βασίζεσαι σε μια υπόθεση για τους πρώτους αριθμούς: ότι δεν κρύβουν κάποια προβλέψιμη κανονικότητα. Η σύγχρονη κρυπτογραφία εξαρτάται από τους πρώτους αριθμούς που συμπεριφέρονται «αρκετά τυχαία», ωστόσο πολλά θεμελιώδη ερωτήματα σχετικά με τους πρώτους παραμένουν αναπόδεικτα.Στο βίντεο που ακολουθεί, ο Dr Brian Keating συνομιλεί με τον μαθηματικό Terence Tao που έχει βραβευθεί με το μετάλλιο Fields. Συζητούν τι μπορούν να αποδείξουν οι μαθηματικοί, τι υποψιάζονται και τι θα μπορούσε να αλλάξει αν εμφανιζόταν μια απρόσμενη δομή στους πρώτους αριθμούς. Αναλύουν την ψευδοτυχαιότητα και γιατί έχει σημασία στην κρυπτογράφηση, την εικασία των δίδυμων πρώτων, καθώς και το πώς η κβαντική υπολογιστική αναδιαμορφώνει τα όρια του εφικτού στον υπολογισμό και την ασφάλεια.
Ασχολούνται επίσης με την Τεχνητή Νοημοσύνη και τα μαθηματικά: γιατί τα μεγάλα γλωσσικά μοντέλα μπορεί να ακούγονται πειστικά ακόμη και όταν είναι αναξιόπιστα, πώς η ΤΝ μπορεί να βοηθήσει στη δημιουργία ιδεών και στην εύρεση της βιβλιογραφίας, και γιατί οι βοηθοί επαλήθευσης και απόδειξης θα έχουν σημασία για την πραγματική μαθηματική πρόοδο.
Ο Tao εξηγεί τεχνικές απόδειξης όπως η εις άτοπον απαγωγή, το γιατί οι μιγαδικοί αριθμοί και η τετραγωνική ρίζα του μείον ένα είναι τόσο σημαντικά και το πώς η γεωμετρία πολλών διαστάσεων ξεπερνά την διαίσθησή μας. Δίνει ένα πραγματικό παράδειγμα για το πώς οι μαθηματικές ανακαλύψεις μεταφράζονται σε τεχνολογία: την συμπιεσμένη δειγματοληψία (compressed sensing), η οποία έχει επιτρέψει πολύ ταχύτερες σαρώσεις μαγνητικής τομογραφίας, ανακατασκευάζοντας εικόνες από πολύ λιγότερα δεδομένα.
Μεταξύ άλλων στο 00:59:47 ο Terry Τao εξηγεί γιατί «πρέπει οι μαθηματικοί να μαθαίνουν φυσική»:

 

00:00:00 Passwords, primes, and why randomness protects your digital life 00:00:58 Coffee, Erdős, and the inside jokes 00:01:28 Tao meets Paul Erdős at age 10 00:02:21 Erdős number and the Erdős–Bacon number 00:03:19 Erdős, amphetamines, and productivity lore 00:04:07 Tao explains the Erdős discrepancy problem 00:06:31 Why discrepancy must diverge 00:06:44 Randomness, human bias, and cheating detection 00:07:06 Benford’s law and why fake data looks too uniform 00:08:14 Induction pitfalls, minimal surfaces, and dimension surprises 00:10:26 Mathematical induction as dominoes 00:11:36 High-dimensional geometry and why balls stop filling space 00:13:45 Proof styles and why contradiction is powerful 00:14:38 Proof by contradiction explained with a playground example 00:16:42 Why square roots and i show up everywhere in physics 00:18:03 Why complex numbers are the “natural” 2D upgrade 00:21:01 Transcendentals and why 1 stopped being prime 00:23:05 Twin primes and what we still can’t prove 00:25:03 Pseudorandomness, determinism, and cryptography assumptions 00:27:00 Quantum computers: powerful and restricted 00:29:12 Complexity theory: truth vs computability 00:31:11 AI in math: strengths, hallucinations, and verification 00:35:04 Neural nets finding hidden correlations in math 00:38:00 Why LLM mechanics are simple but performance prediction is hard 00:41:07 Is math a language or something more? 00:43:21 Is math invented or discovered? Tao’s answer 00:44:18 Teaching in the AI era: verification and critique 00:47:12 Can AI police itself? Reliability through verification workflows 00:48:54 Tao’s current focus: modernizing mathematics and funding 00:50:20 Fame, ego, and why proofs keep you honest 00:52:04 Do mathematicians peak at 30? Wisdom vs speed 00:54:18 Should mathematicians learn physics? Intuition across fields 00:57:11 Galileo’s mathematical compass and computation before calculators 00:59:47 Currency exchange as a gauge theory metaphor 01:03:01 String theory: elegance, flexibility, and evidence 01:04:33 Gödel vs physics: models you can prove vs worlds you test 01:06:47 Compressed sensing: math breakthrough to faster MRIs 01:09:25 Why basic math research pays off in engineering 01:11:09 Outro

O Paul Erdős, αριστερά, και ο Terence Tao σε ηλικία 10 ετών συζητούν μαθηματικά προβλήματα το 1985.

[Δροσος Γεωργιος]

Έτσι λύθηκε ο τρομερός γεωμετρικός γρίφος που έγινε viral από «Τα Φιλαράκια»

Πρόκειται για ένα πρόβλημα που πονοκεφαλιάζει την μαθηματική κοινότητα πάνω από μισό αιώνα.

Ένας Κορεάτης μαθηματικός έλυσε έναν από τους πιο επίμονους γρίφους της γεωμετρίας που αποτέλεσε μια από τις πιο εμβληματικές σκηνές στη διάσημη κωμική σειρά «Τα Φιλαράκια». Η λύση δίνει τέλος σε ένα πρόβλημα που απασχολούσε τους ερευνητές για σχεδόν 60 χρόνια και κερδίζοντας παγκόσμια αναγνώριση για μια απόδειξη που επιτεύχθηκε χωρίς τη βοήθεια υπολογιστών.Ο Δρ. Μπάεκ Τζιν Εον 31 ετών συνεργάτης στο Korea Institute for Advanced Study απέδειξε ότι κανένα σχήμα μεγαλύτερο από έναν σχεδιασμό που είχε προταθεί στο παρελθόν δεν μπορεί να μετακινηθεί μέσα από έναν διάδρομο ορθής γωνίας σταθερού πλάτους επιλύοντας το λεγόμενο πρόβλημα του κινούμενου καναπέ το οποίο διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1966.Το πρόβλημα θέτει ένα φαινομενικά απλό ερώτημα ποιο είναι το δισδιάστατο σχήμα με το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν που μπορεί να μεταφερθεί μέσα από έναν διάδρομο σε σχήμα L με πλάτος ένα. Αν και είναι εύκολο να το φανταστεί κανείς αντιστάθηκε σε αποδείξεις επί δεκαετίες. Το 1992 ο μαθηματικός Τζόζεφ Γκέρβερ πρότεινε ένα πολύπλοκο καμπύλο σχήμα γνωστό ως καναπές του Γκέρβερ ως πιθανή λύση. Ωστόσο κανείς δεν είχε καταφέρει να αποδείξει ότι δεν θα μπορούσε να υπάρχει ένα μεγαλύτερο σχήμα.Ύστερα από επτά χρόνια εργασίας ο Δρ. Μπάεκ έδειξε ότι ο σχεδιασμός του Γκέρβερ είναι πράγματι βέλτιστος. Δημοσίευσε την απόδειξη 119 σελίδων στο αρχείο διαδικτυακών προδημοσιεύσεων arXiv καταλήγοντας στο συμπέρασμα ότι «δεν μπορεί να υπάρξει καναπές μεγαλύτερος από τον καναπέ του Γκέρβερ». Σε αντίθεση με πολλές προηγούμενες προσπάθειες το έργο του δρ Μπαεκ βασίστηκε αποκλειστικά σε λογικό συλλογισμό και όχι σε εκτεταμένες υπολογιστικές προσομοιώσεις.Περιγράφοντας τη μακρά ερευνητική διαδικασία ο Μπαεκ παρομοίασε τη δουλειά του με το να χτίζει και να εγκαταλείπει επανειλημμένα ιδέες. «Συνεχίζεις να κρατιέσαι από την ελπίδα μετά τη διαλύεις και προχωράς μαζεύοντας ιδέες από τις στάχτες» είπε σε συνέντευξή του. «Είμαι από τη φύση μου περισσότερο ονειροπόλος και για μένα η μαθηματική έρευνα είναι μια επανάληψη ονείρων και αφύπνισης».Η έρευνα έχει έκτοτε ανακηρυχθεί από το Scientific American ως μία από τις «Δέκα κορυφαίες μαθηματικές ανακαλύψεις του 2025» μια συντακτική επιλογή που αναδεικνύει σημαντικές τομές στον κλάδο. Το περιοδικό σημείωσε ότι «ενώ πολλοί ερευνητές έχουν βασιστεί σε εκτεταμένες υπολογιστικές προσομοιώσεις για να υπολογίσουν το μέγιστο μέγεθος του καναπέ είναι εντυπωσιακό το γεγονός ότι η τελική λύση του Μπαεκ Τζιν Εον δεν εξαρτάται καθόλου από υπολογιστές».Η απόδειξη του Δρ. Μπαεκ βρίσκεται αυτή τη στιγμή υπό αξιολόγηση από επιστήμονες επιθεώρηση Annals of Mathematics ένα από τα πιο έγκριτα περιοδικά του κλάδου. Αν και η διαδικασία αξιολόγησης συνεχίζεται η εμπιστοσύνη στο αποτέλεσμα είναι υψηλή μέσα στη μαθηματική κοινότητα.

Η περιστροφή

Το πρόβλημα του κινούμενου καναπέ κατέχει εδώ και καιρό θέση τόσο στη λαϊκή κουλτούρα όσο και στην ακαδημαϊκή κοινότητα με πιο γνωστή αναφορά την αμερικανική σειρά Friends όπου οι πρωταγωνιστές δυσκολεύονται να μεταφέρουν έναν καναπέ σε ένα κτίριο από την σκάλα.Το Scientific American αστειεύτηκε ότι «για να εξηγηθεί το Pivot (περιστροφή) που φωνάζει ο Ρος Γκέλερ στη σκηνή απαιτήθηκε μια εργασία 119 σελίδων». Η σκηνή αυτή έχει αναδειχθεί σε μια από τις πιο αστείες και χαρακτηριστικές της σειράς που 20 χρόνια μετά το τέλος της εξακολουθεί να αποτελεί ορόσημο στην ιστορία της μικρής οθόνης. Μάλιστα η σκηνή δεν ήταν εύκολο να γυριστεί επειδή οι πρωταγωνιστές δεν μπορούσαν να σταματήσουν να γελούν κατά τη διάρκεια της και σταματούσε το γύρισμα.

 

Ο Δρ. Μπάεκ άρχισε να εργάζεται πάνω στο πρόβλημα ενώ υπηρετούσε ως ερευνητικός ειδικός κατά τη διάρκεια της υποχρεωτικής στρατιωτικής του θητείας και συνέχισε κατά τη διάρκεια των διδακτορικών του σπουδών στις ΗΠΑ και αργότερα ως μεταδιδακτορικός ερευνητής στη Νότια Κορέα.Πέρυσι επιλέχθηκε για το πρόγραμμα υποτροφιών June E Huh Fellow το οποίο υποστηρίζει μαθηματικούς κάτω των 39 ετών για έως και μία δεκαετία. Σήμερα συνεχίζει να εργάζεται πάνω σε προβλήματα βελτιστοποίησης και προκλήσεις στη συνδυαστική γεωμετρία.

https://www.naftemporiki.gr/techscience/2055214/etsi-lythike-o-tromeros-geometrikos-grifos-poy-egine-viral-apo-ta-filarakia/