Περί Μαθηματικών.

[Δροσος Γεωργιος]

Η σπορά του Grothendieck.

Alexandre Grothendieck: Récoltes et Semailles I, II. Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien

Πριν από μερικές ημέρες, στις 13 Ιανουαρίου 2022, εμφανίστηκε στις προθήκες των γαλλικών βιβλιοπωλείων μία νέα, καλαίσθητη έκδοση του περίφημου έργου, «Récoltes et Semailles» (Συγκομιδή και Σπορά, σε ελεύθερη απόδοση) του κορυφαίου μαθηματικού του 20ού αιώνα Alexandre Grothendieck (1928 – 2014). Το δίτομο έργο, το οποίο ο συγγραφέας του χαρακτήριζε «τερατώδες, με περισσότερες από χίλιες σελίδες», περιλαμβάνει την περιπέτεια της σκέψης του σπουδαίου επιστήμονα.

διαβάστε επίσης: Alexander Grothendieck, Ένας ιδιοφυής και αναρχικός μαθηματικός

Ο  Grothendieck επηρέασε όσο λίγοι τη μαθηματική επιστήμη με τις ρηξικέλευθες έρευνές του στην αλγεβρική γεωμετρία. Το 1966 τιμήθηκε με την ύψιστη μαθηματική διάκριση, το βραβείο Fields, το οποίο δεν παρέλαβε ποτέ αρνούμενος να ταξιδέψει στη Μόσχα για πολιτικούς λόγους. Από εκείνα τα χρόνια άρχισε να απομακρύνεται από τους κύκλους και τους θεσμούς της επιστημονικής κοινότητας, μέχρι που αποσύρθηκε σταδιακά στο καταφύγιό του, κοντά στο χωριό Lassere στην περιοχή Ariège της νοτιοδυτικής Γαλλίας. Αδιάκοπα εργαζόμενος, κυρίως από τις 10 το βράδυ έως τα ξημερώματα, άφησε χειρόγραφα αρκετών χιλιάδων σελίδων στο Πανεπιστήμιο του Μονπελιέ (από το οποίο αποφοίτησε το 1948 και επέστρεψε για ένα διάστημα ως καθηγητής) και στα προσωπικά του αρχεία.Η νέα έκδοση κυκλοφορεί από τις εκδόσεις «Gallimard», οι οποίες και τη συστήνουν στους αναγνώστες σημειώνοντας ότι πρόκειται για ένα έργο που ξεκινά «ως μία καυστική κριτική της ηθικής των μαθηματικών» για να οδηγήσει τον αναγνώστη, μέσα από μίαν απρόβλεπτη πνευματική εμπειρία, στην περιοχή της ριζοσπαστικής οικολογίας. Στην ουσία είναι ένα σύνθετο έργο πολλαπλών κατευθύνσεων στο οποίο η περιπλάνηση στη μαθηματική επιστήμη συναντά την κριτική του σύγχρονου κόσμου, πριν πάρει τη μορφή ενός ιδιόμορφου υπαρξιακού και φιλοσοφικού στοχασμού.Ο συγγραφέας, στην αρχή της έκδοσης εν είδη προλόγου, προετοιμάζει τον αναγνώστη για την περιπέτεια που θα ακολουθήσει, γράφοντας ανάμεσα σε άλλα: «[…] Ο άνθρωπος που ανακάλυψε και δάμασε τη φωτιά ήταν κάποιος ακριβώς όπως εσείς και εγώ. Σε καμία περίπτωση δεν ήταν κάποιος που αποκαλούμε «ήρωα», «ημίθεο» και τα συναφή. Σίγουρα, όπως εσείς και εγώ, γνώριζε το σφίξιμο της αγωνίας και την αποδεδειγμένα μάταιη θεραπεία της ματαιοδοξίας που σε κάνει να το ξεχνάς. Αλλά τη στιγμή που «γνώρισε» τη φωτιά, δεν υπήρχε ούτε φόβος ούτε ματαιοδοξία. Αυτή είναι η αλήθεια στον ηρωικό μύθο. Η ισχύς του αμβλύνεται, διαλύεται όταν χρησιμοποιείται για να μας κρύψει μίαν άλλη πτυχή των πραγμάτων, εξίσου πραγματική και ουσιαστική.Σκοπός μου, στο έργο «Récoltes et Semailles», ήταν να μιλήσω και για τις δύο αυτές διαστάσεις -την επιθυμία για γνώση και τον φόβο με τα μάταια αντίδοτά του. Νομίζω ότι «καταλαβαίνω», ή τουλάχιστον γνωρίζω, αυτόν τον μηχανισμό και τη φύση του. (Ίσως μια μέρα ανακαλύψω, με απορία, πόσο εξαπατούσα τον εαυτό μου…) Αλλά σε σχέση με τον φόβο, τη ματαιοδοξία και τα ύπουλα εμπόδια που φέρει η δημιουργικότητα, ξέρω καλά ότι δεν έχω διερευνήσει σε βάθος αυτό το μεγάλο αίνιγμα. Και δε γνωρίζω αν θα βρω ποτέ την απάντηση του μυστηρίου στα χρόνια που μού απομένουν να ζήσω […]».

https://physicsgg.me/2022/01/17/η-σπορά-του-grothendieck/

[Δροσος Γεωργιος]

Ζούμε ακόμα σε έναν Ευκλείδειο κόσμο.

Η γεωμετρία της αρχαίας Ελλάδας αντέχει για περισσότερες από δύο χιλιετίες, ακόμη και μετά τη σχετικότητα και την κβαντομηχανική

Ο Ευκλείδης έγραψε το διάσημο εγχειρίδιο γεωμετρίας του, τα «Στοιχεία», περί το 300 π.Χ. Πρόκειται για ένα αριστούργημα στοχασμού και παρουσίασης. Τα «Στοιχεία» συνάγουν άφθονα, απροσδόκητα και ισχυρά αποτελέσματα διαμέσου μερικών ξεκάθαρα διατυπωμένων, «αυτονόητων» υποθέσεων, ή αλλιώς αξιωμάτων. Χρησίμευσε στην εκπαίδευση πολλών γενιών μαθητών όχι μόνο στην γεωμετρία, την επιστήμη του χώρου και της μέτρησης, αλλά και στην τέχνη της καθαρής σκέψης και των λογικών συμπερασμάτων. Πολλά έχουν συμβεί στην επιστήμη από τότε που εμφανίστηκε το βιβλίο πριν από δύο χιλιετίες και πλέον αλλά κατά κάποιο τρόπο, – αν και υπήρξαν μερικές πολύ αργές αλλαγές – ο Ευκλείδης αντέχει.Το σύστημα της κλασικής μηχανικής και βαρύτητας του Isaac Newton και το σύστημα ηλεκτρομαγνητισμού του James Clerk Maxwell χτίστηκαν πάνω στα θεμέλια της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Πρόσθεσαν σωματίδια, πεδία και δυνάμεις, αλλά ο χώρος στον οποίο ζούσαν αυτά τα αντικείμενα ήταν του Ευκλείδη.Ένα από τα αξιώματα του Ευκλείδη, το λεγόμενο αξίωμα της παραλληλίας, φάνηκε σε πολλούς μεταγενέστερους αναγνώστες λιγότερο πειστικό από τα υπόλοιπα. Λέει ότι οι κάθετοι που φέρονται από δύο διαφορετικά σημεία σε μια ευθεία δεν τέμνονται ποτέ, αλλά ότι όλα τα υπόλοιπα ζεύγη ευθειών που διέρχονται από αυτά τα σημεία τέμνονται μία φορά. Τον 19ο αιώνα, οι μαθηματικοί έδειξαν ότι τροποποιώντας λίγο το αξίωμα της παραληλίας του Ευκλείδη και διατηρώντας τα υπόλοιπα αξιώματά του, μπορούμε να πάρουμε μια όμορφη —και συνεπή— περιγραφή του πως λειτουργεί η γεωμετρία στην επιφάνεια μιας σφαίρας.Ο Γερμανός μαθηματικός Bernhard Riemann ακολούθησε μια πιο ριζοσπαστική προσέγγιση. Εμπνευσμένος από την προοπτική της περιγραφής επιφανειών και υπερεπιφανειών περισσότερων διαστάσεων, πρότεινε ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία γίνεται ακριβής σε μικρές αποστάσεις (όπου η επίδραση της καμπυλότητας είναι αμελητέα), αλλά για να περιγράψει κανείς την μεγάλης κλίμακας γεωμετρία πρέπει να συνδυάσει τις τοπικές περιγραφές. Όπως για παράδειγμα, ένας σκιέρ που κατεβαίνει ένα ανώμαλο βουνό, ενώ προσπαθεί να διανύσει μια ευθεία, στην συνολική του πορεία διανύει μια καμπύλη.Η ειδική θεωρία της σχετικότητας του Albert Einstein το 1905 ενέπνευσε έναν από τους δασκάλους του, τον Hermann Minkowski, να προτείνει μια ακόμα γενίκευση της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Τελειώνοντας τη διάλεξή του «Χώρος και Χρόνος» το 1908, διακήρυξε: «Εφεξής ο χώρος και ο χρόνος από μόνοι τους, είναι καταδικασμένοι να ξεθωριάσουν σε απλές σκιές και μόνο ένα είδος ένωσης των δύο θα διατηρήσει μια ανεξάρτητη πραγματικότητα». Ωστόσο, ο χωροχρόνος του Minkowski εξακολουθεί να έχει τις ρίζες του στον Ευκλείδη. Ενσωματώνει μια γενίκευση του αξιώματος παραλληλίας και το «χωρικό» μέρος του σε οποιαδήποτε σταθερή στιγμή είναι ο καθαρά Ευκλείδειο. Απέμεινε στον Αϊνστάιν να κάνει για τον Minkowski ότι είχε κάνει ο Riemann για τον Ευκλείδη, δηλαδή να εισάγει την καμπυλότητα του χωροχρόνου στην γενική θεωρία της σχετικότητας του 1915 .Αυτό το πλαίσιο λειτούργησε άψογα. Υποστηρίζει εφαρμογές που ο Ευκλείδης δεν φαντάστηκε ποτέ, όπως οι έννοιες των διαστελλόμενων συμπάντων, των βαρυτικών κυμάτων και (θεωρητικά) τις σκουληκότρυπες που συνδέουν απομακρυσμένα μεταξύ τους μέρη. Όμως, το πλαίσιο του Αϊνστάιν εξακολουθεί να είναι με αναγνωρίσιμο τρόπο Ευκλείδειο, επεκταμένο και προσαρμοσμένο ώστε να εισάγει τον χρόνο και την μεγάλης κλίμακας καμπυλότητας.Τα κβαντικά φαινόμενα μπορεί να φαίνεται πως υπονομεύουν τις πιο θεμελιώδεις έννοιες του Ευκλείδη για τον χώρο: την δυνατότητα να τον διαιρέσουμε σε μικρά κομμάτια και να τον μετρήσουμε με κανόνες και διαβήτες. Οι κβαντικοί χάρακες αποτελούνται από άτομα και τα άτομα είναι θολά συγκροτήματα κυματοειδών ηλεκτρονίων. Οι μεταγενέστερες εξελίξεις στα μαθηματικά κατέστησαν επίσης αυτές τις Ευκλείδειες υποθέσεις το αντίθετο του «αυτονόητου».Κι όμως το Καθιερωμένο Πρότυπο των θεμελιωδών αλληλεπιδράσεων εξακολουθεί να βρίσκεται υπό την σκέπη του Ευκλείδη. Τα σχετικιστικά κβαντικά πεδία εξακολουθούν να ζουν στο συνεχές του Ευκλείδη – ή ακριβέστερα, στην επικαιροποίησή του από τον Αϊνστάιν. Για μένα, πρόκειται για το πιο εντυπωσιακό παράδειγμα αυτού που ο Eugene Wigner αποκάλεσε «η παράλογη αποτελεσματικότητα των μαθηματικών στις φυσικές επιστήμες».

https://physicsgg.me/2022/02/05/ζούμε-ακόμα-σε-έναν-ευκλείδειο-κόσμο/

[Δροσος Γεωργιος]

Οι τρεις μαθηματικοί που τετραγώνισαν τον κύκλο.

Πρόκειται για τους Andras Máthé, Oleg Pikhurko και Jonathan Noel που απέδειξαν για πρώτη φορά πώς κατασκευάζουμε ένα τετράγωνο ίσου εμβαδού με έναν κύκλο

Τεμαχίζοντας τον κύκλο σε κομμάτια μπορούμε αναδιατάσσοντάς τα να κατασκευάσουμε ένα ισεμβαδικό τετράγωνο

Δεδομένου ότι χρησιμοποιούμε ως μονάδα μέτρησης εμβαδών ένα τετράγωνο που έχει ως πλευρά την μονάδα μήκους, τίθεται αμέσως και το πρόβλημα του τετραγωνισμού των διαφόρων σχημάτων. Πολύ εύκολα ‘τετραγωνίζονται’, δηλαδή υπολογίζεται το εμβαδόν σχημάτων όπως τρίγωνα, παραλληλόγραμμα και ορισμένων πολυγώνων. Δυσκολότερο είναι το επόμενο βήμα, να τετραγωνιστούν εμβαδά σχημάτων που περικλείονται από καμπύλες και πρώτα απ΄ όλα το εμβαδόν ενός κύκλου.Ο τετραγωνισμός του κύκλου, είναι ένα από τα τρία μεγάλα προβλήματα της αρχαιότητας (μαζί με το Δήλιο πρόβλημα και την τριχοτόμηση της γωνίας) που βασάνιζε τους μαθηματικούς για πολλούς αιώνες. Πρόκειται για την κατασκευή με κανόνα και διαβήτη ενός τετραγώνου πλευράς α, που έχει εμβαδό ίσο με δεδομένο κύκλο, ας πούμε με ακτίνα r=1 για ευκολία, έτσι ώστε: π∙1²=α², όπου π ο λόγος της περιφέρειας προς την διάμετρο του κύκλου. Επομένως ο τετραγωνισμός του κύκλου ισοδυναμεί με την κατασκευή ενός ευθυγράμμου τμήματος, πάντα με κανόνα και διαβήτη, μήκους .Στην αρχαιότητα είχε διαπιστωθεί ότι ο αριθμός π είναι σταθερός, αλλά η κατασκευή μήκους ίσου με τον αριθμό π με χάρακα και διαβήτη αποτύγχαναν παταγωδώς. Ο πρώτος που αναφέρεται ιστορικά ότι ασχολήθηκε με τον τετραγωνισμό του κύκλου είναι ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος (500-428 π.Χ.), δάσκαλος και φίλος του Περικλή. Σύμφωνα με τον Πλούταρχο, γύρω στο 450 π.Χ. ο Αναξαγόρας βρισκόταν στην φυλακή για ασέβεια. Είχε υποστηρίξει ότι ο Ήλιος δεν ήταν θεός, αλλά μάλλον ένας διάπυρος βράχος με το μέγεθος της Πελοποννήσου. Όμως ένας άνθρωπος που διαθέτει γνήσιο επαναστατικό πνεύμα ακόμα και στην φυλακή δεν χάνει τον καιρό του. Εκμεταλλεύτηκε την φυλάκισή του για να επιλύσει το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου.

Χρησιμοποιώντας μόνο έναν χάρακα και έναν διαβήτη, μπορείτε να κατασκευάσετε ένα τετράγωνο ίσου εμβαδού με έναν δεδομένο κύκλο;

Η απάντηση στο ερώτημα που έθεσε ο Αναξαγόρας απαντήθηκε το 1882, όταν ο Γερμανός μαθηματικός Ferdinand von Lindemann απέδειξε πως είναι αδύνατο να χρησιμοποιηθεί κανόνας και διαβήτης για να κατασκευαστεί ένα μήκος ίσο με έναν υπερβατικό αριθμό, όπως ο αριθμός π (ή την τετραγωνική του ρίζα που είναι επίσης υπερβατικός αριθμός). Αλλά το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου που είναι ισεμβαδικό με έναν κύκλο ακτίνας 1, είναι , το οποίο είναι αδύνατο κατασκευαστεί με χάρακα και διαβήτη. Επομένως ο τετραγωνισμός του κύκλου είναι αδύνατος με αυτόν τον τρόπο.Κι έζησαν αυτοί καλά και εμείς καλύτερα, θα λέγαμε, αν αυτό ήταν το τέλος της ιστορίας. Όμως, το 1925 ο Alfred Tarski επανέφερε το πρόβλημα τροποποιώντας τους κανόνες. Προβληματίστηκε για το αν κάποιος θα μπορούσε τεμαχίζοντας έναν κύκλο σε πεπερασμένο αριθμό κομματιών, που θα μπορούσαν να συρθούν πάνω στο επίπεδο, να τα αναδιατάξει σχηματίζοντας ένα τετράγωνο ίσου εμβαδού – μια προσέγγιση γνωστή ως ισοδιαχωρισμός (θυμίζει το Οστομάχιον του Αρχιμήδη).Προφανώς δυο σχήματα που χωρίζονται σε ισάριθμα ίσα μέρη (ισοδιαχωρίσιμα) έχουν ίσα εμβαδά. Έτσι οι μαθηματικοί που παραδόξως εξακολούθησαν να εργάζονται πάνω στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου, αφήνοντας στην άκρη τους χάρακες και τους διαβήτες, έκαναν προόδους. Μια εργασία που δημοσιεύθηκε το 1964 ήταν η πρώτη που έκανε ουσιαστική πρόοδο στην εκδοχή του προβλήματος που διατύπωσε ο Tarski. Οι συγγραφείς της έδειξαν ότι ο ισοδιαχωρισμός δεν μπορούσε να γίνει με ψαλίδι. Εφόσον αυτός ήταν δυνατός, θα απαιτούσε πιο περίπλοκα κομμάτια φράκταλ, γεμάτα με τρύπες και περίπλοκα οδοντωτά άκρα.Τα πράγματα παρέμειναν στάσιμα μέχρι το 1990, όταν ο Miklós Laczkovich απάντησε στο ερώτημα του Tarski με ένα ηχηρό ναι: Ένας κύκλος θα μπορούσε να διαμορφωθεί εκ νέου με ισοδιαχωρισμό σε ένα τετράγωνο.Για να οπτικοποιήσετε το επίτευγμα του Laczkovich, φανταστείτε έναν κύκλο και ένα τετράγωνο δίπλα-δίπλα σε μια σελίδα. Απέδειξε ότι αν ο κύκλος χωριζόταν έως το πολύ 10⁵⁰ κομμάτια, όλα τους περίπλοκα και με ασυνήθιστα σχήματα, αυτά τα κομμάτια θα μπορούσαν να μετακινηθούν – χωρίς καν να περιστραφούν – μέχρι να γεμίσουν εντελώς το τετράγωνο.Αλλά για να φτάσει στο αποτέλεσμα αυτό, ο Laczkovich δεν δούλεψε με σχήματα. Αντίθετα, μετέτρεψε το πρόβλημα της γεωμετρίας σε πρόβλημα θεωρίας γραφημάτων. Πήρε ένα μεγάλο γράφημα με δύο ξεχωριστά σύνολα κορυφών — το ένα αντιστοιχούσε σε κύκλο, το άλλο σε τετράγωνο — και μετά επέβαλλε αντιστοιχίες μεταξύ των κορυφών του ενός συνόλου με το άλλο.Υπήρχε όμως ένα κόλλημα. Ο Laczkovich απέδειξε ότι ο ισοδιαχωρισμός του κύκλου σε τετράγωνο μπορούσε να γίνει, αλλά δεν κατάφερε δείξει πώς θα κατασκευαστούν τα κομμάτια, ούτε μπορούσε να τα περιγράψει με οποιονδήποτε τρόπο. Κι ακόμη χειρότερα, τα κομμάτια είναι «μη μετρήσιμα», πράγμα που σημαίνει ότι είναι αδύνατο να προσδιοριστεί το εμβαδό τους.Το επόμενο μεγάλο βήμα έγινε δεκαετίες αργότερα με την εργασία που δημοσιεύτηκε τον Ιανουάριο του 2016 από τους Łukasz Grabowski, Máthé και Pikhurko. Η απόδειξή τους, σε αντίθεση με αυτή του Laczkovich, θεωρούσε ότι τα κομμάτια είναι ως επί το πλείστον καλά καθορισμένα. Αλλά και πάλι υπήρχε ένα θολό σημείο: αυτά τα καλώς ορισμένα κομμάτια του κύκλου δεν γέμιζαν όλο το τετράγωνο. Χρειαζονταν επιπλέον κομμάτια για να καλύψουν ένα μικροσκοπικό τμήμα του τετραγώνου. Έστω κι αν το τμήμα αυτό είναι τόσο μικροσκοπικό που δεν έχει εμβαδόν και οι μαθηματικοί το αναφέρουν ως «σύνολο μέτρου μηδέν».Οι Andrew S. Marks και Spencer T. Unger, έκαναν μια σημαντική βελτίωση ένα χρόνο μετά, δίνοντας μια πληρέστερη απόδειξη του τετραγωνισμού του κύκλου, περιγράφοντας όλα τα κομμάτια που χρειάζονται για να τετραγωνιστεί ο κύκλος, χωρίς το απωθητικό κομμάτι με μηδενικό εμβαδό.Η απόδειξή τους περιλάμβανε πολύ περισσότερα κομμάτια – περίπου 10²⁰⁰ – κι αυτά τα κομμάτια εξακολουθούσαν να είναι αρκετά περίπλοκα. Το μειονέκτημα στην εργασία μας, δήλωσε ο Marks, είναι ότι παρόλο που τα κομμάτια καθορίζονται ρητά από μαθηματική άποψη, είναι πολύ δύσκολο να τα οπτικοποιήσουμε.Όμως, στην εργασία των Andras Máthé, Oleg Pikhurko και Jonathan Noel με τίτλο ‘Circle Squaring with Pieces of Small Boundary and Low Borel Complexity‘, που δημοσιεύτηκε την περασμένη εβδομάδα, υποδεικνύεται πώς ένας κύκλος μπορεί να τετραγωνιστεί κόβοντάς τον σε κομμάτια τα οποία όμως μπορούν να οπτικοποιηθούν και πιθανώς να σχεδιαστούν.Τα κομμάτια τους, που εξακολουθούν να είναι πολλά, περίπου 10²⁰⁰, έχουν απλούστερα σχήματα και είναι πολύ πιο εύκολο για τους μαθηματικούς να τα οπτικοποιήσουν. Αλλά και πάλι δεν φτάσαμε στο το τέλος της ιστορίας του τετραγωνισμού του κύκλου.Ήδη, ο Pikhurko έχει ιδέες για να απλοποιήσει περαιτέρω τα κομμάτια, μειώνοντας τον συνολικό αριθμό τους και κάνοντάς τα λιγότερο ανομοιόμορφα. Ο Marks κάνει προσομοιώσεις στον υπολογιστή που δείχνουν – αλλά δεν αποδεικνύουν – ότι ο ισοδιαχωρισμός μπορεί να επιτευχθεί με 22 κομμάτια. Πιστεύει ότι ο ελάχιστος αριθμός είναι πιθανότατα ακόμη χαμηλότερος. Και δηλώνει ότι: θα στοιχημάτιζα μια ταπεινή μπύρα (αλλά όχι 1000 δολάρια) ότι μπορεί να αποδειχθεί ο τετραγωνισμός του κύκλου με λιγότερα από 20 κομμάτια.

https://physicsgg.me/2022/02/10/οι-τρεις-μαθηματικοί-που-τετραγώνισα/

[Δροσος Γεωργιος]

Στον Dennis Sullivan το βραβείο Abel 2022.

Η Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών και Γραμμάτων ανακοίνωσε ότι το Βραβείο ‘Αμπελ 2022, γνωστό και ως «Νόμπελ» των Μαθηματικών, απονέμεται στον Αμερικανό Ντένις Πάρνελ Σάλιβαν, καθηγητή των πανεπιστημίων City και SUNY της Νέας Υόρκης, για την πρωτοποριακή συνεισφορά του στην τοπολογία με την ευρύτερη έννοια της και ιδιαίτερα για τις αλγεβρικές, γεωμετρικές και δυναμικές διαστάσεις της.Η τοπολογία εμφανίστηκε στο τέλος του 19ου αιώνα ως μια νέα ποσοτική προσέγγιση στη γεωμετρία, ερευνώντας τις ιδιότητες των αντικειμένων που δεν αλλάζουν όταν αυτά παραμορφώνονται. Έτσι, για έναν τοπολόγο ένας κύκλος και ένα τετράγωνο είναι το ίδιο, αλλά η επιφάνεια μιας σφαίρας και ενός ντόνατ είναι διαφορετικά. Η τοπολογία έχει σημαντικές εφαρμογές σε διάφορα πεδία, από την φυσική και τα οικονομικά μέχρι την επιστήμη των δεδομένων.Συμφωνα με την επιτροπή επιλογής του βραβείου Abel, η οποία αποτελείται από πέντε διεθνώς αναγνωρισμένους μαθηματικούς, ο Σάλιβαν «άλλαξε επανειλημμένα το τοπίο της τοπολογίας εισάγοντας νέες έννοιες, αποδεικνύοντας θεωρήματα ορόσημα, απαντώντας παλαιές εικασίες και αναδεικνύοντας νέα προβλήματα που έχουν δώσει ώθηση στο πεδίο αυτό». Το έργο του Σάλιβαν άρχισε στο τέλος της δεκαετίας του 1970 και έκτοτε επεκτάθηκε και διακλαδώθηκε σε πολλά διαφορετικά θέματα.Ο Αμερικανός μαθηματικός έχει κερδίσει πολλά διεθνή βραβεία, όπως τα Steel Prize, Wolf Prize (2010) και Balzan Prize (2014). Η απονομή του Abel Prize θα γίνει στο Όσλο στις 24 Μαΐου. Το βραβείο, που χρηματοδοτείται από τη νορβηγική κυβέρνηση, συνοδεύεται από το ποσό των 7,5 εκατομμυρίων νορβηγικών κορωνών.

https://physicsgg.me/2022/03/23/στον-dennis-sullivan-το-βραβείο-abel-2022/

[Δροσος Γεωργιος]

Kvant Selecta: Άλγεβρα και ανάλυση.

Ο τόμος «Kvant Selecta: Άλγεβρα και ανάλυση, Ι» αποτελεί μια συλλογή από άρθρα που δημοσιεύτηκαν από το 1970 μέχρι το 1990 στο ρωσικό περιοδικό Kvant (τα τεύχη του οποίου μπορείτε να βρείτε δωρεάν στα ρωσικά στην ιστοσελίδα: http://kvant.mccme.ru/). Τα άρθρα που έχουν επιλεγεί προέρχονται από κορυφαίους Ρώσους μαθηματικούς και δασκάλους. Ορισμένα περιέχουν κλασικά μαθηματικά διαμάντια που εξακολουθούν να περιλαμβάνονται στα προγράμματα σπουδών των πανεπιστημίων μέχρι και σήμερα. Άλλα αφορούν έρευνα αιχμής από τον εικοστό αιώνα. Είναι γραμμένα έτσι ώστε να παρουσιάζουν αυθεντικά μαθηματικά με εννοιολογικά εύληπτο, ευχάριστο και προσιτό τρόπο. Το βιβλίο απευθύνεται σε μαθητές και δασκάλους που αγαπούν ιδιαίτερα τα μαθηματικά και θέλουν να μελετήσουν τις διάφορες πτυχές τους, εμβαθύνοντας με τον τρόπο αυτό πάνω στη σχολική ύλη και επεκτείνοντάς την.Σύμφωνα με τον πρόλογο στην ελληνική έκδοση: «… το Kvant γεφυρώνει τα μαθηματικά και τη φυσική του Λυκείου με την ύλη των προπτυχιακών πανεπιστημιακών μαθημάτων στις δυο σπουδαίες αυτές επιστήμες. Δεν υπάρχει ίσως κανένα άλλο περιοδικό στον κόσμο που να το κάνει αυτό, με τον τόσο ιδιαίτερο τρόπο, π.χ. ως προς τη δομή και τον τρόπο σύνταξης των άρθρων, την ποιότητα και την πρωτοτυπία των προβλημάτων μαθηματικών και φυσικής, ενίοτε και επιστήμης υπολογιστών, αλλά και τη μοναδική καλαισθησία της εικαστικής εμφάνισης, που συναντά κανείς στο Kvant. Μια μακρά παράδοση σαράντα δύο ετών έκδοσης αυτού του περιοδικού, μαρτυρεί – παρά τα αναπόφευκτα μικρά ‘σκαμπανεβάσματα’ όσον αφορά την ποιότητα της ύλης του – του λόγου μου το αληθές. Στο ενδιάμεσο χρονικό διάστημα προέκυψε η έκδοση του αγγλόγλωσσου περιοδικού για τα μαθηματικά και τις θετικές επιστήμες, ‘Quantum’, που αποτέλεσε το ‘αδελφό περιοδικό’ του ρωσικού Kvant. Aυτή ξεκίνησε με δυο ‘πιλοτικά’ τεύχη, του Ιανουαρίου και Μαΐου του 1990, αντιστοίχως. Ακολούθως, το ‘Quantum’ εκδόθηκε τακτικά, ως διμηνιαίο περιοδικό, από τον Σεπτέμβριο του 1990 έως τον Αύγουστο του 2001 (μπορείτε να βρείτε δωρεάν όλα τα τεύχη του στην ιστοσελίδα: https://www.nsta.org/quantum-magazine-math-and-science)….»Υπενθυμίζεται ότι το περιοδικό ‘Quantum’ εκδόθηκε και στα ελληνικά, ύστερα από πρόταση του Γιώργου Λ. Ευαγγελόπουλου και την αποδοχή της από έναν πρωτοπόρο για την εποχή του εκδότη, τον Αλέκο Μάμαλη. Τα τεύχη του ελληνικού Quantum που κυκλοφόρησαν από τον Μαίο 1994 έως τον Ιούνιο του 2001 είναι διαθέσιμα από τις εκδόσεις Κάτοπτρο. H ελληνική έκδοση υπερείχε σε αρκετά σημεία της αντίστοιχης αμερικανικής και υπήρξαν φορές που οι συντελεστές της ελληνικής έκδοσης του περιοδικού επεσήμαναν στους αμερικανούς εκδότες του περιοδικού λάθη, τυπογραφικά και όχι μόνο.

https://physicsgg.me/2022/05/07/kvant-selecta-άλγεβρα-και-ανάλυση/

[Δροσος Γεωργιος]

Νέο ρεκόρ ψηφίων του π στο νέφος της Google.

Ο αριθμός π ως γνωστόν είναι το πηλίκο της περιφέρειας ενός οποιουδήποτε κύκλου προς τη διάμετρό του. Η ακριβής τιμή του π περιλαμβάνει άπειρα δεκαδικά ψηφία (που επιπλέον δεν επαναλαμβάνονται ποτέ με την ίδια σειρά).

Τα ρεκόρ γίνονται για να σπάνε. Το 2019, υπολογίστηκαν 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία του π – παγκόσμιο ρεκόρ εκείνη την εποχή. Στη συνέχεια, το 2021, επιστήμονες από το Πανεπιστήμιο Εφαρμοσμένων Επιστημών του Grisons υπολόγισαν άλλα 31,4 τρισεκατομμύρια ψηφία της σταθεράς, ανεβάζοντας το σύνολο σε 62,8 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία. Tώρα το νέο ρεκόρ έφτασε στα 100 τρισεκατομμύρια ψηφία του π από το Google Cloud.Είναι η δεύτερη φορά που το Google Cloud σπάει το ρεκόρ υπολογισμού ψηφίων του π, τριπλασιάζοντας τον αριθμό των ψηφίων σε μόλις τρία χρόνια. Αυτό το επίτευγμα δείχνει πόσο ταχύτερη γίνεται χρόνο με τον χρόνο η υποδομή του.Για να υπολογιστούν τα 100 τρισεκατομμύρια ψηφία του π, χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα y-cruncher v0.7.8 του Alexander J. Yee και ο αλγόριθμος Chudnovsky, από τις 14 Οκτωβρίου 2021 έως 21 Μαρτίου του 2022 (συνολικός χρόνος: 157 ημέρες, 23 ώρες, 31 λεπτά και 7.651 δευτερόλεπτα).

Η ιστορία του υπολογισμού των ψηφίων του αριθμού π από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα.

Τα νέα νούμερα που υπολογίστηκαν επαληθεύθηκαν και με έναν δεύτερο αλγόριθμο (Bailey–Borwein–Plouffe formula). Για την ιστορία παραθέτουμε τα τελευταία 100 ψηφία του π που υπολογίστηκαν: … 4658718895 1242883556 4671544483 9873493812 1206904813 2656719174 5255431487 2142102057 7077336434 3095295560

Μπορείτε να αποκτήσετε πρόσβαση σε όλα τα ψηφία του π που υπολογίστηκαν ΕΔΩ.

https://pi.delivery/

Θα πραγματοποιηθεί ένα διαδικτυακό σεμινάριο στις 15 Ιουνίου σχετικά με τα αποτελέσματα και την διαδικασία υπολογισμού των ψηφίων του αριθμού π. Για να το παρακολουθήσετε κάντε εγγραφή ΕΔΩ.

https://cloudonair.withgoogle.com/events/pi-time

https://physicsgg.me/2022/06/13/νέο-ρεκόρ-ψηφίων-του-π-στο-νέφος-της-google/

 

 

[Δροσος Γεωργιος]

Συνέδριο: Όλοι οι μεγάλοι μαθηματικοί στην Ελλάδα!

Η «αφρόκρεμα» των Ελλήνων μαθηματικών ανά τον κόσμο μαζεύεται στις 4 Ιουλίου στη χώρα μας.

 

Επιστρέφουν (δυστυχώς για λίγο), σε μεγάλο συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας που θα φέρει στη χώρα μας τον Ιούλιο κορυφαίους Έλληνες από τα μεγαλύτερα πανεπιστήμια του κόσμουΗ «αφρόκρεμα» των Ελλήνων μαθηματικών ανά τον κόσμο μαζεύεται στις 4 Ιουλίου στη χώρα μας, με την επιστημονική Ένωση τους στην Ελλάδα να διοργανώνει ένα από τα μεγαλύτερα συνέδρια της τελευταίας πενταετίας.Σημείο αναφορά η Ελλάδα λοιπόν, με τους Έλληνες μαθηματικούς ανά τον κόσμο (τους πιο καταξιωμένους επιστήμονες διεθνώς) να μαζεύονται εδώ για να ανακοινώσουν επιτεύγματα ή να συζητήσουν θεωρίες. Θλιβερή συγκυρία βέβαια, το ότι ειδικά φέτος οι θεματοδότες της Κεντρικής Επιτροπής Εξετάσεων του υπουργείου Παιδείας απέδειξαν πως μπορεί ένα εξεταστικό σύστημα να είναι λάθος, με τα υπερβολικά απαιτητικά θέματα που διάλεξαν στα Μαθηματικά για τις πανελλαδικές εξετάσεις και τους νέους και νέες που διαγωνίστηκαν στο τέλος μιας μακράς περιόδου καραντίνας, με ελλιπή προετοιμασία, δυο χρόνια καραντίνας στο πρόσφατο παρελθόν τους αλλά πολύ αποφασιστικότητα και προσωπική προσπάθεια. Όταν τα ποσοστά αποτυχίας (ή και επιτυχίας) εκτινάζονται έτσι όπως αναμένεται να γίνει φέτος, ένα εξεταστικό σύστημα αποτυγχάνει να διαβαθμίσει δίκαια τους υποψηφίους και «δείχνει τα δόντια» του στο κομμάτι ακριβώς του πληθυσμού που θα έπρεπε η χώρα να στηρίζει τις ελπίδες της.Αυτά και άλλα όμως θα συζητήσουν οι μεγάλοι Έλληνες μαθηματικοί ανα τον κόσμο που έρχονται στην Ελλάδα στις 4 Ιουλίου. Το 4ημερο συνέδριο το διοργανώνει η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία από κοινού με όλα τα τμήματα Μαθηματικών των Ελληνικών ΑΕΙ. Πρόκειται για  το 2ο Συνέδριο των «Απανταχού Ελλήνων Μαθηματικών» που έγινε με μεγάλη επιτυχία ξανά προ 4ετίας και θα διεξαχθεί  στους χώρους του Εθνικού Μετσόβιου Πολυτεχνείου. Μεταξύ των ομιλητών του δε, θα είναι ο Κωνσταντίνος Δαφέρμος του Brown University  αλλά και ο Δημήτρης Μπερτσιμάς του ΜΙΤ, που διετέλεσε στο παρελθόν πρόεδρος του Συμβουλίου διοίκησης του πανεπιστημίου Αθηνών. Θα μιλήσει στην Ελλάδα για την επιστήμη του, σε περίοδο μάλιστα κατά την οποία ένας νέος Νόμος για την δημιουργία Συμβουλίων διοίκησης συζητείται, με πολλές αντιδράσεις και πάλι γύρω από το περιεχόμενο των ρυθμίσεων του για το νέο μοντέλο διοίκησης των πανεπιστημίων.Το συνέδριο τελεί υπό την αιγίδα της Γενικής Γραμματείας Απόδημου Ελληνισμού και Δημόσιας Διπλωματίας του υπουργείου Εξωτερικών, ενώ στόχος του είναι να καθιερώσει την Αθήνα ως τόπο επιστημονικής και δημιουργικής συνάντησης των Ελλήνων μαθηματικών που ζουν στην Ελλάδα και το εξωτερικό. Όπως λένε οι εκπρόσωποι της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας πρόκειται για ένα κορυφαίο επιστημονικό γεγονός, που θα συγκεντρώσει διακεκριμένους Έλληνες μαθηματικούς «σε μια εξαιρετικής σημασίας διαβούλευση, ανταλλαγή ιδεών και οριοθέτηση στόχων για το επόμενο διάστημα, που αφορούν στο παρόν και το μέλλον των Μαθηματικών».Το Συνέδριο θα καλύψει όλες τις περιοχές των θεωρητικών και των εφαρμοσμένων Μαθηματικών, φιλοξενώντας και συγκεκριμένα θα μιλήσουν οι κορυφαίοι Έλληνες μαθηματικοί: Γεώργιος Ακρίβης (πανεπιστήμιο Ιωαννίνων), Σπυρίδων Αλεξάκης (University of Toronto), Κωνσταντίνος Δαφέρμος (Brown University), Ιωάννης Εμίρης (ερευνητικό κέντρο «Αθηνά» του πανεπιστημίου Αθηνών), Ευστρατία Καλφαγιάννη (Michigan State University), Ιωάννης Κοντογιάννης (University of Cambridge), Δημήτριος Κουκουλόπουλος (University of Montreal), Δημήτριος Μπερτσιμάς (Massachusetts Institute of Technology), Παναγιώτης Σουγανίδης (Chicago University), Πέρλα Σούση (University of Cambridge), Νικόλαος Φραντζικινάκης (Πανεπιστήμιο Κρήτης), Μαρία Χλουβεράκη (University of Versailles-St Quentin).

 

https://www.tovima.gr/2022/06/24/science/synedrio-oloi-oi-megaloi-mathimatikoi-stin-ellada/

 

 

[Δροσος Γεωργιος]

Η «παγκοσμιότητα» του ελληνικού γράμματος ταυ.

Η 28η Ιουνίου έχει οριστεί ως η παγκόσμια ημέρα του ταυ. Γιατί; Διότι γράφεται συντομογραφικά ως 6/28 και ο αριθμός 6,28,  ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου ως προς την ακτίνα, συμβολίζεται με τ. Ισούται με το διπλάσιο του αριθμού π, τ=2∙π = 2∙3,14=6,28.Σύμφωνα με το «The Tau Manifesto» η χρήση του αριθμού π δημιουργεί περιττές πολυπλοκότητες σε πολλούς τύπους στα μαθηματικά και τη φυσική. Η χρήση του τ τους κάνει απλούστερους. Ο συμβολισμός με το γράμμα τ επιλέχθηκε από την ελληνική λέξη «τόρνος» που σχετίζεται με την «στροφή», αλλά και γιατί το τ προκύπτει από το π αν του «αφαιρέσεις το ένα πόδι»!Όμως το ελληνικό γράμμα τ δεν χρησιμοποιείται μόνο στην αναπαράσταση του 2π. Το συναντάμε στην ονοματολογία στοιχειωδών σωματιδίων, άστρων στην αστρονομία, πρωτεϊνών στην βιολογία, ως σύμβολο μεγεθών στην φυσική κλπ.

H πρωτεΐνη ταυ
To 1975 o Marc Kirschner και οι συνεργάτες του μελετώντας τους μικροσωληνίσκους των κυττάρων ανακάλυψε μια άγνωστη μέχρι τότε πρωτεΐνη.  Σ’ αυτή την πρωτεΐνη δόθηκε το όνομα ταυ. Η πρωτεΐνη τ δρα σαν κόλλα που συγκρατεί ενωμένους τους μικροσωληνίσκους, των οποίων δομικά στοιχεία είναι μια άλλη πρωτεΐνη, η τουμπουλίνη.  Το 1975 δεν είχαν ιδέα για την σημασία της πρωτεΐνης ταυ στην νευρολογία. Αργότερα ανακαλύφθηκε ότι πολυμερείς ενώσεις, συστατικό των οποίων ήταν η πρωτεΐνη ταυ, σχηματίζουν νευροϊνιδιακά συμπλέγματα, δομές που βρίσκονται στα εγκεφαλικά κύτταρα όσων πάσχουν από Αλτσχάιμερ και άλλες νευροεκφυλιστικές ασθένειες. Οι ασθένειες που σχετίζονται με αυτά τα συμπλέγματα ονομάζονται  «ταυ-πάθειες».Ο Kirschner όταν ρωτήθηκε γιατί έδωσε το όνομα ταυ σ’ αυτή την πρωτείνη, είπε ότι: «έψαχνα κάτι που να θυμίζει την πρωτεΐνη τουμπουλίνη – εξ’ ου και το γράμμα τ …»

Το λεπτόνιο ταυ

Την ίδια χρονιά που η ερευνητική ομάδα του Kirschner δημοσίευσε την ανακάλυψη της πρωτεΐνης ταυ, το 1975, ερευνητές από τον γραμμικό επιταχυντή του Στάνφορντ , μια ομάδα φυσικών με επικεφαλής τον Martin Perl, θα ανακάλυπτε ένα νέο σωματίδιο. Συμπτωματικά το νέο σωματίδιο ονομάστηκε λεπτόνιο ταυ.Σήμερα η πρωτεΐνη ταυ είναι μάλλον πιο διάσημη από το λεπτόνιο ταυ, αν και για πολλά χρόνια ίσχυε το αντίθετο, λέει ο Kirschner. Για την ανακάλυψη του λεπτονίου ταυ ο Perl βραβεύθηκε το 1995 με το νόμπελ φυσικής.Τα λεπτόνια είναι στοιχειώδη σωματίδια που δεν αλληλεπιδρούν διαμέσου της ισχυρής δύναμης, την δύναμη που κρατάει ενωμένα τα πρωτόνια και τα νετρόνια στον πυρήνα των ατόμων. Τα ηλεκτρόνια που φέρουν αρνητικό ηλεκτρικό φορτίο είναι τα πιο γνωστά λεπτόνια. Μέχρι την δεκαετία του 1970, οι φυσικοί είχαν ανακαλύψει τα φορτισμένα λεπτόνια που ονομάζονται μιόνια και τα ηλεκτρικά ουδέτερα λεπτόνια, τα νετρίνα του ηλεκτρονίου και μιονίου.
Στον επιταχυντή του Στάνφορντ εμφανίστηκαν οι πρώτες ενδείξεις του λεπτονίου τ. Διέθετε μάζα 3500 φορές μεγαλύτερη από το ηλεκτρόνιο και ο χρόνος ζωής του ήταν 10 με 13 δευτερόλεπτα. Αρχικά το νέο σωματίδιο ονομάστηκε U, από το  “Uunknown”, αλλά μόλις συνειδητοποίησαν ότι ήταν ένα βαρύ λεπτόνιο ο Gary J. Feldman είπε στον Perl πως πρέπει να του δώσει ένα πραγματικό όνομα.Όλοι θέλανε ένα γράμμα του ελληνικού αλφάβητου, κατ’ αναλογία με το λεπτόνιο μ, αλλά τα περισσότερα γράμματα χρησιμοποιούνταν ήδη. Τελικά κατέληξαν στα γράμματα λάμδα και ταυ. Επέλεξαν το ταυ διότι είναι το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης «τρίτο», και το σωματίδιο τ ήταν το τρίτο φορτισμένο λεπτόνιο που ανακαλύφθηκε.Όμως η ιστορία του λεπτονίου τ δεν τελειώνει εδώ. Σύμφωνα με το Καθιερωμένο Πρότυπο των Στοιχειωδών Σωματιδίων προβλέπεται σε κάθε φορτισμένο λεπτόνιο να αντιστοιχεί ένα αντίστοιχο ουδέτερο. Το λεπτόνιο τ δεν θα υπήρχε αν δεν υπήρχε επίσης και το νετρίνο τ. Το 2000, μια ερευνητική ομάδα στο Fermilab με επικεφαλής τον Byron Lundberg χρησιμοποίησε τον επιταχυντή Tevatron για να εντοπίσει το σωματίδιο αυτό. Βομβαρδίζοντας με πρωτόνια στόχο βολφραμίου παρήγαγαν 100 τρισεκατομμύρια νετρίνα, εκ των οποίων μόνο τα εννέα ήταν νετρίνα ταυ (το πείραμα που ανακάλυψε το νετρίνιο ταυ ονομαζόταν DONUT, δηλαδή Direct Observation of Nu Tau)

Άλλες χρήσεις

Το γράμμα ταυ έχει πολλές χρήσεις στη φυσική. Για παράδειγμα στην θεωρία της σχετικότητας με τ συμβολίζεται ο ιδιόχρονος, ενώ στην αστρονομία χρησιμοποιείται στις ονομασίες άστρων όμως, π.χ. άστρο ταυ κήτους.Το ίδιο γράμμα χρησιμοποιείται μερικές φορές για τον συμβολισμό της χρυσής τομής, του αριθμού  (όμως η χρυσή τομή συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα φ, προς τιμήν του γλύπτη Φειδία, ο οποίος χρησιμοποιούσε την χρυσή τομή σε πολλά έργα του).Η μεγαλύτερη ένσταση για τον συμβολισμό της αριθμητικής σταθεράς 2π=6,28 με το γράμμα τ, ήταν το γεγονός ότι στην μηχανική η ροπή δύναμης (που σχετίζεται με την περιστροφή) συμβολίζεται επίσης με τ. Και τούτο διότι η ροπή σχετίζεται με την κυκλική κίνηση και στις εξισώσεις που εμφανίζεται το 2π, αν αυτό αντικατασταθεί με τ, θα δημιουργούσε πιθανή σύγχυση. Όμως οι θιασώτες της  σταθεράς τ=2π=6,28 θεωρούν πως οι φυσικοί και οι μαθηματικοί έχουν συνηθίσει να αντιμετωπίζουν πολλές περιπτώσεις όπου το ίδιο γράμμα σημαίνει δυο διαφορετικά πράγματα σε μια εξίσωση [π.χ. έργο W και η δύναμη βάρους w].

Το τ ως 2π

Το σύμβολο τ, ως ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου προς την ακτίνα, δεν έχει υιοθετηθεί μέχρι στιγμής από την Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία και οι περισσότεροι φυσικοί και μαθηματικοί εξακολουθούν να χρησιμοποιούν το 2π. Όμως το «κίνημα» που προωθεί τον συμβολισμό τ=2π έχει ήδη κάποιες επιτυχίες. Για παράδειγμα, το ΜΙΤ χρησιμοποιεί την ορολογία Tau Time (6:28), και αναφορές στο τ=2π βρίσκουμε σε γνωστά διαδικτυακά κόμικ, όπως το XKCD.Ακόμη και το όνομα μιας μπύρας σχετίζεται με τον αριθμό ταυ, η “Key Lime Tau”, ενώ αν πληκτρολογήσουμε στο Google tau/2 θα πάρουμε την απάντηση 3.14159265359…

https://physicsgg.me/2018/06/29/η-παγκοσμιότητα-του-ελληνικού-γράμμα/

[Δροσος Γεωργιος]

Mετάλλια Fields 2022.

Η μπροστινή όψη του μεταλλίου Fields (θεωρείται ως το βραβείο Νομπέλ των μαθηματικών) εικονίζει τον κορυφαίο των μαθηματικών, το Αρχιμήδη, το όνομα του οποίου επιγράφεται στα Ελληνικά στη δεξιά πλευρά… Η επιγραφή στα Λατινικά σημαίνει: «Ξεπέρασε τον εαυτό σου και συλλάμβανε τον κόσμο»

Τέσσερις κορυφαίοι επιστήμονες, μεταξύ των οποίων και η Ουκρανή μαθηματικός, από την Ομοσπονδιακή Πολυτεχνική Σχολή της Λωζάνης, Maryna Viazovska –είναι οι νικητές του κορυφαίου μαθηματικού βραβείου Fields Medal. Η Viazovska είναι η δεύτερη γυναίκα στην 86χρονη ιστορία του θεσμού, μετά την Ιρανή Maryam Mirzakhani (βραβεύτηκε το 2014 και πέθανε το 2017), που τιμάται με την ύψιστη μαθηματική διάκριση.Με το βραβείο, η ανακοίνωση των νικητών έγινε σήμερα σε τελετή της Διεθνούς Μαθηματικής Ένωσης στο Ελσίνκι της Φινλανδίας, τιμώνται επίσης ο Γάλλος μαθηματικός, από το Πανεπιστήμιο της Γενεύης, Hugo Duminil–Copin, o Αμερικανοκορεάτης μαθηματικός, από το Πανεπιστήμιο του Princeton, June Huh, και ο Βρετανός μαθηματικός, από το Πανεπιστήμιο της Οξφόρδης, James Maynard.Το Fields Medal είναι ένα κορυφαίο βραβείο που απονέμει η Διεθνής Μαθηματική Ένωση σε δύο έως τέσσερις μαθηματικούς που έχουν διαπρέψει στον τομέα τους και δεν έχουν υπερβεί το 40ό έτος της ηλικίας τους. Το βραβείο απονέμεται, από το 1950, κάθε τέσσερα χρόνια κατά τη διάρκεια του Παγκόσμιου Συνεδρίου Μαθηματικών.Η Ουκρανή μαθηματικός Maryna Viazovska διακρίθηκε για την «απόδειξη που δείχνει ότι το πλέγμα Ε8 εξασφαλίζει την πυκνότερη διάταξη πανομοιότυπων σφαιρών σε 8 διαστάσεις». Πρόκειται για ένα παλαιό μαθηματικό πρόβλημα που σχετίζεται με την αναζήτηση του αρτιότερου τρόπου στοίβαξης πανομοιότυπων σφαιρών σε μια δεδομένη διάσταση.

Στις συνεντεύξεις που παραχωρεί, με την ευκαιρία της βράβευσής της, η Ουκρανή μαθηματικός σχολιάζει ακόμη τη μεγάλη δοκιμασία που βιώνει η χώρα της με την εισβολή του Πούτιν στην Ουκρανία, λέγοντας χαρακτηριστικά: «Ίσως είναι αλήθεια ότι ο Homo Sapiens κατέστρεψε όλους τους άλλους τύπους ανθρώπων που υπήρχαν στο παρελθόν. Και ίσως ο πόλεμος να είναι πράγματι κάτι εγγενές στο ανθρώπινο είδος. Ίσως οι ανθρωπολόγοι να μπορούν δικαιολογήσουν αυτήν την άποψη με επιστημονικούς όρους. Αλλά από ανθρώπινη άποψη, το να σκοτώνεις και να καταστρέφεις ένα ολόκληρο έθνος δεν είναι κάτι φυσιολογικό».Ο Γάλλος Hugo Duminil-Copin δραστηριοποιείται στον μαθηματικό κλάδο της στατιστικής φυσικής. Τιμήθηκε για την επίλυση πολλών “ανοικτών προβλημάτων στην πιθανολογική θεωρία των μεταβάσεων φάσης”, η οποία άνοιξε “αρκετές νέες ερευνητικές κατευθύνσεις σε αυτόν τον τομέα”, σημειώνει η κριτική επιτροπή κριτική του βραβείου.

«Η ενασχόληση με τα μαθηματικά έχει στιγμές που η έρευνα δεν προχωρά και στιγμές που τρέχει», λέει ο Γάλλος μαθηματικός. Και συμπληρώνει: «Ο καθένας έχει τον δικό του τρόπο να κινείται μεταξύ ηρεμίας και καταιγίδας. Η δική μου προσέγγιση είναι να είμαι πλήρως διαθέσιμος για την έρευνα όταν ξεσπά καταιγίδα. Για να το πετύχω αυτό, χρησιμοποιώ τις ήρεμες περιόδους στις οποίες κάνω τις περισσότερες από τις εργασίες ρουτίνας που συνοδεύουν τη ζωή ενός μαθηματικού: εκδοτικές εργασίες, συμμετοχή σε επιτροπές, συγγραφή εργασιών, προετοιμασία μαθημάτων κ.λπ. Σε αυτόν τον ελεύθερο χρόνο, προσπαθώ επίσης να διευρύνω το πεδίο της έρευνάς μου εξοικειώνοντας τον εαυτό μου με νέα προβλήματα και τεχνικές».Ο Αμερικανοκορεάτης μαθηματικός June Huh διακρίθηκε για τον τρόπο που αξιοποίησε «τις δυνατότητες της θεωρίας Hodge, της τροπικής γεωμετρίας και της θεωρίας των ιδιομορφιών για να μεταμορφώσει το πεδίο της γεωμετρικής συνδυαστικής».

«Δεν αισθάνομαι ότι επιλέγω τα μαθηματικά προβλήματα που θα ασχοληθώ», λέει ο June Huh. Και εξηγεί: «Για μένα, η εύρεση προβλημάτων και η επίλυση προβλημάτων είναι τυχαίες διαδικασίες, και δεν υπάρχουν πολλά που μπορώ ή πρέπει να κάνω, αν και το να διαβάζω ωραία βιβλία ή να συναναστρέφομαι ενδιαφέροντες ανθρώπους φαίνεται καλή ιδέα. Εκτός από αυτό, το μόνο πράγμα που προσπαθώ να κάνω είναι να βρίσκομαι σε ετοιμότητα, να είμαι διαθέσιμος, καθώς τα μαθηματικά προβλήματα χρειάζονται μεγάλους ανοιχτούς χώρους για να ξεδιπλωθούν».Ο Βρετανός μαθηματικός James Maynard έλαβε το Fields Medal «για τις εργασίες του στην αναλυτική θεωρία αριθμών, οι οποίες οδήγησαν σε σημαντική προόδο στην κατανόηση της δομής των πρώτων αριθμών και της διοφαντικής προσέγγισης».

Ο ίδιος λυπάται, όπως λέει στη συνέντευξη που παραχώρησε με την ευκαιρία της βράβευσής του, «επειδή τα μαθηματικά, ένα τόσο όμορφο πεδίο με θαυμάσιες ιδέες, είναι πολύ δύσκολο να γίνει κατανοητό από κάποιον χωρίς ειδική εκπαίδευση. Θα ήθελα να υπήρχε ένας τρόπος να μοιραστούμε λίγη από αυτήν την ομορφιά με το ευρύ κοινό και να δείξουμε ότι τα μαθηματικά αφορούν ιδέες και όχι υπολογισμούς. Αυτό είναι σίγουρα κάτι που θέλω να μεταδώσω στις διαλέξεις μου. Θαυμάζω τους ειδικευμένους εκλαϊκευτές των μαθηματικών που προσπαθούν πολύ σκληρά να γεφυρώσουν αυτό το χάσμα που υπάρχει ανάμεσα στα μαθηματικά και στο ευρύ κοινό».

https://physicsgg.me/2022/07/06/mετάλλια-fields-2022/

 

Το επεξεργάστηκε Ιούλιος 6, 2022 ο Δροσος Γεωργιος

[Δροσος Γεωργιος]

Μαθηματικά, Φυσική. Πυθαγόρας εναντίον Αϊνστάιν.

Αυτό το αστείο, που κυκλοφορεί ευρέως στον Ιστό, μπορεί να ενδιαφέρει τόσο τους μαθηματικούς όσο και τους φυσικούς.

[Δροσος Γεωργιος]

Φόρος τιμής στον Stefan Banach.

Αφιερωμένο στον Πολωνό Stefan Banach (Στέφαν Μπάναχ), έναν από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ου αιώνα, είναι το σημερινό doodle της Google.

Αφιερωμένο στον Πολωνό Stefan Banach (Στέφαν Μπάναχ), έναν από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ου αιώνα, είναι το σημερινό doodle της Google.Σαν σήμερα το 1922, ο επιδραστικός μαθηματικός έγινε επίσημα καθηγητής.Ο Στέφαν Μπάναχ ήταν ο ιδρυτής της σύγχρονης συναρτησιακής ανάλυσης και αρχικό μέλος της Σχολής Μαθηματικών της Λβιβ. Το κύριο έργο του ήταν το βιβλίο «Théorie des Operations Linéaires» (Θεωρία Γραμμικών Πράξεων) του 1932. Επρόκειτο για την πρώτη μονογραφία για τη γενική θεωρία της συναρτησιακής ανάλυσης.Γεννήθηκε στην Κρακοβία τον Μάρτιο του 1892 και φοίτησε στο 4ο γυμνάσιο, όπου εργάστηκε σε προβλήματα μαθηματικών με τον φίλο του, Βίτολντ Βίλκος. Μετά την αποφοίτησή του το 1910, μετακόμισε στο Λβουφ (σημερινό Λβιβ). Ωστόσο, κατά τη διάρκεια του Α΄ Παγκοσμίου Πολέμου, επέστρεψε στην Κρακοβία, όπου έγινε φίλος με τον Χιούγκο Στάινχαους.Αφού ο Μπάναχ έλυσε μερικά μαθηματικά προβλήματα που ο Στάινχαους θεωρούσε δύσκολα, δημοσίευσαν την πρώτη τους κοινή εργασία. Το 1919, με αρκετούς άλλους μαθηματικούς, ο Μπάναχ σχημάτισε μια μαθηματική εταιρεία. Το 1920 έλαβε θέση βοηθού στο Πολυτεχνείο του Λβουφ και σύντομα έγινε καθηγητής στο Πολυτεχνείο και μέλος της Πολωνικής Ακαδημίας Μάθησης. Οργάνωσε το Σχολή Μαθηματικών της Λβιβ, ενώ γύρω στο 1929 άρχισε να γράφει τα Théorie des Operations Lineaires.Μετά το ξέσπασμα του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου, ο Μπάναχ έγινε κοσμήτορας του Τμήματος Μαθηματικών και Φυσικής του Πανεπιστημίου του Λβουφ. Το 1941, όταν οι Γερμανοί κατέλαβαν το Λβουφ, όλα τα ιδρύματα τριτοβάθμιας εκπαίδευσης έκλεισαν στους Πολωνούς. Ως αποτέλεσμα, ο Μπάναχ αναγκάστηκε να κερδίζει τα προς το ζην ως τροφοδότης αίματος ψειρών στο Ινστιτούτο Έρευνας για τον Τύφο και τους Ιούς «Ρούντολφ Βάιγκλ».Ενώ η δουλειά εμπεριείχε τον κίνδυνο μόλυνσης από τύφο, τον προστάτευε από το να σταλεί σε καταναγκαστική εργασία στη Γερμανία και από άλλες μορφές καταστολής. Όταν οι Σοβιετικοί ανακατέλαβαν το Λβουφ το 1944, ο Μπάναχ επανίδρυσε το Πανεπιστήμιο. Ωστόσο, επειδή οι Σοβιετικοί απομάκρυναν Πολωνούς από τα πρώην πολωνικά εδάφη που είχαν προσαρτηθεί από τη Σοβιετική Ένωση, ο Μπάναχ ετοιμάστηκε να επιστρέψει στην Κρακοβία. Πριν προλάβει να το κάνει, πέθανε τον Αύγουστο του 1945, έχοντας διαγνωστεί επτά μήνες νωρίτερα με καρκίνο του πνεύμονα.Μερικές από τις αξιοσημείωτες μαθηματικές έννοιες που φέρουν το όνομα του Μπάναχ περιλαμβάνουν τις: χώρος Μπάναχ, άλγεβρα Μπάναχ, μέτρο Μπάναχ, παράδοξο Μπάναχ-Τάρσκι, θεώρημα Χαν-Μπάναχ, θεώρημα Μπάναχ-Στάινχαους, παιχνίδι Μπάναχ-Μάζουρ, θεώρημα Μπάναχ-Αλάογλου και θεώρημα σταθερού σημείου Μπάναχ.

[Δροσος Γεωργιος]

Μαθηματικοί κύκλοι.

η ρωσική εμπειρία

«Μαθηματικοί κύκλοι» , Dmitri Fomin, Sergey Genkin, Ilia Itenberg – Μετάφραση: Γιάννης Παπαδόγγονας – εδόσεις εφαλτήριο

Το βιβλίο αυτό δεν είναι διδακτικό εγχειρίδιο. Δεν είναι ένα βοήθημα για μαθηματικούς διαγωνισμούς. Δεν είναι ένα σύνολο από μαθήματα για διδασκαλία στην τάξη. Δεν παρουσιάζει μια σειρά από εργασίες για μαθητές, ούτε προσφέρει μια ανάπτυξη κάποιων μαθηματικών πεδίων για αυτο­μελέτη.
Τι είδους βιβλίο είναι αυτό;
Είναι ένα βιβλίο που έχει γραφτεί στο πλαίσιο μιας σημαντικής άτυπης εκπαιδευτικής παράδοσης της πρώην Σοβιετικής Ένωσης, η οποία ενθάρρυνε τη δημιουργία ομάδων μαθητών, δασκάλων και μαθηματικών, που ονομάζονταν «μαθηματικοί κύκλοι». Η βασική αντίληψη που το διέπει είναι ότι η μελέτη των μαθηματικών μπορεί να γεννήσει τον ίδιο ενθουσιασμό που προκαλεί και ένα ομαδικό άθλημα – χωρίς να είναι απαραίτητα ανταγωνιστική. Το βιβλίο απευθύνεται σε μαθητές και δασκάλους που αγαπούν τα μαθηματικά και θέλουν να μελετήσουν τους διάφορους κλάδους τους πέρα από τα στενά όρια του σχολικού προγράμματος. Είναι επίσης ένα βιβλίο ψυχαγωγικών μαθηματικών και, ταυτόχρονα, ένα έργο που περιέχει έναν τεράστιο πλούτο θεωρητικής ύλης και προβλημάτων σε βασικούς τομείς «εξωσχολικών μαθηματικών». Το βιβλίο βασίζεται στη μοναδική εμπειρία που έχουν αποκομίσει πολλές γενιές Ρώσων εκπαιδευτών και πανεπιστημιακών δασκάλων.

Υπάρχουν πολλά που μπορούν να ανακαλύψουν, να μάθουν και να απολαύσουν σε αυτό το έργο τόσο οι μαθητές όσο και οι δάσκαλοι… Οι ερασιτέχνες λάτρεις των μαθηματικών επίσης θα γοητευτούν από αυτό… Σε όλα τα κεφάλαια, η παρουσίαση και το ύφος γραφής είναι εξαίσια ελκυστικά και «ανάλαφρα», ακόμα κι όταν εξετάζονται πιο δύσκολα αντικείμενα. Σίγουρα έχει θέση σε κάθε σχολική και προσωπική βιβλιοθήκη. – Mathematical Reviews

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Πρόλογος στην ελληνική έκδοση vii
Πρόλογος xi
Πρόλογος στη ρωσική έκδοση xiii
Κεφάλαιο 0: Κεφάλαιο 0 1
Κεφάλαιο 1: Ισοτιμία 5
Κεφάλαιο 2: Συνδυαστική-1 11
Κεφάλαιο 3: Διαιρετότητα και υπόλοιπα 22
Κεφάλαιο 4: Η Αρχή του Περιστερώνα 37
Κεφάλαιο 5: Γραφήματα-1 46
Κεφάλαιο 6: Η τριγωνική ανισότητα 59
Κεφάλαιο 7: Παίγνια 66
Κεφάλαιο 8: Προβλήματα για τον πρώτο χρόνο 77
Κεφάλαιο 9: Επαγωγή 92
Κεφάλαιο 10: Διαιρετότητα-2: Ισοϋπολοιπικές σχέσεις
και διοφαντικές εξισώσεις 117
Κεφάλαιο 11: Συνδυαστική-2 133
Κεφάλαιο 12: Αναλλοίωτες ποσότητες 153
Κεφάλαιο 13: Γραφήματα-2 167
Κεφάλαιο 14: Γεωμετρία 188
Κεφάλαιο 15: Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 205
Κεφάλαιο 16: Ανισότητες 216
Κεφάλαιο 17: Προβλήματα για τον δεύτερο χρόνο 231
Παράρτημα Α: Μαθηματικοί διαγωνισμοί 252
Παράρτημα Β: Απαντήσεις, υποδείξεις, λύσεις 265
Παράρτημα Γ: Παραπομπές 343

Ακολουθεί ένα απόσπασμα από τον πρόλογο στην ελληνική έκδοση του Γιώργου Λ. Ευαγγελόπουλου:

Το παρόν κείμενο έρχεται να προσθέσει κάποιες σκέψεις στα δύο πολύ ενδιαφέροντα κείμενα που ακολουθούν, δηλαδή στον «Πρόλογο στη ρωσική έκδοση» και τον «Πρόλογο» (στην αμερικανική έκδοση) που έγραψε ο Mark Saul, τα οποία συνιστούμε θερμά στον αναγνώστη να διαβάσει με προσοχή.
Διότι μόνον έτσι θα καταλάβει πώς προέκυψε ο θεσμός των «Μαθηματικών Κύκλων» μέσα από μια συγκεκριμένη εκπαιδευτική λογική για τη μαθηματική παιδεία στην τότε ΕΣΣΔ. Αλλά και γιατί η American Mathematical Society (AMS), επιλέγοντας να εκδώσει αυτό το βιβλίο στα αγγλικά, το μακρινό 1996, ξεκίνησε ένα πείραμα που αφορούσε τη «μετεμφύτευση» στην αμερικανική μαθηματική κουλτούρα ενός θεσμού που προερχόταν από μια άλλη μαθηματική παράδοση. Ενός θεσμού του οποίου η λειτουργία στην Αμερική «υποστηρίχθηκε», στην αρχή, κυρίως από Ρώσους και Ανατολικοευρωπαίους (π.χ. Ούγγρους και Ρουμάνους) μαθηματικούς οι οποίοι μετά το τέλος του Ψυχρού Πολέμου μετακινήθηκαν στις ΗΠΑ και δίδαξαν σε αμερικανικά πανεπιστήμια, αλλά και από κάποιους Αμερικανούς εκπαιδευτικούς που είχαν πρωτοποριακές αντιλήψεις για το είδος και τους σκοπούς της μαθηματικής παιδείας στην πατρίδα τους –η οποία είναι σήμερα ηγέτιδα δύναμη στην επιστημονική και τεχνολογική ανάπτυξη παγκοσμίως–, οπότε είδαν το όλο θέμα με εξαιρετικό ενδιαφέρον. Περίπου 30 χρόνια μετά την έκδοση του ανά χείρας βιβλίου στα αγγλικά, στις ΗΠΑ ο θεσμός των «Μαθηματικών Κύκλων» έχει γνωρίσει εντυπωσιακή ανάπτυξη. Αν ρίξει κανείς, π.χ., μια ματιά στα βιβλία της σειράς «MSRI Mathematical Circles» της AMS, θα διαπιστώσει ότι αρκετά από αυτά δεν αποτελούν μεταφράσεις από τα ρωσικά αλλά έχουν γραφεί απευθείας στα αγγλικά και περιλαμβάνουν εξαιρετικής ποιότητας μαθηματική ύλη που αποτέλεσε αντικείμενο διδασκαλίας σε «Μαθηματικούς Κύκλους» σε διάφορα μέρη των ΗΠΑ. Ανάμεσα σε αυτά είναι και το δίτομο έργο των Zvezdelina Stankova και Tom Rike (επιμ.), A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience, Volume I (AMS, 2008) και A Decade of the Berkeley Math Circle: The American Experience, Volume IΙ (AMS, 2014), γεγονός που δεν εκπλήσσει αφού ο θεσμός των «Μαθηματικών Κύκλων» γνωρίζει ιδιαίτερη άνθηση στην Καλιφόρνια. Από πλευράς μου θα ήθελα να προσθέσω, στη συνέχεια, δύο παραμέτρους που θεωρώ κρίσιμες για την κατανόηση του τρόπου λειτουργίας αυτού του θεσμού, οπότε και για την αξία του παρόντος βιβλίου.
Πρώτον, στους «Μαθηματικούς Κύκλους» στην τότε ΕΣΣΔ δεν είχαν πρόσβαση μόνον οι ταλαντούχοι στα Μαθηματικά μαθητές αλλά, αντιθέτως, είχε πρόσβαση όποιος το επιθυμούσε. Οι ταλαντούχοι «προέκυπταν» στην πορεία, μέσα από τη μαθηματική εκπαίδευση που έπαιρναν όσες και όσοι ήθελαν, χάρη στις διαλέξεις, τους μαθηματικούς διαγωνισμούς και τις συζητήσεις που διοργανώνονταν στο πλαίσιο των «Μαθηματικών Κύκλων». Όπως τονίζει ο André Toom στη βιβλιοκρισία που έγραψε για το ανά χείρας βιβλίο και δημοσιεύθηκε στο ακαδημαϊκό περιοδικό The American Mathematical Monthly (1997, τεύχος 104:5, σελ. 468­471), στους ρωσικούς «Μαθηματικούς Κύκλους» δεν γινόταν κάποιο είδος επιλογής –και αυτή είναι η ειδοποιός διαφορά με τους «Μαθηματικούς Κύκλους» που διοργανώνονται σήμερα στις ΗΠΑ–, καθώς μπορούσε να συμμετάσχει σε αυτούς ο καθένας. Και συνεχίζει ως εξής: «Έτσι έκανα ο ίδιος σαράντα χρόνια πριν. Απλώς, πήρα το τρόλεϋ, πήγα στην παλαιά πανεπιστημιούπολη στο κέντρο της Μόσχας και άρχισα να παρακολουθώ ‘ανεπίσημες’ τάξεις στις οποίες δίδασκαν φοιτητές του Πανεπιστημίου της Μόσχας. Δεν υπέβαλα ‘επίσημη’ αίτηση, δεν πλήρωσα δίδακτρα, δεν βαθμολογήθηκα, όμως εκεί έγινα επαγγελματίας μαθηματικός» (ό.π., σελ. 468­469).
Η πρώτη αυτή παράμετρος, την οποία μόλις επεσήμανα, έχει τη σημασία της για την ύλη του παρόντος βιβλίου. Το βιβλίο αποτελεί μια εξαιρετική συλλογή προβλημάτων αλλά ταυτόχρονα περιέχει και σημαντικές «οδηγίες» για όσους θα τα διδάξουν. Κανονικά, οι «Μαθηματικοί Κύκλοι» που έχετε μπροστά σας απευθύνονται σε μαθητές ηλικίας 12­14 ετών, όμως, όπως παρατηρεί και ο André Toom (σελ. 470), το βιβλίο μπορεί να διαβαστεί από αναγνώστες οποιασδήποτε ηλικίας. Σκοπός του είναι να πάρει τον αναγνώστη από το χέρι και, μέσα από μια σειρά προβλημάτων, που ξεκινούν από απλούς γρίφους και φτάνουν μέχρι πολύ δύσκολα μαθηματικά προβλήματα, να τους μάθει πριν απ’ όλα να σκέπτονται «αυτονόμως» και δημιουργικά, δηλαδή να χρησιμοποιούν τις θεωρητικές τους γνώσεις για να προσπαθήσουν να λύσουν προβλήματα «μη καθιερωμένου τύπου» ή αλλιώς «μη τετριμμένα προβλήματα» (συνήθως προβλήματα «Μαθηματικών Ολυμπιάδων» και λοιπών μαθηματικών διαγωνισμών, γραπτών ή προφορικών).
Είναι χαρακτηριστική η διαφωνία του Toom ακόμα και με τους συγγραφείς του βιβλίου, οι οποίοι θεωρούν ότι το αρχικό κεφάλαιο, δηλαδή το «Κεφάλαιο 0», που περιλαμβάνει προβλήματα τα οποία απευθύνονται σε μαθητές 10-­11 ετών, δεν έχει κατ’ ουσία μαθηματικό περιεχόμενο. Χαρακτηρίζει αφελή αυτόν τον ισχυρισμό, καθώς πιστεύει ότι η επίλυση των προβλημάτων αυτού του κεφαλαίου «προϋποθέτει την πιο θεμελιώδη ικανότητα, την ικανότητα για αφαιρετική σκέψη» (ό.π., σελ. 471).
Μάλιστα, δίνει ως παράδειγμα το πρώτο πρόβλημα του «Κεφαλαίου 0», το οποίο έχει ως εξής: «Ένας αριθμός βακτηρίων τοποθετούνται σε έναν δοκιμαστικό σωλήνα. Ένα δευτερόλεπτο αργότερα το κάθε βακτήριο διαιρείται σε δύο βακτήρια, στο επόμενο δευτερόλεπτο καθένα από τα βακτήρια που έχουν προκύψει διαιρείται και πάλι σε δύο, κ.λπ. Μετά από ένα λεπτό, ο σωλήνας έχει γεμίσει. Πότε ήταν ακριβώς μισογεμάτος;».
Η απάντηση έχει ως εξής: Αν σκεφτούμε αντίστροφα, καταλαβαίνουμε ότι, αν ο σωλήνας είναι γεμάτος μετά από 60 δευτερόλεπτα, θα πρέπει να είναι μισογεμάτος ένα δευτερόλεπτο νωρίτερα. Δηλαδή, μετά από 59 δευτερόλεπτα.
Εντούτοις, όπως σημειώνει ο Toom στη βιβλιοκρισία του, ορισμένοι μαθητές απαντούν ότι μισογεμάτος θα είναι ο σωλήνας μετά από μισό λεπτό, εκλαμβάνοντας, συνειδητά η ασύνειδα, την αύξηση ως γραμμική. Κι όμως, λέει ο Toom, αυτό το πρόβλημα δείχνει πόσο πολύ διαφέρει η εκθετική αύξηση από τη γραμμική.
Αναφερόμενος, τώρα, στη δομή που έχουν οι ενότητες των προβλημάτων και στον τρόπο που πρέπει ο διδάσκων να χρησιμοποιεί τα προβλήματα για να μεγιστοποιεί την αποτελεσματικότητα της διδασκαλίας του, ο Toom εφιστά την προσοχή μας σε μια πολύ σημαντική, κατά την άποψή του, έννοια, την οποία αποκαλεί «μεταφορά της εξάσκησης» (transfer of training): «Ας φανταστούμε το σύνολο όλων των πιθανών προβλημάτων ενός κλάδου των Μαθηματικών ως έναν μετρικό χώρο. Κάθε χωριστό πρόβλημα είναι ένα σημείο αυτού του χώρου και όμοια προβλήματα βρίσκονται κοντά το ένα στο άλλο. Συζητώντας ένα πρόβλημα με τους μαθητές μας, καλύπτουμε μια σφαίρα στης οποίας το κέντρο βρίσκεται το πρόβλημα, ενώ η ακτίνα της ισούται με την ικανότητα των μαθητών μας να μεταφέρουν την εξάσκησή τους από αυτό το πρόβλημα σε όμοια προβλήματα. Ο σκοπός μας είναι να καλύψουμε τον μέγιστο δυνατό χώρο με αυτές τις σφαίρες. Είναι η μεταφορά της εξάσκησης δυνατή; Για τους συγγραφείς των Κύκλων, για μένα, και για όλους όσοι έχουμε διδάξει με αυτό τον τρόπο, η απάντηση είναι προφανής: “Ναι, φυσικά, η μεταφορά της εξάσκησης είναι δυνατή και συνδέεται στενά με μια άλλη πολύτιμη ανθρώπινη ικανότητα, τη γενίκευση”» (ό.π., σελ. 469). Σε αυτή την παράγραφο συμπυκνώνεται
παραστατικά και μάλλον πλήρως η όλη λογική του τρόπου διδασκαλίας των προβλημάτων στο πλαίσιο των «Μαθηματικών Κύκλων». (…)

Διαβάστε εδώ ένα ενδεικτικό κεφάλαιο του βιβλίου.

https://efaltirio.gr/wp-content/uploads/2022/12/MathCirclesChap7.pdf

https://physicsgg.me/2022/12/14/μαθηματικοί-κύκλοι/

[Δροσος Γεωργιος]

Το Θεώρημα των Χριστουγέννων του Fermat.

Το Θεώρημα των Χριστουγέννων του Fermat μας λέει πότε ένας περιττός πρώτος αριθμός p μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα δύο τετραγώνων ακέραιων αριθμών x και y :

Αν p είναι πρώτος αριθμός, τότε: 

Όπως και με το διάσημο τελευταίο του θεώρημα, ο Pierre de Fermat απλά το διατύπωσε, χωρίς να το αποδείξει. Αργότερα, πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί (π.χ., Euler, Gauss, Dedekind) έδωσαν αποδείξεις του θεωρήματος.Αποκαλείται «Θεώρημα των Χριστουγέννων» γιατί διατυπώθηκε για πρώτη φορά σε μια επιστολή του Fermat προς τον Marin Mersenne την ημέρα των Χριστουγέννων, στις 25 Δεκεμβρίου 1640. Τα μαθηματικά και η φυσική δεν κάνουν διακοπές.

Καλά Χριστούγεννα.

https://physicsgg.me/2022/12/24/το-θεώρημα-των-χριστουγέννων-του-fermat/

[Δροσος Γεωργιος]

Θανάσης Φωκάς: Το ασυνείδητο κατανοεί πιο πολλά από το συνειδητό.

Ο νοητός περίπατος στα «Μονοπάτια Κατανόησης» του εγκεφάλου με «ξεναγό» έναν από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς διεθνώς, που είναι επίσης αεροναυπηγός και γιατρός, είναι σίγουρα μια σπάνια εμπειρία

Σε λίγες ημέρες κυκλοφορεί στα ελληνικά ο πρώτος τόμος της τριλογίας με τίτλο «Μονοπάτια Κατανόησης» (εκδόσεις Broken Hill) με την οποία ο Θανάσης Φωκάς απαντά σε θεμελιώδη ερωτήματα για τις δομές και τις διαδρομές της δημιουργικότητας, τη φύση της γνώσης και τη σχέση του εγκεφάλου με την τέχνη και την επιστήμη.

συνέντευξη του Θανάση Φωκά στον Παύλο Παπαδόπουλο – kathimerini.gr

Ο νοητός περίπατος στα «Μονοπάτια Κατανόησης» του εγκεφάλου με «ξεναγό»  έναν από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς διεθνώς που είναι επίσης αεροναυπηγός και γιατρός, είναι σίγουρα μια σπάνια εμπειρία. Ο Θανάσης Φωκάς, γεννημένος το 1952 στην Κεφαλονιά, είναι ο πρώτος κάτοχος της Έδρας Μη Γραμμικών Μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ και τώρα διευθυντής του προγράμματος «Ελλάδα 2001, Μαθηματική κληρονομία» (εντός του πλαισίου του προγράμματος  Γιάννα Αγγελοπούλου, Επιστήμη, Τεχνολογία και Καινοτομία). Είναι, επίσης καθηγητής του Πανεπιστημίου της Νότιας Καλιφόρνιας και μέλος της Ακαδημίας Αθηνών. Σε  λίγες ημέρες κυκλοφορεί στα ελληνικά ο πρώτος τόμος της τριλογίας με τίτλο «Μονοπάτια Κατανόησης» (εκδόσεις Broken Hill) με την οποία ο Φωκάς απαντά σε θεμελιώδη ερωτήματα για τις δομές και τις διαδρομές της δημιουργικότητας, τη φύση της γνώσης και τη σχέση του εγκεφάλου με την τέχνη και την επιστήμη. Η συζήτηση όμως ξεκίνησε από το επιστημονικό του έργο, που έχει αποσπάσει διεθνή αναγνώριση. Ιδιαίτερα, θα μείνει για πάντα στην ιστορία των επιστημών ως εκείνος που εφηύρε την «Μέθοδο Φωκά».  

https://en.wikipedia.org/wiki/Fokas_method

– Τι είναι η «Μέθοδος Φωκά»;

– Ο κορυφαίος μαθηματικός του 18^ου αιώνα Φουριέ, παρήγαγε την εξίσωση που διέπει την μετάδοση της θερμότητας και συγχρόνως εισήγαγε μια καινοτόμο μέθοδο για την λύση της. Αυτή η μέθοδος στηρίζεται στην περίφημη σειρά Φουριέ. Δεν υπάρχει μαθηματικός που να μην γνωρίζει αυτόν τον φορμαλισμό. Για 200 χρόνια η μέθοδος αυτή αποτελούσε τον αναμφισβήτητο τρόπο με τον οποίο λύναμε εξισώσεις. Η μέθοδός μου, την οποία εκατοντάδες ερευνητές ονομάζουν «Μέθοδο Φωκά», όχι μόνο λύνει πολύ μεγάλο αριθμό προβλημάτων που είναι αδύνατον να λυθούν με την σειρά του Φουριέ, αλλά ακόμη και για προβλήματα που λύνονται με τον παραδοσιακό τρόπο, προσφέρει έναν εντελώς καινούργιο φορμαλισμό με αδιαφιλονίκητα αναλυτικά και υπολογιστικά πλεονεκτήματα.

– Είστε ο πρώτος κάτοχος της έδρας των μη γραμμικών μαθηματικών στο Κέμπριτζ. Μάλιστα η έδρα δημιουργήθηκε για εσάς. Τα μη γραμμικά μαθηματικά περιγράφουν τα μη γραμμικά φαινόμενα, δηλαδή τον ίδιο τον κόσμο. Σωστά;

– Όντως, τα περισσότερα φαινόμενα είναι μη γραμμικά. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις της Θεωρίας της Σχετικότητας είναι μη γραμμικές. Μία προσπάθεια λύσεως των μη γραμμικών εξισώσεων είναι η προσέγγισή τους με γραμμικές εξισώσεις. Συνήθως όμως αυτές οι προσεγγίσεις δεν εκφράζουν πλήρως την πραγματικότητα η οποία εμπεριέχεται στις μη γραμμικές εξισώσεις. Ευτυχώς, τα τελευταία 50 χρόνια έχουν αναπτυχθεί εντυπωσιακά τα μη γραμμικά μαθηματικά, τα οποία συμπεριλαμβάνουν και την «θεωρία του χάους».

– Σε 500 χρόνια θα μπορούμε να παρακολουθούμε «Δελτία Μέλλοντος» όπως σήμερα παρακολουθούμε «Δελτία Καιρού»;

– Ακούστε. Το συνειδητό ήταν ένα μεγάλο δημιούργημα της εξέλιξης. Συγχρόνως όμως έχει περιορισμούς. Ιδιαίτερα το συνειδητό ζητά απολυτότητα και  πληρότητα. Η πραγματικότητα είναι πολύ πιο πολύπλοκη από αυτή που εκφράζει το συνειδητό. Η ερώτησή σας, σε συνέπεια με τα βασικά χαρακτηριστικά του συνειδητού, απολυτοποιεί την ισχύ των μαθηματικών και δεν μπορεί να απαντηθεί. Παρεμπιπτόντως, το ασυνείδητο κατανοεί την πραγματικότητα πληρέστερα από το συνειδητό και σε αντίθεση με το συνειδητό αποδέχεται  την σπουδαιότητα των μεταφορών κα της αμφισημίας. Για παράδειγμα, το ασυνείδητο είναι καθοριστικής σημασίας για την εκτίμηση της  τέχνης και για αυτό στις τέχνες δεχόμαστε την σπουδαιότητα της αμφισημίας.

– Πώς θα εξηγήσουμε, πώς θα απλοποιήσουμε αυτή τη σύνθετη πραγματικότητα;

– Δεν μπορούμε να την απλοποιήσουμε. Μπορούμε όμως να αναπτύξουμε καλύτερους τρόπους να πλησιάσουμε την κατανόησή της. Προς αυτή την κατεύθυνση, είναι ανάγκη να διαλευκάνουμε και κατόπιν να αποδεχθούμε τους μηχανισμούς που χρησιμοποιεί ο εγκέφαλος. Ιδιαίτερα να βυθιστούμε στο ασυνείδητο. Εκεί υπάρχει πολύ περισσότερη πληροφορία η οποία χάνεται καθώς ταξιδεύει προς το συνειδητό. Αυτό αναλύεται διεξοδικά στο βιβλίο μου.

– Στο βιβλίο σας εκφράζετε διαφωνίες με τον Πλάτωνα. Πού ακριβώς διαφωνείτε;

– Ο κύριος εκφραστής του συνειδητού στη φιλοσοφία ήταν ο Πλάτωνας. Για τον Πλάτωνα σημαντικό ήταν ό,τι ήταν πλήρες, ό,τι ήταν ακριβές, ό,τι εκφράζεται με κανόνες. Όμως, η πραγματικότητα είναι πολύ πιο σύνθετη. Ο Πλάτωνας αγνόησε τον καθοριστικό ρόλο του ασυνείδητου. Από την άλλη μεριά, κατά την γνώμη μου, η «θεωρία των Ιδεών» αποτελεί ένα εξαιρετικό παράδειγμα της προδιάθεσης του εγκεφάλου να δημιουργεί μεταναπαραστάσεις, δηλαδή να περνάει από μια νοητική εικόνα στην κατασκευή της .

– Τι εννοείτε;

– «Για παράδειγμα, πώς αντιλαμβάνομαι το πρόσωπό σας; Ο εγκέφαλός μου, χρησιμοποιώντας ασυνείδητους μηχανισμούς λύνει ένα δύσκολο αντίστροφο πρόβλημα: Από την γνώση της κατανομής των φωτονίων που εισέρχονται στον  αμφιβληστροειδή  δημιουργεί την νοητική εικόνα του προσώπου σας. Ονομάζω την ενεργοποίηση των νευρωνικών κυκλωμάτων υπεύθυνων για τους ανωτέρω ασυνείδητους μηχανισμούς την νοητική αναπαράσταση που προηγείται της νοητικής εικόνας. Προφανώς και τα ζώα κατασκευάζουν νοητικές εικόνες. Θεωρώ ότι η διαφορά μας από τα άλλα ζώα είναι η ικανότητα μας να υλοποιούμε τόσο τις νοητικές μας αναπαραστάσεις όσο και τις νοητικές μας εικόνες (όπως γίνεται στις τέχνες), ή να τους δίδουμε συμβολισμούς (όπως γίνεται στην γλώσσα και τα μαθηματικά). Ο Πλάτωνας  κατασκεύασε έναν, κατά αυτόν υπαρκτό κόσμο, όπου τοποθέτησε αυτές τις μεταναπαραστάσεις. Αυτός είναι ο περίφημος κόσμος των ιδεών.

– Μπορεί μέσω των μεταναπαραστάσεων ο εγκέφαλος να κατανοήσει τον εγκέφαλο;

– Ναι. Κατά την γνώμη μου, δύο ήταν τα θαύματα της εξέλιξης στο νοητικό επίπεδο. Το πρώτο  ήταν ότι το νευρικό σύστημα ενημέρωσε τον εαυτό του για αυτά που ήδη γνώριζε. Αυτή η «ενημερότητα», είναι η πεμπτουσία της συνείδησης. Το δεύτερο θαύμα είναι αυτό που διαφοροποιεί εμάς από τους εξελικτικούς μας προγόνους: η προδιάθεσή μας να δημιουργούμε μεταναπαραστάσεις.

– Μπορεί αυτή η καινοτόμος έννοια των μεταναπαραστάσεων που εισάγεται στο βιβλίο σας να μας βοηθήσει να κατανοήσουμε καλύτερα την γέννηση της πρωτοτυπίας στις τέχνες;

– Θεωρώ ότι όσο πιο προηγμένη είναι μια μορφή τέχνης, τόσο λιγότερο επηρεάζεται το πέρασμα από τις ασυνείδητες νοητικές αναπαραστάσεις στην υλοποίησή τους από συνειδητές διαδικασίες.

– Αυτό είναι το «κλειδί» της μεγάλης τέχνης; 

– Πιστεύω ναι. Είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον ότι ο  Άρνολντ Σένμπεργκ  και ο Πάμπλο Πικάσο εξέφρασαν με σχεδόν τα ίδια λόγια την σπουδαιότητα του ασυνείδητου. Ο Σένμπεργκ είπε ότι «ένας συνθέτης θέλει να μάθει τους νόμους που διέπουν τη μουσική την οποία ο ίδιος συνέλαβε σαν όνειρο». Ο Πικάσο είχε πει ότι αποφάσισε να φωτογραφίζει τα έργα του σε διάφορα στάδια της δημιουργίας τους έτσι ώστε «να κατορθώσει να συλλάβει πώς το όνειρο γίνεται πραγματικότητα».

– Γιατί κατανοούμε τον κόσμο παρά το γεγονός ότι είναι πιο σύνθετος απ’ όσο νομίζουμε;

– Γιατί αφενός μεν είμαστε τυχεροί, αφετέρου δε ο εγκέφαλος μας έχει την ικανότητα να κατασκευάζει μεταναπαραστάσεις. Είμαστε τυχεροί γιατί οι βασικοί νόμοι της φύσης που διέπουν τον μακρόκοσμο είναι εξαιρετικά απλοί. Αυτό επέτρεψε στον Νεύτωνα να τους κατανοήσει και να τους εκφράσει με πολύ απλές εξισώσεις. Αν ίσχυε στον μακρόκοσμο η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας δεν θα μπορούσαμε ποτέ να καταλάβουμε τίποτα. Πώς όμως περάσαμε από τη Νευτώνεια Φυσική στη Φυσική του Αϊνστάϊν; Αυτό το άλμα οφείλεται στην ικανότητα του εγκεφάλου να δημιουργεί μεταναπαραστάσεις και στην συνεχή αλληλεπίδραση αυτών των κατασκευών με ασυνείδητες διαδικασίες. Αυτό οδηγεί σε αφαίρεση, σε γενίκευση, και στην παραγωγή όλο και πιο πολύπλοκων δομών. Αυτές οι δομές είναι απαραίτητες για την κατανόηση της αφανούς πραγματικότητας.

Μότσαρτ ή Σένμπεργκ;

– Πώς κατανοούμε τον αφανή κόσμο;

– Πάρτε για παράδειγμα τη Ριμάνεια Γεωμετρία, η οποία αποτελεί μια γενίκευση της Ευκλείδειας γεωμετρίας. Αυτή η γεωμετρία, την οποία διατύπωσε ο Γερμανός Μαθηματικός του 19^ου αιώνα Μπέρναρντ Ρίμαν, είναι πολύ δύσκολο να κατανοηθεί διαισθητικά και κατά συνέπεια αποτελεί ένα παράδειγμα της γενεσιουργής ικανότητας το εγκεφάλου να δημιουργεί νέες μαθηματικές δομές δια μέσου της διαδικασίας της γενίκευσης. Είναι εξαιρετικά ενδιαφέρον ότι η Ριμάνεια γεωμετρία αποτελεί την βάση της Γενικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Δηλαδή εκφράζει την αφανή πραγματικότητα που υπάρχει στο σύμπαν με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια από την Ευκλείδεια γεωμετρία.

– Εσείς έχετε καλή σχέση με το υποσυνείδητό σας;

– Υπήρχαν περιπτώσεις που παρόλο που όλα στην οικογένειά μας ήταν καλά, ξύπναγα σε  κακή διάθεση. Τότε, έλεγα στη γυναίκα μου: «Δεν πάει καλά ο Ρίμαν», εννοώντας ότι δεν πήγαινε καλά μια προσπάθεια 13 ετών να αποδείξω μια υπόθεση που  συνδέεται άμεσα με την περίφημη υπόθεση Ρίμαν (το πιο σημαντικό ανοιχτό πρόβλημα στην ιστορία των μαθηματικών). Και πράγματι, λίγες ώρες αργότερα ανακάλυπτα κάποιο λάθος. Το ασυνείδητό μου ήδη το γνώριζε. Και επειδή το ασυνείδητο έχει γρηγορότερη πρόσβαση στα συναισθήματα, ξύπναγα με κακή διάθεση.

– Είχατε ένα προαίσθημα…

– Ναι, αυτή η κακή διάθεση είναι ένα προαίσθημα. Ο εγκέφαλος ήδη ξέρει, αλλά δεν έχει ακόμη πληροφορήσει το συνειδητό. Έχει συμβεί και το αντίθετο. Να ξυπνήσω με πολύ καλή διάθεση. Προαίσθημα ότι η έρευνα πάει καλά. Ένα κύριο κομμάτι του βιβλίου αποτελεί τη περιγραφή  νευρωνικών  μηχανισμών δια μέσω των οποίων το ασυνείδητο φτάνει στο συνειδητό. Κατά την γνώμη μου το κλειδί της δημιουργικότητας βρίσκεται  στην πρόσβαση στο ασυνείδητο.

– Εχετε πει ότι σας αρέσει η μουσική του Σένμπεργκ. Γιατί Σένμπεργκ και όχι Μότσαρτ;

– Βεβαίως και απολαμβάνω τον Μότσαρτ. Ας μην ξεχνάμε ότι ο Σένμπεργκ είπε πώς οτιδήποτε έγραψε ο Μότσαρτ είναι τέλειο. Ωστόσο, θαυμάζω τον Σένπμπεργ επειδή έφτασε στην ατονική μουσική, όχι γιατί δεν μπορούσε να γράψει τονική, αλλά επειδή κατανόησε τα όρια την τονικής μουσικής. Όντως, η Εξαϋλωμένη Νύχτα και to Gurre–Lieder είναι τουλάχιστον επιπέδου Μάλερ και Βάγκνερ, αντίστοιχα. Παρεμπιπτόντως, θεωρώ τον Σένμπεργκ το πιο εφευρετικό καλλιτέχνη από την εποχή της Αναγέννησης: όχι μόνο πέτυχε αυτό το άλμα στην μουσική, αλλά και ήταν και ένας εξαιρετικός εξπρεσιονιστής ζωγράφος που έφτασε στην αφηρημένη ζωγραφική ένα χρόνο πριν από τον Καντίνσκι (γεγονός που παραμένει άγνωστο στο ευρύ κοινό)».  

– Τι εννοείτε με τα «όρια της τονικής μουσικής»;

– Όπως είναι γνωστόν, η εξέλιξη στην Φυσική και σε άλλες επιστήμες είναι αποτέλεσμα αποτυχίας. Νέα δεδομένα οδηγούν στο συμπέρασμα ότι μια συγκεκριμένη θεωρία είναι ελλιπής και αυτό τελικά οδηγεί στην αντικατάσταση αυτής της θεωρίας από μια νέα θεωρία που είναι συνεπής με τα καινούργια δεδομένα. Για παράδειγμα, έτσι γεννήθηκε η Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας, που αποτελεί γενίκευση του νόμου του Νεύτωνα στην περίπτωση που το υπό εξέταση αντικείμενο κινείται με μεγάλη ταχύτητα. Κατά την γνώμη μου, η πρόοδος στις τέχνες είναι αποτέλεσμα επιτυχίας. Για παράδειγμα, η συμφωνική μουσική έφθασε την τελειότητα με την Ενάτη του Μπετόβεν. Παρά τις ηρωικές προσπάθειες του Μπράμς και του Μπρούκνερ έγινε προφανές ότι ήταν πλέον ανάγκη να υπάρξει μια νέα μορφή έκφρασης, το οποίο επιτεύχθηκε από τον Μάλερ. Ο ίδιος ο μεγάλος αυτός συνθέτης, κατανοώντας ένα καινούργιο αδιέξοδο, έφθασε πολύ κοντά στην ατονική μουσική. Αυτό που δεν πρόλαβε να πετύχει ο Μάλερ, λόγω του πρόωρου θανάτου του, το πέτυχε ο μεγάλος θαυμαστής του, ο Σένμπεργκ.

– Μα η μουσική του Σένμπεργκ δίνει μια αίσθηση δυσαρμονίας.

– Ναι, αλλά όπως αναφέρει ο κορυφαίος αυτός συνθέτης, αποδεχόμενος πλήρως την σπουδαιότητα ασυνειδήτων μηχανισμών όπως αυτή εκφράστηκε από τους Σοπενχάουερ και Νίτσε, η δυσαρμονία της ατονικής μουσικής δεν είναι τίποτε άλλο παρά προχωρημένη μορφή αρμονίας.

[Δροσος Γεωργιος]

Ξεφλουδίζοντας πατάτες ή λειαίνοντας φακούς.

Ο Σπινόζα και ο νεαρός Βιτγκενστάιν συνομιλούν για την εμμένεια και τη λογική της

«Μπορώ τώρα να εργάζομαι καλύτερα ενόσω ξεφλουδίζω πατάτες… Είναι για μένα ό,τι ήταν για τον Σπινόζα το να λειαίνει φακούς». Ludwig Wittgenstein, Geheime Tagebücher

«Η κεντρική ιδέα βάσει της οποίας ο Αριστείδης Μπαλτάς αναπτύσσει την παράλληλη πραγμάτευση των έργων του Σπινόζα και του Βιτγκενστάιν είναι ό,τι ο ίδιος αποκαλεί “ριζική εμμένεια”: η λογική είναι μέσα στη γλώσσα για τον Βιτγκενστάιν ακριβώς όπως ο Θεός είναι μέσα στον κόσμο για τον Σπινόζα. […] Ο Σπινόζα αποσκοπεί να αποδομήσει την ιδέα ότι μπορούμε να δικαιώσουμε τον Θεό μόνον αν τον αναβιβάσουμε υπεράνω και έξωθεν του κόσμου. Ο Βιτγκενστάιν αποσκοπεί να αποδομήσει την ιδέα ότι μπορούμε να δικαιώσουμε τη λογική μόνον αν την αναβιβάσουμε σε κάτι πρότερο των συνθηκών που καθιστούν τις εκάστοτε εμπειρικές προτάσεις αληθείς ή ψευδείς. Το βιβλίο επιχειρηματολογεί ότι αυτή η αποδόμηση παραδοσιακών παραδοχών οδηγεί και στις δύο περιπτώσεις σε μια θέση σύμφωνα με την οποία η φιλοσοφία, όπως νοείται παραδοσιακά, είναι αδύνατη και ταυτόχρονα στην απόρριψη κάθε σκοπιάς έξω από τον κόσμο, τη σκέψη και τη γλώσσα. Πρόκειται για βιβλίο ιδιαίτερα σημαντικό και για υποχρεωτικό ανάγνωσμα για όποιον ή όποια ενδιαφέρεται για τον Σπινόζα ή τον Βιτγκενστάιν.» JIM CONANT, University of Chicago

 Στο τελευταίο βιβλίο του Αριστείδη Μπαλτά που κυκλοφόρησε πρόσφατα από τις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης με τίτλο: «Ξεφλουδίζοντας πατάτες ή λειαίνοντας φακούς», διερευνώνται οι συνέπειες που προκαλεί στη νεότερη σκέψη και δράση, η απόρριψη κάθε δυνατότητας «μαγικής» γνώσης, δηλαδή υπερβατικής ή υπερφυσικής πρόσβασης σε ένα επέκεινα, καταφεύγοντας στις ιδιαίτερα ανατρεπτικές και αλληλοσυμπληρούμενες πτυχές της σκέψης του Σπινόζα και του Βιτγκενστάιν.Πρόκειται για ένα πολύ σύνθετο διανοητικά και μακροσκελές συγγραφικά εγχείρημα, που επιχειρεί να διαφωτίσει ό,τι ο συγγραφέας αποκαλεί «η προοπτική της ριζικής εμμένειας». Πρόκειται για τη φιλοσοφική στρατηγική του αποκλεισμού κάθε δυνατότητας επίκλησης του «επέκεινα» από την ανθρώπινη σκέψη και δράση, που, όπως μας αποκαλύπτει αυτό το βιβλίο, τη διατύπωσε πρώτος ρητά με οντολογικούς όρους ο Σπινόζα, ενώ, σχεδόν τρεις αιώνες μετά, την αναδιατύπωσε εξίσου ρητά ο νεαρός Βιτγκενστάιν με όρους γνωσιολογίας της Λογικής. Σύμφωνα με τον συγγραφέα, ως στάση ανυποχώρητης αντι-υπερβατικότητας, «Η προοπτική της ριζικής εμμένειας, δεν αποτελεί απλώς άλλο όνομα του παραδοσιακού υλισμού», αλλά συνιστά διαχρονικά κάτι σαν σκληρό πυρήνα του «υλισμού» στη μάχη του με τον «ιδεαλισμό». Πάντως, όπως διευκρινίζει εξαρχής στον «εκ των υστέρων πρόλογο» που έγραψε για την ελληνική έκδοση του βιβλίου: «Η ριζοσπαστικότητα της προοπτικής της ριζικής εμμένειας έγκειται ακριβώς στην ολοσχερή εξάλειψη και των δύο πόλων του διλήμματος» (δηλαδή είτε υλισμός είτε ιδεαλισμός).Για να αναδείξει κάποιες από τις πιο ενδιαφέρουσες συνέπειες των καινοτόμων αναλύσεων αλλά και των κομψών επιχειρημάτων αυτού του βιβλίου, ο Σπύρος Μανουσέλης, ζήτησε από τον Αριστείδη Μπαλτά να μας παρουσιάσει την ευρύτερη διανοητική σημασία, αλλά και την πρακτική-ιστορική αναγκαιότητα, που ο ίδιος αποδίδει στην αποδοχή της «ριζικής εμμένειας».

● Στο τελευταίο σας συγγραφικό πόνημα, προχωράτε σε μία συστηματική διερεύνηση της έννοιας «ριζική εμμένεια» στο φιλοσοφικό έργο του Σπινόζα και του Βιτγκενστάιν. Πώς σχετίζεται η οντολογική εμμένεια του Σπινόζα με τη λογική εμμένεια του Βιτγκενστάιν και γιατί κρίνατε αναγκαίο να προσθέσετε το επίθετο «ριζική»;

Ο Σπινόζα έζησε στα μέσα του 17ου αιώνα. Του κρίσιμου αιώνα της Επιστημονικής Επανάστασης και των αρχών του Διαφωτισμού. Δηλαδή του διπλού κινήματος ιδεών που ενοποίησε κατ’ ουσίαν την Ευρώπη σε αυτό το επίπεδο και συγκρότησε ό,τι συνηθίζουμε να αποκαλούμε «ευρωπαϊκό κεκτημένο». Θυμίζω: Γαλιλαίος, Ντεκάρτ, Νεύτων, Λοκ, Χομπς… Στο πλαίσιο αυτού του αιώνα, ο Σπινόζα διατυπώνει το αδιανόητο: ο Θεός δεν μπορεί να έχει ανθρωπομορφικά χαρακτηριστικά. Το να του αποδίδουμε τέτοια συνιστά κατ’ ουσίαν ύβρη. Ο Θεός ταυτίζεται με την ανεξάντλητη παραγωγική δύναμη της Φύσης, ο Θεός είναι η ίδια η Φύση: Deus sive Natura! Η «Ηθική», το μείζον έργο του Σπινόζα, ξεδιπλώνει με τα ισχυρότερα μέτρα λογικής αυστηρότητας που διέθετε η εποχή τη (δύσκολη) απόδειξη ότι τίποτε απολύτως, κανένα ον, δεν μπορεί να υφίσταται εκτός κόσμου ή Φύσης. Δηλαδή εκτός Θεού. Ο οποίος, βέβαια, αφού ταυτίζεται με τον κόσμο, τη Φύση, είναι και σώμα και νους. Ο Θεός είναι και σώμα; Οχι απλώς πνεύμα; Ιδού μια πλευρά του αδιανόητου. Η εμμένεια (από το εν+μένω, είμαι αείποτε εντός) είναι ριζική γιατί δεν υφίσταται, δεν είναι δυνατόν καν να υφίσταται ή καν να νοείται το «εκτός» Φύσης. Δεν διατίθεται θέση Δημιουργού της Φύσης έξωθεν της Φύσης.Από την άλλη μεριά, ο Βιτγκενστάιν γράφει το Tracatus Logico-Philosophicus κατ’ ουσίαν κατά τη διάρκεια του Α’ Παγκοσμίου Πολέμου. Στα χαρακώματα. Σε μια εποχή όπου το φιλοσοφικό ενδιαφέρον έχει εστιαστεί στη γλώσσα και στις νέες εξελίξεις στη Λογική που έχει εδραιώσει κυρίως το έργο του Φρέγκε και του Ράσελ.Ολα έμοιαζαν τότε να υπόκεινται στη Λογική, η Λογική να κυβερνά όλα όσα σκεφτόμαστε ή μπορούμε να σκεφτούμε, όλα όσα διατυπώνουμε ή μπορούμε να διατυπώσουμε. Αλλά η Λογική αναδεικνύεται έτσι σε κάτι εξωτερικό της σκέψης και της γλώσσας, σε κάτι που υπερβαίνει σκέψη και γλώσσα. Ο Βιτγκενστάιν αντιτίθεται ριζικά σε αυτήν την ανύψωση. Και με το έργο του καταδεικνύει αυστηρά, με τα μέσα που είναι σε θέση να διαθέσει η ίδια η Λογική, ότι τίποτε δεν μπορεί να υπερβαίνει σκέψη και γλώσσα. Η Λογική διέπει εκ των έσω, δεν κυβερνά εκ των έξω!Ετσι το εγχείρημά του αποδεικνύεται ομόλογο εκείνου του Σπινόζα. Και οι δύο βάλλουν ενάντια στην αυθόρμητη τάση μας να ανυψώνουμε κάτι σε θέση ανώτερη από τη δική μας, σε κάτι που μας υπερβαίνει, ώστε να επαναπαυθούμε σε αυτό, να του επιτρέψουμε να μας υποβάλει, αν όχι να μας επιβάλει, το πώς να σκεφτόμαστε και το πώς να δρούμε.

● Ωστόσο, η συνειδητή αποδοχή της ριζικής εμμένειας, τότε όσο και σήμερα, ενέχει «μοιραία» κάποιες σοβαρές γνωσιολογικές και πρακτικές συνέπειες για την ανθρώπινη περιπέτεια. Δεν θέτει, κάθε εποχή, σαφή ιστορικά και, ενδεχομένως, ανυπέρβλητα νοητικά όρια στη γνωστική ιδιοποίηση της πραγματικότητας ή/ και του εαυτού μας;

Βεβαίως έχει σοβαρές συνέπειες για την ανθρώπινη περιπέτεια, όπως λέτε. Θα έλεγα πρώτα απ’ όλα συνέπειες πρακτικές. Γιατί από τη στιγμή που δεν μπορεί να υφίσταται έξωθεν δεσπόζουσα αυθεντία, την οποία θα μπορούσαμε να εκλάβουμε ως πηγή επιταγών για το πώς διάγουμε (ή το πώς οφείλουμε να διάγουμε) τον βίο μας, τότε όσα πράττουμε (ή αποφεύγουμε να πράξουμε) είναι αποκλειστικά δική μας ευθύνη. Δική μας ευθύνη μάλιστα χωρίς όρια. Γιατί κάθε τι που πράττω (ή αποφεύγω να πράξω) έχει επιπτώσεις σε άλλους και σε άλλα. Επιπτώσεις που σφραγίζονται και από τη δική μου ευθύνη. Με αυτήν την ευθύνη αναμετριόμαστε θέλοντας και μη κάθε στιγμή.Με ρωτάτε για το αν υπάρχουν «όρια» στη γνωσιακή ιδιοποίηση της πραγματικότητας και του εαυτού μας. Θα έλεγα και ναι και όχι. Οχι, γιατί τα όρια γίνονται ορατά ως όρια μόνον εκ των υστέρων. Μπορεί πριν να σκοντάψουμε κάπου, να έχουμε απορίες, να εμφανίζονται αδιέξοδα. Αλλά η ανθρώπινη περιπέτεια είναι όντως περιπέτεια επειδή αγωνίζεται διαρκώς να ξεπεράσει τα εμπόδια, να λύσει τις απορίες, να διαφύγει από τα αδιέξοδα. Και όπως έχουμε διαπιστώσει, συχνά το κατορθώνει. Ισως με τρόπους παντελώς απρόβλεπτους ή αστάθμητους. Ισως μέσω ενός συμβάντος που κανένας δεν μπορούσε καν να περιμένει, που καταλαμβάνει όλους εξαπίνης.Είναι τότε ακριβώς που το όριο όπου είχαμε προηγουμένως σκοντάψει φαίνεται, αλλά αναδρομικά, ως όριο. Ως όριο που ίσως έθετε η εποχή πριν ενσκήψει το συμβάν. Με το συμβάν να είναι τότε δείκτης αλλαγής εποχής. Στο πεδίο των επιστημών τέτοια συμβάντα υπήρξαν, για παράδειγμα, η ανακάλυψη του Οξυγόνου, η Θεωρία της Σχετικότητας, η ανακάλυψη της δομής του DNA, η ανακάλυψη του ασυνειδήτου…Περί του «ανυπέρβλητου νοητικού ορίου», όπως λέτε, θα δίσταζα. Η ίδια η αναγνώριση ορίου είναι συχνά το πρώτο βήμα για την υπέρβασή του. Θέλω να πω πως συχνά διαπιστώνουμε, εκ των υστέρων πάντα, ότι κάτι μας φαινόταν πριν ως ανυπέρβλητο όριο γιατί το ζήτημα που το αφορά δεν είχε διατυπωθεί σωστά από την αρχή. Το ότι είχαμε παραστρατίσει γιατί δεν κατορθώναμε να δούμε κάτι που ωστόσο βρισκόταν μπροστά στα μάτια μας. Κάτι του οποίου η προφάνεια μας τύφλωνε και έτσι δεν μας άφηνε να δούμε ότι ήταν αυτό που εμφάνιζε κάτι ως «ανυπέρβλητο όριο».

 ● Προφανώς, η ανάγκη σας να γράψετε ένα εκτενές και επαρκώς τεκμηριωμένο δοκίμιο για την αποφασιστική σημασία και την επικαιρότητα της ριζικά εμμενούς προσέγγισης -τόσο στη μεταφυσική όσο και στην επιστημονική σκέψη- δεν έγινε μόνο από «ακαδημαϊκό» ενδιαφέρον, αλλά μάλλον για την ευρύτερη σημασία του θέματος. Ποια θεωρείτε ότι είναι, σήμερα, τα σοβαρότερα ιστορικοπολιτικά προβλήματα και οι σκοταδισμοί που προκύπτουν απ’ τη συστηματική απαξίωση και την υποβάθμισή της;

Ναι, όντως θεωρώ ότι η ανάδειξη της συνειδητά εμμενούς προσέγγισης στα ανθρώπινα πράγματα έχει σήμερα ευρύτερη -θα έλεγα καθοριστική- σημασία. Θα συμφωνήσετε πως μας κατακλύζουν φονταμενταλισμοί όλων των ειδών: θρησκευτικοί φονταμενταλισμοί που οδηγούν σε «ιερούς πολέμους», η λεγόμενη «ενιαία σκέψη», ο νεοφιλελευθερισμός ως μονόδρομος, η σιωπή που επιβάλλεται με μύρια μέσα σε όσους δεν αποδέχονται άνευ όρων και ορίων τη γραμμή της ηγεσίας των ΗΠΑ στον πόλεμο της Ουκρανίας… Πρόκειται για άλλους τόσους «σκοταδισμούς», όπως λέτε.Οπου εδώ η συνειδητή και υπεύθυνη εφαρμογή της εμμενούς προσέγγισης συνίσταται στο να προσπαθήσουμε να δούμε τα πράγματα ως έχουν, χωρίς να υιοθετούμε άκριτα τα άνωθεν εκπεμπόμενα δόγματα που επιδιώκουν με κάθε μέσο να λειτουργήσουν υπερβατικά ως a priori, δηλαδή ως φύσει αναμφισβήτητες «πρώτες αρχές».Μαζί με την απεριόριστη ευθύνη που σας έλεγα, η «γραμμή της εμμένειας», αν επιτρέπεται η έκφραση, συνεπάγεται και μια μορφή ταπεινότητας: οι άνθρωποι είμαστε απλώς ένα μέρος του κόσμου, όχι οι αφέντες του. Δεν είμαστε αυτό που μας υποδεικνύει η Βίβλος με την προτροπή: «…ἄρχετε τῶν ἰχθύων τῆς θαλάσσης καὶ τῶν πετεινῶν τοῦ οὐρανοῦ καὶ πάντων τῶν κτηνῶν καὶ πάσης τῆς γῆς». Γιατί, εκτός των άλλων, είναι πλέον φανερό ότι αυτή η προτροπή έχει οδηγήσει, μέσω της επικράτησης του καπιταλισμού, στην κυριαρχία του ανθρώπινου είδους κυριολεκτικά επί «πάσης της γης». Δηλαδή στη νέα «Ανθρωπόκαινο», λεγόμενη, γεωλογική εποχή που καταστρέφει με επιταχυνόμενα βήματα σχεδόν κάθε μορφή ζωής στον πλανήτη. Στον πλανήτη που «μας έλαχε» να ζούμε…Η «γραμμή της εμμένειας» καλεί να δούμε εις βάθος όλα αυτά. Τόσο σε σχέση με την ιστορία που μας έφερε μέχρις εδώ όσο και σε σχέση με το παρόν που διάγουμε. Να τα δούμε συστηματικά, με νηφαλιότητα, με το είδος βραδύτητας που απαιτεί μια τέτοια εις βάθος προσέγγιση. Αντιστεκόμενοι στην άνευ όρων επιτάχυνση των ρυθμών ζωής που μας επιβάλλεται, ενάντια στον κυρίαρχο σήμερα «παροντισμό» που ενδιαφέρεται εμμονικά μόνον για το σήμερα σαν να μην υπάρχει ούτε χτες ούτε αύριο.

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Πρόλογος στην ελληνική έκδοση: εκ των υστέρων
Πρόλογος στην αγγλόφωνη έκδοση: περιπέτεια συναντήσεων 
Εισαγωγή: συντεταγμένες μιας συνομιλίας

Κεφάλαιο 1. Αμοιβαίες συστάσεις
Ομοτροπίες και συνταυτίσεις
Αυστηρότητα
Μέθοδος
Φιλοσοφική διαίσθηση
Συνεχίζοντας…

Κεφάλαιο 2. Σκοπός και πρόθεση, πέρας και τέλος
Δραστηριότητα και σκοπός
Πρόθεση και ευθύνη
… και ο Κόσμος
Τέλος
Αιωνιότητα
Το σώμα του Σπινόζα
Ζωή
Τίποτα
Σιωπή
Συνεχίζοντας…

Κεφάλαιο 3. Γραμματική
Δεν είναι σκοπός μου…
Ιστορία και ιστορία της φιλοσοφίας
Ιστορία της φιλοσοφίας και φιλοσοφία
Φιλοσοφία και ιστορία της επιστήμης
Ιστορία της επιστήμης, γλώσσα, φιλοσοφία και πάλι
Γραμματική και αλλαγή παραδείγματος
Από τη γραμματική στη λογική και πίσω
Δάσκαλος και μαθητής
Το σώμα του Βιτγκενστάιν
Ανοησία σημαίνουσα, ανοησία επιτελεστική
Συνεχίζοντας…

Κεφάλαιο 4. Στρατηγική
Η στρατηγική του Σπινόζα: πρώτος γύρος
Η θέση του Βιτγκενστάιν
Η στρατηγική στη σκέψη
Η στρατηγική μου
Η στρατηγική του Tractatus: άνοιγμα
Εργασία εκ των έσω
Η πρώτη κίνηση
Ταξινομώντας προτάσεις
Επιτελώντας τη ματαιότητα
Συνεχίζοντας…

Κεφάλαιο 5. Οργανώνοντας περιεχόμενο
Επιχειρησιακά σχέδια
Δομές
Αφετηρίες
Περιορισμοί αντιστοιχίας
Συνεχίζοντας…

Κεφάλαιο 6. Μεταφυσική
Υπόσταση Ι
Η γραμματική του Σπινόζα
Η στρατηγική του Σπινόζα: δεύτερος γύρος
Γνωσιολογία Ι
Γλώσσα
Υπόσταση ΙΙ
Σώματα
Μεταθανάτια ζωή
Υπόσταση ΙΙΙ
Συνεχίζοντας…

Κεφάλαιο 7. Αντιστοιχίζοντας περιεχόμενο
Τα Κατηγορήματα
Ψυχανάλυση
Ιστορικός Υλισμός
Επιστημονικές προοπτικές έναντι λογικών πολλαπλοτήτων
Ιδέες έναντι σκέψεων, τρόποι Έκτασης έναντι γεγονότων
Γνωσιολογία ΙΙ
Συνεχίζοντας…

Κεφάλαιο 8. Αντιστοιχίζοντας μορφή
Δυνατά γεγονότα έναντι δυνατών εκτατών τρόπων
Φυσικός χώρος έναντι λογικού χώρου
Τάξη και σύνδεση έναντι μορφής και δομής
Το μεταφυσικό υποκείμενο
Φράκταλ
Φυσική ιστορία
Φυσική
Φυσική αναγκαιότητα έναντι λογικής δυνατότητας
Η λογική εντός του Θεού, η λογική του Θεού

ΕΞΟΔΟΣ: προς την ιστορία και τις εκπλήξεις της

Βιβλιογραφία
Ευρετήριο

Ο Αριστείδης Μπαλτάς γεννήθηκε στην Κέρκυρα (1943). Είναι Ομότιμος Καθηγητής ΕΜΠ (Φιλοσοφία των Επιστημών), Διπλωματούχος Μηχανολόγος-Ηλεκτρολόγος ΕΜΠ και Διδάκτωρ Θεωρητικής Φυσικής του Πανεπιστημίου Παρισίων. Τιμήθηκε με το Κρατικό Βραβείο Δοκιμίου- Κριτικής για το βιβλίο του Αντικείμενα και όψεις εαυτού (Εστία 2002) και με το Βραβείο Eξαίρετης Πανεπιστημιακής Διδασκαλίας στη μνήμη Β. Ξανθόπουλου – Στ. Πνευματικού (2010). Διευθύνει την εκδοτική σειρά «Φιλοσοφία της Επιστήμης» στις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης. Έχει γράψει εννέα βιβλία, έχει συνεπιμεληθεί άλλα και έχει δημοσιεύσει πολλές εργασίες στα αγγλικά και τα ελληνικά. Έχει προσκληθεί να μιλήσει σε πολλά πανεπιστήμια της Ελλάδας και του εξωτερικού και έχει διδάξει στο Πανεπιστήμιο του Πίτσμπουργκ των ΗΠΑ και στο Πανεπιστήμιο του Βοσπόρου στην Κωνσταντινούπολη. Διετέλεσε υπουργός Πολιτισμού, Παιδείας και Θρησκευμάτων, υπουργός Πολιτισμού και Αθλητισμού και πρόεδρος του Ινστιτούτου «Νίκος Πουλαντζάς». Τελευταίο βιβλίο του είναι το Εντός παρενθέσεως; Κυβερνώσα Ριζοσπαστική Αριστερά (Πατάκης 2019). Υπό έκδοση στις Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης είναι το Φιλοσοφία και επιστήμες στον 20ό αιώνα, Β΄ τόμος: Κοινωνικές επιστήμες και επιστήμες του ανθρώπου, ο δρόμος της έννοιας, με συνεπιμελητή τον Θ. Δημητράκο, και στις Εκδόσεις Νήσος / Ίδρυμα Νίκος Πουλαντζάς το βιβλίο του Το φάντασμα του κομμουνισμού: Ένας αιώνας Αριστεράς (μνήμη Άγγελου Ελεφάντη).

https://physicsgg.me/2023/02/06/ξεφλουδίζοντας-πατάτες-ή-λειαίνοντα/

[Δροσος Γεωργιος]

Η 14η Μαρτίου και ο αριθμός π=3,14

Ο αριθμός π είναι ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρο του κύκλου

Το 1988 ο φυσικός Larry Shaw είχε την έμπνευση να συνδέσει τον αριθμό π=3,1415927…, με την ημερομηνία 3/14 ή 14 Μαρτίου. Εκείνη την εποχή εργαζόταν στο Exploratorium, ένα μουσείο για την επιστήμη και την τεχνολογία στο San Francisco, όπου καθιερώθηκε την 14η Μαρτίου να πραγματοποιούνται εορταστικές εκδηλώσεις αφιερωμένες στον αριθμό π. 
Συμπτωματικά, στις 14 Μαρτίου του 1879 γεννήθηκε στο Ulm της Γερμανίας ο Albert Einstein.

Το 2009 η 14η Μαρτίου καθιερώθηκε ως η ημέρα του αριθμού π στις ΗΠΑ και στη συνέχεια άρχισε να γιορτάζεται διεθνώς. Το έτος 2015 ανακηρύχθηκε από τον Shaw ως μια ξεχωριστή χρονιά, αφού η ημέρα του π αντιστοιχούσε στην ημερομηνία 14/3/15, και γι αυτό ονομάστηκε ως η «ημέρα π του αιώνα».
Σκοπός της ημέρας του αριθμού π σύμφωνα με τον Shaw ήταν να κάνει τα μαθηματικά πιο προσιτά και διασκεδαστικά σε όσους τα είχαν αντιπαθήσει στο σχολείο.Το π είναι υπερβατικός αριθμός, που σημαίνει ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο με ρητούς συντελεστές του οποίου να αποτελεί ρίζα το π.
Το π είναι επίσης κανονικός αριθμός, δηλαδή είναι ένας αριθμός στον οποίο κάθε ψηφίο από το 0 έως το 9, εμφανίζεται στην απειρία των δεκαδικών του ψηφίων, με πιθανότητα 1/10, ένα οποιοδήποτε ζεύγος ψηφίων π.χ. το 39, εμφανίζεται με πιθανότητα 1/100, κάθε τρία διαδοχικά ψηφία, όπως το 257 με πιθανότητα 1/1000, κ.ο.κ…Η πιο γνωστή προσέγγιση του αριθμού π είναι το κλάσμα 22/7=3.14 , με ακρίβεια έως το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο.
Λιγότερο πιο γνωστή προσέγγιση είναι το κλάσμα 355/113= 3.141592 – ακρίβεια μέχρι το έκτο δεκαδικό ψηφίο (ένας εύκολος τρόπος για να θυμάται κανείς τον λόγο 355/113 είναι η ευκολομνημόνευτη αλληλουχία των αριθμών 113355, την σπάμε στην μέση 113_355 και σχηματίζουμε το κλάσμα 355/113).

Στην ελληνική γλώσσα, σύμφωνα με τον Νικόλαο Χατζιδάκι, η απομνημόνευση των πρώτων ψηφίων του π μπορεί να γίνει ως εξής:
«Αεί (3) ο (1) Θεός (4) ο (1) μέγας (5) γεωμετρεί (9)
το (2) κύκλου (6) μήκος (5) ίνα (3) ορίση (5) διαμέτρω (8)
παρήγαγεν (9) αριθμόν (7) απέραντον (9)
και (3) όν (2) φεύ! (3) ουδέποτε (8) όλον (4) θνητοί (6) θα (2) εύρωσι (6)»

Στην αγγλική γλώσσα κυκλοφορούν αρκετές εκδοχές, όπως για παράδειγμα:
«How (3) I (1) wish (4) I (1) could (5) calculate (9) pi (2)» ή «See (3), I (1) have (4) a (1) rhyme (5) assisting (9) my (2) feeble (6) brain (5), its (3) tasks (6) oft-times (8) resisting (9)» ή «Can I have a small container of coffee?» ….

Μια κομψή εξίσωση που υπολογίζει τον αριθμό π ως απειρογινόμενο είναι η εξής:

Ο παραπάνω τύπος αποδείχθηκε από τον John Wallis το 1655 με μια μέθοδο διαδοχικών παρεμβολών. Ας θυμηθούμε, λόγω της ημέρας, μια πιο προσφατη απόδειξη της σχέσης Wallis διαμέσου της κβαντομηχανικής (πατήστε ΕΔΩ).https://physicsgg.me/2015/11/12/η-κβαντομηχανική-προσέγγιση-του-αριθ/

https://physicsgg.me/2023/03/14/η-14η-μαρτίου-και-ο-αριθμός-π314/

 

 

Κοινοποιήστε:

[Δροσος Γεωργιος]

Στον Luis Caffarelli το «Νόμπελ των Μαθηματικών»

Το θεωρούμενο ως «Nόμπελ» των Μαθηματικών Βραβείο Abel 2023 απονεμήθηκε στον 75χρονο Luis A. Caffarelli

Οι εξισώσεις είναι εργαλεία που χρησιμοποιούν οι επιστήμονες για να προβλέψουν τη συμπεριφορά του φυσικού κόσμου. Τα περισσότερα φυσικά φαινόμενα όπως, κύματα διαφόρων ειδών, ροή ρευστών, διάδοση θερμότητας, διάχυση κ.ά, μπορούν να εκφραστούν ως «Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις (ΜΔΕ)», ένας τύπος εξίσωσεων με περισσότερες από μία ανεξάρτητες μεταβλητές  και μία άγνωστη συνάρτηση αυτών των μεταβλητών . Κανένας άλλος, εν ζωή, μαθηματικός δεν έχει συμβάλλει περισσότερο στην κατανόηση των μερικών διαφορικών εξισώσεων όσο ο αργεντινο-αμερικανός Luis A. Caffarelli. Ανακάλυψε έξυπνες νέες τεχνικές, ανέδειξε λαμπρή γεωμετρική διορατικότητα και έχει δώσει πολλά θεμελιώδη αποτελέσματα.Γεννήθηκε στο Μπουένος Άιρες το 1948 και σπούδασε μαθηματικά στο πανεπιστήμιο του Μπουένος Άιρες. Υπό την επίβλεψη του Calixto Calderon, απέκτησε το διδακτορικό του το 1972 (τίτλος διατριβής: On conjugation and summability of Jacobi series) και το επόμενο έτος μετακόμισε στο πανεπιστήμιο της Μινεσότα ως μεταδιδακτορικός.Στη Μινεσότα, ο Caffarelli άλλαξε την κατεύθυνση της έρευνάς του αφού παρακολούθησε μια σειρά διαλέξεων για την αρμονική ανάλυση που δόθηκε από τον Hans Lewy, έναν συνταξιούχο πολωνικής καταγωγής αμερικανό μαθηματικό. Ο Caffarelli ζήτησε από τον Lewy να του προτείνει μερικά προβλήματα για να ασχοληθεί και ο Lewy πρότεινε το «πρόβλημα εμποδίου».

https://en.wikipedia.org/wiki/Obstacle_problem

Ο Caffarelli έπρεπε να μάθει το θέμα από μηδενική βάση. Γρήγορα άρχισε να σημειώνει εκπληκτική πρόοδο στο θέμα και στην ευρύτερη περιοχή των «προβλημάτων ελεύθερων συνόρων».

Σαπουνόφουσκες και παγάκια
Το πρόβλημα του εμποδίου με το οποίο ο Caffarelli ξεκίνησε την έρευνά του είναι ένα στατικό πρόβλημα – δεν αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Τέτοιο παράδειγμα είναι η επιφάνεια μιας σαπουνόφουσκας που ως γνωστόν τείνει να γίνει όσο το δυνατόν μικρότερη. Για να υπολογίσει κανείς το σχήμα τέτοιων ελάχιστων επιφανειών, χρειάζεται διαφορικές εξισώσεις. Ο Caffarelli ενδιαφέρθηκε για το πώς συμπεριφέρονται οι ελάχιστες επιφάνειες όταν συναντούν ένα εμπόδιο. Ένα από τα πιο σημαντικά ερωτήματα όταν εξετάζουμε αυτό το πρόβλημα είναι το μέγεθος της επιφάνειας της περιοχής όπου η σαπουνόφουσκα και το εμπόδιο βρίσκονται σε επαφή. Διαισθητικά θα έλεγε κανείς ότι η επιφάνεια επαφής της φυσαλίδας έχει ένα ομαλό όριο χωρίς γωνίες ή προεξοχές. Αλλά η μαθηματική του απόδειξη είναι πολύ δύσκολη γιατί πρέπει να υπολογιστέι το ελάχιστο εμβαδόν που προκύπτει για όλα τα είδη εμποδίων, κάτι που απαιτεί την επίλυση ενός εξαιρετικά μεγάλου αριθμού εξαιρετικά περίπλοκων διαφορικών εξισώσεων. Ο Caffarelli ξεκίνησε την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος στη δεκαετία του 1970 εξετάζοντας τις ιδιότητες των διαφορικών εξισώσεων και διαπίστωσε ότι το όριο της επιφάνειας επαφής δεν έχει σχισμές ή γωνίες – εφόσον το εμπόδιο είναι επίσης ομαλό.
Αυτή η εργασία του έδωσε τη δυνατότητα να επικεντρωθεί σε πιο περίπλοκα φαινόμενα, όπως η περιγραφή της τήξης ενός κύβου πάγου στο νερό. Ο φυσικός Josef Stefan είχε ήδη ανοίξει το δρόμο στα τέλη του 19ου αιώνα σ’ αυτό το πρόβλημα καταλήγοντας σε δύο τύπους. Ο πρώτος περιγράφει την ροή της θερμότητας από το νερό προς τον πάγο, με αποτέλεσμα ο πάγος να θερμαίνεται και να αρχίζει να λιώνει. Ο δεύτερος αναφέρεται στην εξαφανιζόμενη επιφάνεια επαφής μεταξύ του νερού και του πάγου. Και οι δύο εξισώσεις συνδέονται: ο ρυθμός της μεταφοράς θερμότητας εξαρτάται από την επιφάνεια του πάγου, ενώ η ροή θερμότητας καθορίζει πόσο γρήγορα συρρικνώνεται η επιφάνεια.
To λιώσιμο του πάγου είναι το πιο σημαντικό παράδειγμα ενός προβλήματος «ελεύθερων ορίων», όπου διερευνάται πώς μια διαδικασία όπως η διάχυση της θερμότητας πραγματοποιείται στα όρια, που σ’ αυτή την περίπτωση, το όριο είναι μεταξύ πάγου και νερού. Οι εξισώσεις του Stefan φαινόταν να περιγράφουν καλά το πρόβλημα, αλλά μέχρι τη δεκαετία του 1970 η επίλυση των εξισώσεων δεν ήταν ξεκάθαρη. Τίποτε δεν εμπόδιζε τις εξισώσεις να οδηγήσουν σε απίθανα σενάρια,π.χ. σε ένα σχήμα πάγου που μοιάζει με φράκταλ, το οποίο δεν είχε παρατηρηθεί ποτέ στη φύση. Επρόκειτο για πολύ πιο δύσκολο πρόβλημα από το στατικό πρόβλημα της σαπουνόφουσκας, αφού το λιώσιμο του πάγου περιέχει και την μεταβλητή του χρόνου. Επιπλέον σύμφωνα με τις εξισώσεις σε ένα παγάκι κατά τη διαδικασία της τήξης του, εμφανίζονται ιδιομορφίες – κορυφές, γωνίες και προεξοχές – ακόμα κι αν το αρχικό σχήμα του πάγου ήταν ομαλό. Δεν έχετε παρά να φανταστείτε ένα παγάκι σε σχήμα κλεψύδρας: μόλις λιώσει το συνδετικό τμήμα, σχηματίζονται δύο παγάκια με προεξοχές, τουλάχιστον για μικρό χρονικό διάστημα.
Ο Caffarelli απέδειξε ότι υπάρχουν ιδιομορφίες στα μαθηματικά της τήξης του πάγου. Επινόησε επίσης και έναν τρόπο προσδιορισμού του αριθμού των ιδιομορφιών κατά μήκος του ορίου πάγου-νερού, χωρίς να τις ‘εξημερώσει’, συμβάλλοντας όμως στην απόδειξη ότι ο πάγος που λιώνει παραμένει ομαλός (βλέπε Mathematicians Prove Melting Ice Stays Smooth).

https://www.quantamagazine.org/mathematicians-prove-melting-ice-stays-smooth-20211006/

Το 1976 δημοσίευσε έξι εργασίες και το 1977 είχε την πρώτη του εργασία στο έγκριτο περιοδικό Acta Mathematica με τίτλο «The regularity of free boundaries in higher dimensions«. (Αξίζει να σημειωθεί ότι εκείνο το χρονικό διάστημα 1977 έως 1979, ο Ιωάννης Αθανασόπουλος, καθηγητής σήμερα στο τμήμα μαθηματικών του πανεπιστημίου Κρήτης, ολοκλήρωσε την διδακτορική του διατριβή υπό την καθοδήγηση του L.A. Caffarelli).

Το 1980 ο Caffarelli μετακόμισε στο ινστιτούτο Courant του πανεπιστημίου της Νέας Υόρκης, το οποίο ειδικεύεται στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Περπατώντας μια μέρα στην Chinatown με τον Robert Kohn και τον Louis Nirenberg (ο βραβευμένος με το βραβείο Abel 2015 -απεβίωσε το 2020), αποφάσισαν να συνεργαστούν σε ένα θέμα σχετικά με τις εξισώσεις Navier-Stokes, ένα σύνολο ΜΔΕ που περιγράφει την δυναμική των ρευστών. Το αποτέλεσμα αυτής της συνεργασίας ήταν η δημοσίευση του 1982 με τίτλο «Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations«

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.3160350604

, μια εργασία ορόσημο που αργότερα, το 2014, θα κέρδιζε το βραβείο Steele της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας. Όταν ο Nirenberg ρωτήθηκε αργότερα για τον Caffarelli ως μαθηματικός, απάντησε: «Φανταστική διαίσθηση. Απίστευτη. ..Δυσκολεύτηκα να συμβαδίσω μαζί του. Κατά κάποιο τρόπο βλέπει αμέσως πράγματα που οι άλλοι άνθρωποι δεν βλέπουν».

Οι μερικές διαφορικές εξισώσεις Navier-Stokes περιγράφουν τη ροή των ρευστών. Οι εξισώσεις αυτές έχουν προκαλέσει ατέλειωτες συζητήσεις μεταξύ των μαθηματικών εδώ και αιώνες. Δεν είναι καν γνωστό ότι δίνουν πάντα μια πεπερασμένη και ομαλή λύση. Αυτό σημαίνει πως δεν είναι σαφές αν η ταχύτητα ροής μπορεί να αυξηθεί ξαφνικά σε κάποιο σημείο ή αν θα μπορούσε ακόμη να λάβει και απείρως μεγάλες τιμές. Αυτή η ερώτηση είναι ένα από τα επτά προβλήματα της Χιλιετίας,

https://www.claymath.org/millennium-problems/millennium-prize-problems

για τα οποία το ινστιτούτο Clay Mathematics προσέφερε βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων για την λύση του καθενός.
Οι Caffarelli, Kohn και Nirenberg έφτασαν σε ένα αποτέλεσμα που αντιπροσωπεύει την πιο σημαντική ανακάλυψη σε αυτόν τον τομέα μέχρι σήμερα: Αν οι λύσεις Navier-Stokes έπρεπε να περιέχουν ιδιομορφίες – ροές ρευστών που παρουσιάζουν ακανόνιστες μεταβολές ή απείρως μεγάλες ταχύτητες—αυτό θα σήμαινε ότι οι ιδιομορφίες προορίζονταν να εξαφανιστούν αμέσως. Αυτό το εύρημα δεν λύνει το σχετικό πρόβλημα του Millennium Prize, αλλά εγγυάται ότι, σύμφωνα με τις εξισώσεις, τα ρευστά θα συμπεριφέρονται με αυτόν τον περίεργο τρόπο, αν το κάνουν, για σύντομο χρονικό διάστημα – μια μεγάλη ανακούφιση για έναν σχεδιαστή αεροπλάνων ή αυτοκινήτων.

Στις αρχές της δεκαετίας του ’80, ο Caffarelli είχε ήδη καθιερωθεί στην κοινότητα των μαθηματικών. Κέρδισε το βραβείο Guido Stampacchia το 1982 και το βραβείο Bôcher το 1984. Ο Caffarelli ήταν καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο από το 1983 έως το 1986, και στη συνέχεια μετακόμισε για μια δεκαετία στο Ινστιτούτο Προηγμένων Σπουδών στο Πρίνστον. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου ασχολήθηκε κυρίως με την εξίσωση Monge-Ampère,

https://en.wikipedia.org/wiki/Monge–Ampère_equation

μια άλλη γνωστή μη γραμμική ΜΔΕ, αναπτύσσοντας αυτό που τώρα ονομάζεται «θεωρία κανονικότητας του Caffarelli», που έχει σημαντικές εφαρμογές σε άλλους τομείς, όπως η θεωρία της βέλτιστης μεταφοράς.Από το 1997 είναι καθηγητής μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Τέξας στο Ώστιν, όπου, μεταξύ άλλων εργασιών, έχει κάνει εντυπωσιακές προόδους στη θεωρία της ομογενοποίησης, ένα πεδίο έρευνας στις ΜΔΕ που εξετάζει φυσικές ιδιότητες σε διαφορετικές κλίμακες.Ο Caffarelli δεν είναι μόνο αξιοσημείωτος για το βάθος του έργου του, είναι επίσης και εξαιρετικά παραγωγικός. Έχει δημοσιεύσει 320 εργασίες και, σε ηλικία 74 ετών, συνεχίζει να δημοσιεύει αρκετές εργασίες κάθε χρόνο. Είναι πολύ αγαπητός στην κοινότητα και έχει συν-γράψει εργασίες με περισσότερα από 130 άτομα. Οι εργασίες του Caffarelli είχαν 19.000 αναφορές, αριθμός που μαρτυρεί την επιρροή του στα σύγχρονα μαθηματικά, και είχε περισσότερους από 30 διδακτορικούς φοιτητές. Τιμήθηκε μεταξύ άλλων, με το βραβείο Rolf Schock 2005, το βραβείο Steele 2009 της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας, το βραβείο Wolf 2012, το μετάλλιο Solomon Lefschetz 2013 και το βραβείο Shaw 2018.

https://physicsgg.me/2023/03/24/στον-luis-caffarelli-το-νόμπελ-των-μαθηματικών/

[Δροσος Γεωργιος]

Μαθήτριες λυκείου υποστηρίζουν ότι βρήκαν απόδειξη για το Πυθαγόρειο Θεώρημα που οι μαθηματικοί θεωρούσαν αδύνατη.

Εδώ και δύο χιλιετίες δεν έχει υπάρξει τριγωνομετρική απόδειξη για το θεώρημα.Δύο μαθήτριες λυκείου της Νέας Ορλεάνης υποστηρίζουν ότι έχουν αποδείξει το θεώρημα του Πυθαγόρα χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρία – κάτι που οι ακαδημαϊκοί εδώ και δύο χιλιετίες θεωρούσαν αδύνατο. Αναγνωρισμένος οργανισμός μαθηματικών ερευνών στις ΗΠΑ τις ενθαρρύνει να υποβάλουν την εργασία τους σε επιστημονικό περιοδικό για να κριθεί από μαθηματικούς ανά τον κόσμο.Οι Calcea Johnson και Ne’Kiya Jackson, που φοιτούν στην Ακαδημία St Mary’s, παρουσίασαν πρόσφατα τα ευρήματά τους στην εξαμηνιαία συνάντηση της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας.Σύμφωνα με πληροφορίες, ήταν οι μόνες μαθήτριες που έκαναν παρουσιάσεις στη συνάντηση στην οποία συμμετείχαν ερευνητές μαθηματικών από ιδρύματα όπως τα πανεπιστήμια της Αλαμπάμα, της Τζόρτζια, της Πολιτείας Λουιζιάνα, της Πολιτείας του Οχάιο, της Οκλαχόμα και του Τέξας. Και μίλησαν για το πώς είχαν ανακαλύψει μια νέα απόδειξη για το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Το θεώρημα και οι αποδείξεις του

Το θεώρημα 2.000 ετών έχει δείξει ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας οποιουδήποτε ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών του. Δηλαδή α² = β² + γ².Το θεώρημα έχει μεγάλο αριθμό αποδείξεων, πιθανότατα μεγαλύτερο από κάθε άλλο μαθηματικό θεώρημα. Οι αποδείξεις είναι ευθείες, γεωμετρικές και αλγεβρικές.  Ωστόσο από τη στιγμή που η τριγωνομετρία στηρίζεται σε αυτό (για την τριγωνομετρία λαμβάνεται ως δεδομένο ότι ισχύει), έως τώρα οι μαθηματικοί πιστεύουν ότι οποιαδήποτε υποτιθέμενη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος που χρησιμοποιεί τριγωνομετρία αποτελεί μια λογική πλάνη, που είναι γνωστή ως κυκλικός συλλογισμός. Πρόκειται για έναν όρο που χρησιμοποιείται όταν κάποιος προσπαθεί να επικυρώσει μια ιδέα με την ίδια την ιδέα.

Τι παρουσίασαν οι δύο μαθήτριες

Οι μαθήτρεις Johnson και Jackson τόνισαν στην παρουσίασή τους ότι το βιβλίο με τη μεγαλύτερη γνωστή συλλογή αποδείξεων για το θεώρημα (The Pythagorean Proposition by Elisha Loomis) «δηλώνει κατηγορηματικά ότι «δεν υπάρχουν τριγωνομετρικές αποδείξεις επειδή όλοι οι θεμελιώδεις τύποι της τριγωνομετρίας βασίζονται οι ίδιοι στην αλήθεια του Πυθαγόρειου θεωρήματος.Αλλά, «αυτό δεν είναι ακριβώς αλήθεια» είπαν. «Παρουσιάζουμε μια νέα απόδειξη του Θεωρήματος του Πυθαγόρα που βασίζεται σε ένα θεμελιώδες αποτέλεσμα στην τριγωνομετρία – τον Νόμο των Ημιτονίων – και δείχνουμε ότι η απόδειξη είναι ανεξάρτητη από την ταυτότητα του Πυθαγόρειας τριγώνου sin2x+cos2x=1». Εν ολίγοις, υποστηρίζουν, ότι πέτυχαν να αποδείξουν το θεώρημα χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία και χωρίς να καταφύγουν σε κυκλικό συλλογισμό.

Η Johnson είπε στον τηλεοπτικό σταθμό της Νέας Ορλεάνης WWL ότι ήταν «απαράμιλλο συναίσθημα» να παρουσιάσoυν με την Jackson τη δουλειά τους σε πανεπιστημιακούς ερευνητές.«Δεν υπάρχει τίποτα παρόμοιο – το να μπορείς να κάνεις κάτι που οι άνθρωποι δεν πιστεύουν ότι μπορούν να κάνουν οι νέοι», σχολίασε η Johnson.  «Δεν βλέπεις παιδιά σαν εμάς να το κάνουν αυτό – συνήθως, πρέπει να είσαι ενήλικας για να το κάνεις αυτό».Οι δύο μαθήτριες πίστωσαν μέρος της δουλειάς τους στις καθηγήτριές τους στο σχολείο, τις προκάλεσαν να επιτύχουν κάτι που οι μαθηματικοί πίστευαν ότι δεν ήταν δυνατό.«Έχουμε πραγματικά υπέροχες καθηγήτριες», είπε η Jackson στο WWL.Το WWL ανέφερε ότι οι Jackson και Johnson ετοιμάζονται να αποφοιτήσουν αυτή την άνοιξη και σκοπεύουν να ακολουθήσουν σπουδές στην περιβαλλοντική μηχανική και στη βιοχημεία.Η Catherine Roberts, εκτελεστική διευθύντρια της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας, είπε ότι ενθάρρυνε τις μαθήτριες του St Mary’s να καταθέσουν την εργασία τους σε επιστημονικό περιοδικό.«Τα μέλη της κοινότητάς μας μπορούν να εξετάσουν τα αποτελέσματά τους για να καθορίσουν εάν η απόδειξή τους είναι μια σωστή συνεισφορά στη βιβλιογραφία των μαθηματικών», δήλωσε η Roberts.

https://www.naftemporiki.gr/techscience/1454379/mathitries-lykeioy-ypostirizoyn-oti-vrikan-apodeixi-gia-to-pythagoreio-theorima-poy-oi-mathimatikoi-theoroysan-adynati/

 

 

[Δροσος Γεωργιος]

Οι εφαρμογές των Μαθηματικών στην σύγχρονη κοινωνία.

Την επόμενη εβδομάδα, την Τετάρτη 5 Απριλίου στις 18.00 στο Ιδρυμα Ευγενίδου, θα πραγματοποιηθεί μια πολύ ενδιαφέρουσα εκδήλωση που περιλαμβάνει τρεις διαλέξεις με θέμα τις εφαρμογές των Μαθηματικών στη σύγχρονη κοινωνία. Τα Μαθηματικά, που η ηλικία τους ξεπερνά τα 3.000 χρόνια, αποτελούν την πιο αυστηρή γλώσσα που επινόησαν οι άνθρωποι για να περιγράφουν τις γνώσεις για τον φυσικό κόσμο και τις νέες ιδέες τους για την πραγματικότητα.Με την πάροδο του χρόνου άρχισε να δημιουργείται μια διάκριση μεταξύ των επιστημόνων που παρήγαν νέα μαθηματική γνώση και αυτών που χρησιμοποιούσαν αυτήν τη γνώση. Και έτσι καταλήξαμε να μιλάμε για Θεωρητικά και για Εφαρμοσμένα Μαθηματικά. Ωστόσο, στην εποχή μας, οι ανάγκες για μαθηματική σκέψη και περιγραφή, με νέα μαθηματικά εργαλεία, σχεδόν κάθε ανθρώπινης δραστηριότητας κατέστησαν τη διάκριση μεταξύ θεωρίας και εφαρμογής εντελώς περιττή και στην πράξη έχει πλέον εξαφανιστεί. Κι αυτό γιατί, πλέον, δεν υπάρχουν μαθηματικές θεωρίες που δεν έχουν εφαρμογή σε κάποια ανθρώπινη δραστηριότητα.Και ο στόχος της εκδήλωσης με τίτλο «Οι εφαρμογές των Μαθηματικών στη σύγχρονη κοινωνία» είναι να παρουσιαστούν, μέσα από τρεις διαφορετικές διαλέξεις, μερικές από τις σύγχρονες επιστημονικές και τεχνολογικές περιοχές όπου τα Μαθηματικά αποτέλεσαν και αποτελούν το άλφα και το ωμέγα της ύπαρξής τους.Στην πρώτη διάλεξη, ο καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών και πρόεδρος της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, Ιωάννης Εμμανουήλ, θα μιλήσει για το πέρασμα «Από την παραγοντοποίηση ακεραίων στην κρυπτογραφία». Στη δεύτερη διάλεξη με τίτλο «Μαθηματική ανάλυση και Επιστήμη των Υλικών: μερικά παραδείγματα», ο Νικόλαος Αλικάκος, ομότιμος καθηγητής Παν/μίου Αθηνών, θα παρουσιάσει με συγκεκριμένα παραδείγματα το πώς η θεωρητική Μαθηματική Ανάλυση μπορεί να επιβεβαιώσει (ή να διαψεύσει) την εγκυρότητα ορισμένων φυσικών και εμπειρικών μοντέλων.Στην τρίτη διάλεξη με τίτλο «Μαθηματικά και επιδημίες», η καθηγήτρια του Παν/μίου Αθηνών Βάνα Σύψα θα αναδείξει την αποφασιστική σημασία και τον ρόλο των Μαθηματικών στη μελέτη επιδημιών. Με παραδείγματα τόσο από την πανδημία Covid-19 όσο και από άλλες επιδημίες, θα παρουσιάσει πώς η μαθηματική ανάλυση χρησιμοποιείται για την κατανόηση της πραγματικής δράσης και την πρόβλεψη της δυναμικής ενός παθογόνου μικροοργανισμού στους ανθρώπινους πληθυσμούς.Τον συντονισμό των ομιλιών και των ερωτήσεων θα έχει ο κ. Γεώργιος Δάσιος, ομότιμος καθηγητής Παν/μίου Πατρών και αντεπιστέλλον μέλος της Ακαδημίας Αθηνών. Η εκδήλωση αυτή είναι το πρώτο μέρος του Κύκλου Διαλέξεων με τίτλο Εφαρμογές Επιστήμης & Τεχνολογίας στον Σύγχρονο Kόσμο, που θα πραγματοποιηθούν στο αμφιθέατρο του Ιδρύματος Ευγενίδου. Η είσοδος είναι ελεύθερη, ενώ η εκδήλωση θα μεταδοθεί live streaming μέσω του link https://diavlos.grnet.gr/event/e4187

https://physicsgg.me/2023/03/30/οι-εφαρμογές-των-μαθηματικών-στην-σύγ/

[Δροσος Γεωργιος]

Η τριγωνομετρική απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος.

…. από τις μαθήτριες Calcea Johnson και Ne’Kiya Jackson

Δύο μαθήτριες απέδειξαν το Πυθαγόρειο θεώρημα με έναν πρωτότυπο τρόπο χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία. Όμως, ένας μαθηματικός στις αρχές του 20ου αιώνα, ο Elisha Scott Loomis, θεωρούσε ότι η οποιαδήποτε απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος με χρήση τριγωνομετρίας είναι μια κυκλική απόδειξη. Σύμφωνα λοιπόν με τα μέσα ενημέρωσης, συμπεριλαμβανομένου και του περιοδικού scientificamerican,

https://www.scientificamerican.com/article/2-high-school-students-prove-pythagorean-theorem-heres-what-that-means/

οι μαθήτριες απέδειξαν κάτι που οι μαθηματικοί θεωρούσαν αδύνατο(;).

Οι μαθήτριες Calcea Johnson και Ne’Kiya Jackson, που φοιτούν στην Ακαδημία St Mary’s στη Νέα Ορλεάνη, ανακοίνωσαν το επίτευγμά τους, μια τριγωνομετρική απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος, τον περασμένο μήνα σε συνέδριο της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας.Ο Elisha Scott Loomis, θεωρούσε ότι οποιαδήποτε τριγωνομετρική απόδειξη του Πυθαγορείου θεωρήματος είναι μια κυκλική απόδειξη. Ο ισχυρισμός του διατυπώνεται στη σελίδα 244 του βιβλίου του The Pythagorean Proposition (1927):

https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED037335.pdf

«δεν υπάρχουν τριγωνομετρικές αποδείξεις, επειδή όλοι οι θεμελιώδεις τύποι της τριγωνομετρίας βασίζονται στην ισχύ του Πυθαγορείου θεωρήματος. Γιατί εξαιτίας αυτού του θεωρήματος ισχύει: sin²x+cos²x=1 κ.λπ. Η τριγωνομετρία υπάρχει επειδή το Πυθαγόρειο θεώρημα υπάρχει«.

Εικόνα από το βιβλίο του Loomis

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι η εξίσωση που υπολογίζει την μεγαλύτερη πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου αθροίζοντας τα τετράγωνα των άλλων δύο πλευρών.
Συνήθως διατυπώνεται ως a² + b² = c². Σε αυτή την εξίσωση, τα a, b και c αντιπροσωπεύουν τα μήκη των τριών πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου, ενός τριγώνου με γωνία 90 μοιρών μεταξύ των πλευρών του a και b. Το μήκος της μεγαλύτερης πλευράς c ονομάζεται υποτείνουσα. Αν και το θεώρημα πήρε το όνομά του από τον αρχαίο Έλληνα φιλόσοφο Πυθαγόρα, ορισμένοι ιστορικοί πιστεύουν ότι ήταν γνωστό στη Βαβυλώνα περίπου 1.000 χρόνια νωρίτερα. Το θεώρημα «συνδέει την άλγεβρα και τη γεωμετρία», αναφέρει ο Stuart Anderson, ομότιμος καθηγητής μαθηματικών σε πανεπιστήμιο του Texas: «Η διατύπωση a² + b² = c², αυτή είναι μια αλγεβρική πρόταση. Αλλά το σχήμα από το οποίο προέρχεται είναι γεωμετρικό».Εν τω μεταξύ, η τριγωνομετρία εστιάζει σε συναρτήσεις που εξαρτώνται από γωνίες. Αυτές οι συναρτήσεις, όπως το ημίτονο και το συνημίτονο, ορίζονται χρησιμοποιώντας ορθογώνια τρίγωνα.

Φανταστείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και την μια οξεία γωνία του ω. Οι μαθηματικοί ορίζουν το ημίτονο αυτής της γωνίας ως το μήκος της απέναντι κάθετη πλευράς διαιρούμενο με το μήκος της υποτείνουσας: sinω=b/c. Το συνημίτονο αυτής της γωνίας ορίζεται ως το μήκος της προσκείμενης πλευράς διαιρούμενο με την υποτείνουσα: cosω=a/c. Επομένως το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ισοδύναμο με την εξίσωση sin²ω + cos²ω = 1, αφού (b/c)²+(a/c)2=1 ή a² + b²=c². «Πολλές από τις βασικές τριγωνομετρικές «ταυτότητες» δεν είναι τίποτα άλλο από το θεώρημα του Πυθαγόρα», εξηγεί ο Anderson scientificamerican, αναφερόμενος σε εξισώσεις που περιγράφουν σχέσεις μεταξύ διαφορετικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
Ο Loomis πίστευε πως χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις σε μια απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος, είναι σαν να υποθέτουμε εξ’ αρχής την ισχύ του θεωρήματος.Όσοι προτείνουν τριγωνομετρικές αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος θεωρούν ότι οι αποδείξεις τους δεν είναι κυκλικές, αρκεί να μην χρησιμοποιήσουν την σχέση sin²x+cos²x=1, που στην ουσία ισοδυναμεί με το Πυθαγόρειο.Στην ομιλία τους στο συνέδριο της Αμερικανικής Μαθηματικής Εταιρείας, οι Johnson και Jackson δήλωσαν ότι η τριγωνομετρική ταυτότητα που ονομάζεται νόμος των ημιτόνων δεν εξαρτάται από το Πυθαγόρειο θεώρημα (ή την τριγωνομετρική ταυτότητα sin²x + cos²x = 1), και ότι θα μπορούσαν να τη χρησιμοποιήσουν για να αποδείξουν το θεώρημα.Η απόδειξη των μαθητριών προστίθεται σε μερικές ακόμα τριγωνομετρικές αποδείξεις που προτάθηκαν στο παρελθόν. Κάθε μια από αυτές παρακάμπτει την εξίσωση sin²x+cos²x=1 (ή εξισώσεις που προκύπτουν από αυτή) για να αποδείξει το θεώρημα.Παλαιότερες τριγωνομετρικές (και όχι μόνο) αποδείξεις του Πυθαγορείου θεωρήματος περιλαμβάνονται στον ιστότοπο του μαθηματικού Alexander Bogomolny.

https://www.cut-the-knot.org/

Μια από αυτές δημιουργήθηκε από τον φυσικό και μαθηματικό Jason Zimba και είναι πολύ σύντομη. Η απόδειξή του βασίζεται στις τριγωνομετρικές ταυτότητες που υπολογίζουν το συνημίτονο και το ημίτονο της γωνίας (x – y):
cos (x – y) = cosx cosy + sinx siny
sin (x – y) = sinx cosy – cosx siny
τις αποδείξεις των οποίων θεωρεί ανεξάρτητες του πυθαγορείου θεωρήματος.
Έτσι, για 0<y<x<90°, ισχύει 0<x – y<90° και
cos y = cos (x – (x – y))
= cos x cos(x – y) + sin x sin(x – y)
= cos x (cos x cos y + sin x sin y) + sin x (sin x cos y – cos x sin y)
= (cos²x + sin²x)cos y, που συνεπάγεται την τριγωνομετρική μορφή του πυθαγορείου θεωρήματος: sin²x + cos²x = 1. Δείτε όλες τις λεπτομέρειες της απόδειξης στην δημοσίευσή του στο Forum Geometricorum το 2009.

https://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200925.pdf

Ψάχνοντας στο διαδίκτυο δεν βρίσκουμε την απόδειξη που παρουσίασαν οι δυο μαθήτριες, αν εξαιρέσουμε την περίληψη της ανακοίνωσης ή τις ελάχιστες διαφάνειες από την παρουσίασή τους εδώ.

https://www.dropbox.com/s/h99ezl8l360xk4r/JOHNSON and JACKSON New Pyth Proof.pdf?dl=1)

Έτσι, την απόδειξή τους επιχειρεί να περιγράψει το youtube κανάλι polymathematic, με βάση τα λίγα αυτά στοιχεία, στο βίντεο που ακολουθεί:

Η Αμερικανική Μαθηματική Εταιρεία ενθάρρυνε τις μαθήτριες της Νέας Ορλεάνης να υποβάλουν την απόδειξη τους προς δημοσίευση σε επιστημονικό περιοδικό με κριτές,

https://physicsgg.me/2023/04/14/η-τριγωνομετρική-απόδειξη-του-πυθαγο/

[Δροσος Γεωργιος]

Ο μάγος που δημιούργησε ηλεκτρισμό από την τετραγωνική ρίζα του μείον ένα.

To 1893 o πρωτοπόρος ηλεκτρολόγος μηχανικός Τσαρλς Πρωτέας Στάινμετς (Charles Proteus Steinmetz ή Karl August Rudolph Steinmetz) παρουσίασε στο Διεθνές Ηλεκτρικό Συνέδριο του Σικάγου την εργασία του με τίτλο «Complex quantities and their use in electrical engineering» , όπου εισήγαγε για πρώτη φορά την χρήση των μιγαδικών αριθμών στην ηλεκτρολογία. Η εργασία του Steinmetz παρουσιάστηκε στο κοινό με τα εξής λόγια:
«Χρησιμοποιούμε όλο και περισσότερο τις μιγαδικές ποσότητες αντί των ημιτόνων και συνημιτόνων, και παρατηρούμε ότι η χρήση τους προσφέρει μεγάλα πλεονεκτήματα τόσο στους υπολογισμούς των κυκλωμάτων εναλλασσομένων ρευμάτων όσο και σε όλο το φάσμα της φυσικής. Οτιδήποτε γίνεται προς αυτή την κατεύθυνση αποτελεί μεγάλο όφελος για την επιστήμη.»

Complex quantities and their use in electrical engineering (Μιγαδικές ποσότητες και η χρήση τους στην ηλεκτρολογία)Download

Το άρθρο αυτό έδειχνε πώς η χρήση των μιγαδικών αριθμών απλοποιούσε εντυπωσιακά την ανάλυση των κυκλωμάτων του εναλλασσομένου ρεύματος.

διαβάστε σχετικά:
1. Οι φανταστικοί αριθμοί στην Φυσική
2. Κυκλώματα και μιγαδικοί αριθμοί
3. Φανταστικά εκθετικά και η πιο όμορφη εξίσωση στον κόσμο

Ο Steinmetz γεννήθηκε το 1865 στην επαρχία της Σιλεσίας στην Πρωσία (τώρα ανήκει στην Πολωνία). Το 1888, λίγο πριν ολοκληρώσει το διδακτορικό του στο Πανεπιστήμιο του Breslau, διέφυγε στην Ζυρίχη για να αποφύγει την σύλληψή του εξαιτίας των σοσιαλιστικών ιδεών του. Αντιμέτωπος με μια βίζα που έληγε, μετανάστευσε στις Ηνωμένες Πολιτείες το 1889. Άλλαξε το μικρό του όνομα σε «Charles» για να ακούγεται πιο αμερικανικό και επέλεξε ως μεσαίο όνομα το «Proteus» ⁽¹⁾. Ο Steinmetz, είχε νανισμό (το ύψος ως ενήλικας ήταν μόλις 1,22 m), καμπούρα και δυσπλασία ισχίου, όπως ο πατέρας και ο παππούς του.
Οι γνώσεις στα μαθηματικά, σε συνδυασμό με το μεγάλο ταλέντο του στην πρακτική μηχανολογία, ήταν σπάνιο φαινόμενο κατά τον 19ο αιώνα. Έτσι, λίγο μετά την άφιξή του στις Ηνωμένες Πολιτείες, ο Steinmetz εργάστηκε για τον Rudolf Eickemeyer στο Yonkers της Νέας Υόρκης και κάνοντας δημοσιεύσεις στον τομέα της μαγνητικής υστέρησης, κέρδισε την παγκόσμια επαγγελματική αναγνώριση. Η εταιρεία του Eickemeyer μεταξύ πολλών άλλων μηχανικών και ηλεκτρικών συσκευών, παρήγαγε και μετασχηματιστές.Το 1893 η εταιρεία του Eickemeyer, μαζί με όλα τα διπλώματα ευρεσιτεχνίας και τα σχέδιά της, αγοράστηκε από τη νεοσύστατη General Electric Company, όπου ο Steinmetz πέρασε το υπόλοιπο της ζωής του εκπαιδεύοντας ηλεκτρολόγους μηχανικούς στη χρήση των μιγαδικών αριθμών προς όφελος της προόδου της τεχνολογίας. Με τον καιρό έγινε γνωστός ως ο μάγος που παρήγαγε ηλεκτρισμό από την  – τετραγωνική ρίζα του μείον ένα ⁽²⁾. Στην βιβλιογραφία βρίσκει κανείς την εξίσωση του Steinmetz, τα στερεά Steinmetz, τις καμπύλες Steinmetz και το ισοδύναμο κύκλωμα Steinmetz, που σχετίζονται με τις έρευνές του.Ο Steinmetz, εκτός από την σημαντική συμβολή του στην θεωρία του εναλλασσόμενου ρεύματος, ασχολήθηκε και με την κατανόηση των κεραυνών. Δημιούργησε τον πρώτο «τεχνητό κεραυνό» σε ένα εργαστήριο μεγέθους γηπέδου ποδοσφαίρου στη General Electric, χρησιμοποιώντας γεννήτριες 120.000 Volt. Κατασκεύασε επίσης έναν πύργο κεραυνού για να προσελκύσει τον φυσικό κεραυνό για να μελετήσει τα μοτίβα και τα αποτελέσματά του. Γι αυτό πήρε το παρατσούκλι ο «πλαστογράφος των κεραυνών».Ο Steinmetz συνέχισε να είναι πολιτικά ενεργός και στις ΗΠΑ ως τεχνοκρατικός σοσιαλιστής. Ήταν μέλος της Τεχνικής Συμμαχίας, στην οποία ανήκαν επίσης και οι Thorstein Veblen, Richard C. Tolman, Leland Olds κ.ά. Πίστευε ότι οι μηχανές θα απαλλάξουν τον άνθρωπο από την δουλεία και ότι θα δημιουργούν αφθονία για όλους.

Ο Charles Proteus Steinmetz στο κέντρο στης φωτογραφίας, στον πύργο του ασύρματου τηλεγραφου του Marconi στο New Jersey το 1921. Αριστερά του Steinmetz είναι ο Albert Einstein και (πίσω αριστερά) ο Nikola Tesla.

Ενώ υπηρετούσε ως πρόεδρος του Εκπαιδευτικού Συμβουλίου Schenectady στη Νέα Υόρκη, ο Steinmetz εισήγαγε πολυάριθμες προοδευτικές μεταρρυθμίσεις, συμπεριλαμβανομένων των σχολικών γευμάτων, των σχολικών νοσοκόμων, των ειδικών τάξεων για τα παιδιά μεταναστών και της διανομής δωρεάν σχολικών βιβλίων.Ένα διάσημο ανέκδοτο για τον Steinmetz αφορά την αντιμετώπιση προβλημάτων της αυτοκινητοβιομηχανίας του Henry Ford στο River Rouge και ο «αναλυτικός λογαριασμός» που υπέβαλε για το έργο που εκτελέστηκε:
Κάποτε ο Henry Ford, αντιμετώπισε ένα σοβαρό πρόβλημα με μία τεραστίων διαστάσεων μηχανή ηλεκτροπαραγωγής που απ’ την αρχή δε δούλευε καλά και οι μηχανικοί του δεν μπορούσαν να βρουν τι φταίει. Έτσι, κάλεσε τον Steinmetz για να λύσει το πρόβλημα. Ο Steinmetz πήγε στο εργοστάσιο και ζήτησε από τους μηχανικούς ένα μολύβι, ένα σημειωματάριο και ένα κρεβατάκι. Εμεινε δίπλα στη μηχανή δύο 24ωρα, την άκουγε και κράταγε σημειώσεις, το κρεβατάκι το ήθελε για να ξεκουράζει το σώμα του από τους διαρκείς πόνους. Την τρίτη μέρα ζήτησε μία σκάλα και μία κιμωλία. Ανέβηκε και μαρκάρισε ένα από τα πολλά πηνία που είχε η γεννήτρια, φώναξε τους μηχανικούς και είπε να αντικαταστήσουν το πηνίο με ένα άλλο με διαφορετική περιέλιξη. Μετά από αυτό η μηχανή δούλευε ρολόι. Στέλνει τότε στον Ford έναν λογαριασμό που κοστολογούσε την εργασία του 10.000$. Ο Ford, φανερά εκνευρισμένος που θαπλήρωνε ένα τόσο μεγάλο ποσό για ένα τόσο «απλό» λάθος, ζήτησε την αναλυση που δικαιολογεί το συγκεκριμένο ποσό. Ο Steinmetz του έστειλε αμέσως το επόμενο σημείωμα.
Μαρκάρισμα με την κιμωλία … 1$
Το πού θα μαρκάρεις…………9.999 $
Σύνολο                                10.000 $
Μετά από αυτό ο Ford πλήρωσε τον λογαριασμό !!

Μπρούτζινο άγαλμα που παριστάνει τον Charles Steinmetz να συναντά Thomas Edison

Μια άλλη φορά τον επισκέφθηκε ο φίλος του Thomas Edison, που σε μεγάλη ηλικία δεν άκουγε καλά, με αποτέλεσμα να φωνάζει νομίζοντας ότι έτσι θα τον ακούει ο συνομιλητής του καλύτερα. Ο Steinmetz τον έβγαλε από τη δύσκολη θέση, χτυπώντας του στο γόνατο μία φράση με σήματα Μορς. Ο Edison απάντησε με τον ίδιο τρόπο και έτσι οι δύο φίλοι συνέχισαν για πολύ ώρα την κουβέντα τους, αφήνοντας άναυδους τους δημοσιογράφους που είχαν πάει για το ρεπορτάζ !!

Διαβάστε περισσότερα:
1. Το όνομά μου είναι Πρωτέας – https://dimitristsokakis.blogspot.com/2013/08/blog-post_31.html
2. Paul J. Nahin, «Φανταστικές ιστορίες, οι περιπέτειες της τετραγωνικής ρίζας του μείον 1″, εκδόσεις κάτοπτρο (οπωσδήποτε την παράγραφο με τίτλο ‘Ένα ονομαστό ηλεκτρικό κύκλωμα που λειτουργεί χάρη στην ‘
3. Floyd Miller,The Man Who Tamed Lightning: Charles Proteus Steinmetz – https://archive.org/details/B-001-014-081/page/n7/mode/2up
4. J W Hammond, «Charles Proteus Steinmetz, a biography» – https://archive.org/details/charlesproteusst0000hamm

 

[Δροσος Γεωργιος]

Πότε επινoήθηκε το μαθηματικό σύμβολο της υποδιαστολής;

Βενετός αστρολόγος του 15ου αιώνα επινόησε το μαθηματικό σύμβολο 150 χρόνια νωρίτερα από ό,τι νομίζαμε.

Εικόνα από το «Mirifici logarithmorum canonis constructio’ του John Napier, όπου επεξηγείται η χρήση της υποδιαστολής

Το σύμβολο της υποδιαστολής, μια επανάσταση που απάλλαξε τους μαθηματικούς από χρονοβόρους υπολογισμούς και επιτάχυνε την πρόοδο της επιστήμης, εμφανίστηκε 150 χρόνια νωρίτερα από ό,τι πίστευαν οι ιστορικοί, αποκαλύπτει η επανεξέταση χειρόγραφων του 15ου αιώνα.Ο Τζιοβάνι Μπιαντσίνι, βενετός έμπορος, λογιστής και αστρολόγος, χρησιμοποιούσε την υποδιαστολή ήδη από τη δεκαετία του 1440, αποκαλύπτει μελέτη στην επιθεώρηση Historia Mathematica (στην εικόνα, o Μπιανσίνι παραδίδει το βιβλίο του για την αστρονομία στον γερμανό αυτοκράτορα Φρειδερίκο Γ’). Μέχρι τώρα, η πρώτη γνωστή χρήση του συμβόλου αποδιδόταν στον γερμανό μαθηματικό Κρίστοφερ Κλάβιους το 1593.Ο Μπιαντσίνι εργάστηκε για χρόνια ως έμπορος πριν αναλάβει διοικητικά καθήκοντα στο κτήμα της ισχυρής οικογένειας ντ’ Eστε που κυβερνούσε τότε το δουκάτο της Φεράρας. Εκτός από τα λογιστικά του καθήκοντα ήταν επίσης υπεύθυνος για την έκδοση ωροσκοπίων, οπότε χρειάστηκε να αποκτήσει γνώσεις αστρονομίας.Εκείνη την εποχή, οι αστρονόμοι χρησιμοποιούσαν αποκλειστικά το εξηνταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων, το οποίο διαιρεί τον κύκλο σε 360 μοίρες, την μοίρα σε 60 λεπτά και το λεπτό σε 60 δεύτερα λεπτά.Το σύστημα αυτό χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα στην γραφή του γεωγραφικού μήκους και πλάτους, δυσκολεύει όμως πολύ τους πολλαπλασιασμούς (αφού όλοι οι αριθμοί πρέπει να πρώτα να μετατραπούν στην ελάχιστη υποδιαίρεση, τα δεύτερα λεπτά. Μετά την πράξη, το αποτέλεσμα πρέπει να μετατραπεί εκ νέου μεγαλύτερες μονάδες).Εξίσου προβληματική ήταν και η πρακτική των εμπόρων και των λογιστών, οι οποίοι χρησιμοποιούσαν διάφορους τρόπους για να διαιρούν τις μονάδες της εποχής. Για παράδειγμα, ένα πόδι ισοδυναμεί με 12 ίντσες και μια γιάρδα αντιστοιχεί σε τρία πόδια.

Παράδειγμα χρήσης της υποδιαστολής στο βιβλίο του Μπιαντσίνι Compositio instrumenti.

Μια κουκκίδα στη μέση

Για να διευκολύνει τους υπολογισμούς, ο Μπιαντσίνι εφηύρε το δικό του δεκαδικό σύστημα, στο οποίο το ένα πόδι (30 εκατοστά) διαιρείται σε δέκα ίσα τμήματα. Ήταν μια πρακτική λύση, η οποία όμως δεν ενέπνευσε τη χρήση του δεκαδικού συστήματος στην αστρονομία.Ο βενετός έμπορος αποδεικνύεται τώρα ότι είχε προχωρήσει ακόμα ένα βήμα μπροστά. Εξετάζοντας μια αστρονομική πραγματεία που έγραψε ο Μπιανσίνι τη δεκαετία του 1440, με τίτλο Tabulae primi mobilis B, ο Γκλεν φον Μπρούμελεν, ιστορικός του πανεπιστημίου Trinity Western στον Καναδά, παρατήρησε ότι κάποιοι αριθμοί είχαν στη μέση μια κουκίδα, η οποία χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα ως σύμβολο της υποδιαστολής στις αγγλόφωνες χώρες. Ένα παράδειγμα ήταν ο αριθμός 10,4, τον οποίο ο Μπιαντσίνι πολλαπλασίαζε επί οκτώ ακριβώς όπως θα κάναμε και σήμερα.Φαίνεται όμως ότι η ιδέα ήταν υπερβολικά ριζοσπαστική για να βρει άμεση απήχηση. «Για να κατανοήσει κανείς τι έκανε ο Μπιαντσίνι θα έπρεπε να μάθει ένα εντελώς νέο σύστημα αριθμητικής» σχολίασε ο Φον Μπρούμελεν στο δικτυακό τόπο του περιοδικού Nature.Πέρασε ενάμισης αιώνας μέχρι να επανεμφανιστεί το επαναστατικό νέο σύμβολο, αυτή τη φορά στα χειρόγραφα του Κλάβιους. Ο οποίος, όπως επισημαίνει η μελέτη, χρησιμοποίησε την υποδιαστολή στην αναγραφή ημιτονίων, ακριβώς όπως και ο Μπιαντσίνι. Το πιθανότερο είναι ότι ο γερμανός μαθηματικός γνώριζε για την εφεύρεση του προκατόχου του και την οικειοποιήθηκε, εκτιμά ο Φον Μπλούμελεν.Όπως και να συνέβη, η διάδοση της υποδιαστολής ήρθε να επιταχύνει την επανάσταση που είχε ξεκινήσει μερικούς αιώνες νωρίτερα με την υιοθέτηση του δεκαδικού συστήματος των ινδο-αραβικών αριθμών.Το δεκαδικό σύστημα και η υποδιαστολή οδήγησαν αργότερα σε νέες εξελίξεις, όπως την ιδέα ότι κάποιοι αριθμοί, όπως η σταθερά «π», έχουν άπειρα ψηφία.

 https://www.in.gr/2024/03/05/in-science/episthmes/pote-ksekinise-epanastasi-tis-ypodiastolis-papyros-tou-mesaiona-fernei-anatropi/

[Δροσος Γεωργιος]

Η εμφάνιση του συμβόλου π.

Πότε ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο ενός κύκλου συμβολίστηκε για πρώτη φορά με το γράμμα π;

Yπενθυμίζεται ότι σήμερα 14 Μαρτίου (3/14) είναι ημέρα του αριθμού π.

Το π χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά για να δηλώσει το πηλίκο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του από τον Ουαλό μαθηματικό William Jones στο βιβλίο του 1706 Synopsis palmariorum matheseos. Στη σελίδα 243 βρίσκουμε το π καταγεγραμμένο (ως περιφέρεια/διάμετρος) για πρώτη φορά στην ιστορία:

Το ελληνικό γράμμα πρωτοεμφανίζεται στην πρώτη σειρά «=1/2 περιφέρειας (π)» , σχετικά με έναν κύκλο με ακτίνα ένα

Στο ίδιο βιβλίο, το σύμβολο π εμφανίζεται πιο ξεκάθαρα και στην σελίδα 263:

Ο Jones μπορεί να επέλεξε το π επειδή ήταν το πρώτο γράμμα στην ελληνική ορθογραφία της λέξης περιφέρεια. Ωστόσο, γράφει ότι οι εξισώσεις του π είναι από την «έτοιμη πένα του πραγματικά έξυπνου κ. John Machin», οδηγώντας σε εικασίες ότι ο Machin ίσως να χρησιμοποίησε το ελληνικό γράμμα πριν τον Jones.

διαβάστε σχετικά με τον αριθμό π: https://mathsedideas.blogspot.com/2018/02/on-pi-day.html

 

[Δροσος Γεωργιος]

Υπολογίστηκαν 105 τρισεκατομμύρια ψηφία του αριθμού π

… σπάζοντας το παγκόσμιο ρεκόρ.

Μια αμερικανική εταιρεία αποθήκευσης δεδομένων υπολόγισε 105 τρισεκατομμύρια ψηφία του αριθμού π, σπάζοντας το προηγούμενο παγκόσμιο ρεκόρ των 100 τρισεκατομμυρίων ψηφίων. Οι υπολογισμοί χρειάστηκαν 75 ημέρες για να ολοκληρωθούν και χρησιμοποιήθηκαν 1 εκατομμύριο γιγαμπάιτ δεδομένων. Το επίτευγμα που απαιτούσε υπολογιστική ισχύ ισοδύναμη με την υπολογιστική ισχύ εκατοντάδων χιλιάδων smartphones ανακοινώθηκε προχθές 14 Μαρτίου, ημέρα του αριθμού π.  

Αν πληκτρολογούσαμε αυτόν τον αριθμό σε χαρτί χρησιμοποιώντας μια γραμματοσειρά 10 στιγμών σε μια συνεχή γραμμή, ο αριθμός θα είχε μήκος 3,7 δισεκατομμύρια χιλιόμετρα, που σημαίνει ότι θα μπορούσε να εκτείνεται από τη Γη μέχρι κάπου μεταξύ Ουρανού και Ποσειδώνα. Ας σημειωθεί ότι το τελευταίο από τα 105 τρισεκατομμύρια ψηφία του Pi είναι το 6!Ο υπολογισμός όλο και περισσότερων ψηφίων του αριθμού π χρησιμοποιείται ως σημείο αναφοράς για τη δοκιμή νέων προγραμμάτων υπολογιστών και συστημάτων αποθήκευσης δεδομένων.

πηγή: https://www.livescience.com/physics-mathematics/mathematics/pi-calculated-to-105-trillion-digits-smashing-world-record

 

[Δροσος Γεωργιος]

Στον Michel Talagrand το βραβείο Abel 2024.

Ο Michel Talagrand ανέπτυξε τα μαθηματικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται ευρέως για τον έλεγχο τυχαίων διαδικασιών.

Η Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών και Γραμμάτων ανακοίνωσε ότι το Βραβείο Άμπελ 2024, γνωστό και ως Νόμπελ των Μαθηματικών, απονέμεται στον Γάλλο μαθηματικό Michel Talagrand «για την πρωτοποριακή συνεισφορά του στη θεωρία πιθανοτήτων και την συναρτησιακή ανάλυση, και τις εξαιρετικές εφαρμογές στη μαθηματική φυσική και τη στατιστική».Στους φυσικούς είναι γνωστός κυρίως από το βιβλίο του ‘What Is a Quantum Field Theory?‘ και για τις εργασίες του σχετικά με τα υαλώδη σπιν (τα οποία ήταν ένας από τους λόγους που ο Giorgio Parisi βραβεύθηκε με το Νόμπελ Φυσικής 2021).

 

 

 

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες ΕΔΩ: https://abelprize.no/abel-prize-laureates/2024 και ΕΔΩ: https://www.cnrs.fr/fr/presse/prix-abel-2024-au-mathematicien-michel-talagrand-qui-effectue-sa-carriere-au-cnrs