Περί Μαθηματικών.

[Δροσος Γεωργιος]

Terence Τao: Γιατί οι μαθηματικοί πρέπει μαθαίνουν φυσική.

Μπορεί η Τεχνητή Νοημοσύνη να μας βοηθήσει να λύσουμε τα πιο δύσκολα προβλήματα στα Μαθηματικά;

Κάθε φορά που πληκτρολογείς έναν κωδικό πρόσβασης, αγοράζεις κάτι στο διαδίκτυο ή στέλνεις ένα κρυπτογραφημένο μήνυμα, βασίζεσαι σε μια υπόθεση για τους πρώτους αριθμούς: ότι δεν κρύβουν κάποια προβλέψιμη κανονικότητα. Η σύγχρονη κρυπτογραφία εξαρτάται από τους πρώτους αριθμούς που συμπεριφέρονται «αρκετά τυχαία», ωστόσο πολλά θεμελιώδη ερωτήματα σχετικά με τους πρώτους παραμένουν αναπόδεικτα.Στο βίντεο που ακολουθεί, ο Dr Brian Keating συνομιλεί με τον μαθηματικό Terence Tao που έχει βραβευθεί με το μετάλλιο Fields. Συζητούν τι μπορούν να αποδείξουν οι μαθηματικοί, τι υποψιάζονται και τι θα μπορούσε να αλλάξει αν εμφανιζόταν μια απρόσμενη δομή στους πρώτους αριθμούς. Αναλύουν την ψευδοτυχαιότητα και γιατί έχει σημασία στην κρυπτογράφηση, την εικασία των δίδυμων πρώτων, καθώς και το πώς η κβαντική υπολογιστική αναδιαμορφώνει τα όρια του εφικτού στον υπολογισμό και την ασφάλεια.
Ασχολούνται επίσης με την Τεχνητή Νοημοσύνη και τα μαθηματικά: γιατί τα μεγάλα γλωσσικά μοντέλα μπορεί να ακούγονται πειστικά ακόμη και όταν είναι αναξιόπιστα, πώς η ΤΝ μπορεί να βοηθήσει στη δημιουργία ιδεών και στην εύρεση της βιβλιογραφίας, και γιατί οι βοηθοί επαλήθευσης και απόδειξης θα έχουν σημασία για την πραγματική μαθηματική πρόοδο.
Ο Tao εξηγεί τεχνικές απόδειξης όπως η εις άτοπον απαγωγή, το γιατί οι μιγαδικοί αριθμοί και η τετραγωνική ρίζα του μείον ένα είναι τόσο σημαντικά και το πώς η γεωμετρία πολλών διαστάσεων ξεπερνά την διαίσθησή μας. Δίνει ένα πραγματικό παράδειγμα για το πώς οι μαθηματικές ανακαλύψεις μεταφράζονται σε τεχνολογία: την συμπιεσμένη δειγματοληψία (compressed sensing), η οποία έχει επιτρέψει πολύ ταχύτερες σαρώσεις μαγνητικής τομογραφίας, ανακατασκευάζοντας εικόνες από πολύ λιγότερα δεδομένα.
Μεταξύ άλλων στο 00:59:47 ο Terry Τao εξηγεί γιατί «πρέπει οι μαθηματικοί να μαθαίνουν φυσική»:

 

00:00:00 Passwords, primes, and why randomness protects your digital life 00:00:58 Coffee, Erdős, and the inside jokes 00:01:28 Tao meets Paul Erdős at age 10 00:02:21 Erdős number and the Erdős–Bacon number 00:03:19 Erdős, amphetamines, and productivity lore 00:04:07 Tao explains the Erdős discrepancy problem 00:06:31 Why discrepancy must diverge 00:06:44 Randomness, human bias, and cheating detection 00:07:06 Benford’s law and why fake data looks too uniform 00:08:14 Induction pitfalls, minimal surfaces, and dimension surprises 00:10:26 Mathematical induction as dominoes 00:11:36 High-dimensional geometry and why balls stop filling space 00:13:45 Proof styles and why contradiction is powerful 00:14:38 Proof by contradiction explained with a playground example 00:16:42 Why square roots and i show up everywhere in physics 00:18:03 Why complex numbers are the “natural” 2D upgrade 00:21:01 Transcendentals and why 1 stopped being prime 00:23:05 Twin primes and what we still can’t prove 00:25:03 Pseudorandomness, determinism, and cryptography assumptions 00:27:00 Quantum computers: powerful and restricted 00:29:12 Complexity theory: truth vs computability 00:31:11 AI in math: strengths, hallucinations, and verification 00:35:04 Neural nets finding hidden correlations in math 00:38:00 Why LLM mechanics are simple but performance prediction is hard 00:41:07 Is math a language or something more? 00:43:21 Is math invented or discovered? Tao’s answer 00:44:18 Teaching in the AI era: verification and critique 00:47:12 Can AI police itself? Reliability through verification workflows 00:48:54 Tao’s current focus: modernizing mathematics and funding 00:50:20 Fame, ego, and why proofs keep you honest 00:52:04 Do mathematicians peak at 30? Wisdom vs speed 00:54:18 Should mathematicians learn physics? Intuition across fields 00:57:11 Galileo’s mathematical compass and computation before calculators 00:59:47 Currency exchange as a gauge theory metaphor 01:03:01 String theory: elegance, flexibility, and evidence 01:04:33 Gödel vs physics: models you can prove vs worlds you test 01:06:47 Compressed sensing: math breakthrough to faster MRIs 01:09:25 Why basic math research pays off in engineering 01:11:09 Outro

O Paul Erdős, αριστερά, και ο Terence Tao σε ηλικία 10 ετών συζητούν μαθηματικά προβλήματα το 1985.

[Δροσος Γεωργιος]

Έτσι λύθηκε ο τρομερός γεωμετρικός γρίφος που έγινε viral από «Τα Φιλαράκια»

Πρόκειται για ένα πρόβλημα που πονοκεφαλιάζει την μαθηματική κοινότητα πάνω από μισό αιώνα.

Ένας Κορεάτης μαθηματικός έλυσε έναν από τους πιο επίμονους γρίφους της γεωμετρίας που αποτέλεσε μια από τις πιο εμβληματικές σκηνές στη διάσημη κωμική σειρά «Τα Φιλαράκια». Η λύση δίνει τέλος σε ένα πρόβλημα που απασχολούσε τους ερευνητές για σχεδόν 60 χρόνια και κερδίζοντας παγκόσμια αναγνώριση για μια απόδειξη που επιτεύχθηκε χωρίς τη βοήθεια υπολογιστών.Ο Δρ. Μπάεκ Τζιν Εον 31 ετών συνεργάτης στο Korea Institute for Advanced Study απέδειξε ότι κανένα σχήμα μεγαλύτερο από έναν σχεδιασμό που είχε προταθεί στο παρελθόν δεν μπορεί να μετακινηθεί μέσα από έναν διάδρομο ορθής γωνίας σταθερού πλάτους επιλύοντας το λεγόμενο πρόβλημα του κινούμενου καναπέ το οποίο διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1966.Το πρόβλημα θέτει ένα φαινομενικά απλό ερώτημα ποιο είναι το δισδιάστατο σχήμα με το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν που μπορεί να μεταφερθεί μέσα από έναν διάδρομο σε σχήμα L με πλάτος ένα. Αν και είναι εύκολο να το φανταστεί κανείς αντιστάθηκε σε αποδείξεις επί δεκαετίες. Το 1992 ο μαθηματικός Τζόζεφ Γκέρβερ πρότεινε ένα πολύπλοκο καμπύλο σχήμα γνωστό ως καναπές του Γκέρβερ ως πιθανή λύση. Ωστόσο κανείς δεν είχε καταφέρει να αποδείξει ότι δεν θα μπορούσε να υπάρχει ένα μεγαλύτερο σχήμα.Ύστερα από επτά χρόνια εργασίας ο Δρ. Μπάεκ έδειξε ότι ο σχεδιασμός του Γκέρβερ είναι πράγματι βέλτιστος. Δημοσίευσε την απόδειξη 119 σελίδων στο αρχείο διαδικτυακών προδημοσιεύσεων arXiv καταλήγοντας στο συμπέρασμα ότι «δεν μπορεί να υπάρξει καναπές μεγαλύτερος από τον καναπέ του Γκέρβερ». Σε αντίθεση με πολλές προηγούμενες προσπάθειες το έργο του δρ Μπαεκ βασίστηκε αποκλειστικά σε λογικό συλλογισμό και όχι σε εκτεταμένες υπολογιστικές προσομοιώσεις.Περιγράφοντας τη μακρά ερευνητική διαδικασία ο Μπαεκ παρομοίασε τη δουλειά του με το να χτίζει και να εγκαταλείπει επανειλημμένα ιδέες. «Συνεχίζεις να κρατιέσαι από την ελπίδα μετά τη διαλύεις και προχωράς μαζεύοντας ιδέες από τις στάχτες» είπε σε συνέντευξή του. «Είμαι από τη φύση μου περισσότερο ονειροπόλος και για μένα η μαθηματική έρευνα είναι μια επανάληψη ονείρων και αφύπνισης».Η έρευνα έχει έκτοτε ανακηρυχθεί από το Scientific American ως μία από τις «Δέκα κορυφαίες μαθηματικές ανακαλύψεις του 2025» μια συντακτική επιλογή που αναδεικνύει σημαντικές τομές στον κλάδο. Το περιοδικό σημείωσε ότι «ενώ πολλοί ερευνητές έχουν βασιστεί σε εκτεταμένες υπολογιστικές προσομοιώσεις για να υπολογίσουν το μέγιστο μέγεθος του καναπέ είναι εντυπωσιακό το γεγονός ότι η τελική λύση του Μπαεκ Τζιν Εον δεν εξαρτάται καθόλου από υπολογιστές».Η απόδειξη του Δρ. Μπαεκ βρίσκεται αυτή τη στιγμή υπό αξιολόγηση από επιστήμονες επιθεώρηση Annals of Mathematics ένα από τα πιο έγκριτα περιοδικά του κλάδου. Αν και η διαδικασία αξιολόγησης συνεχίζεται η εμπιστοσύνη στο αποτέλεσμα είναι υψηλή μέσα στη μαθηματική κοινότητα.

Η περιστροφή

Το πρόβλημα του κινούμενου καναπέ κατέχει εδώ και καιρό θέση τόσο στη λαϊκή κουλτούρα όσο και στην ακαδημαϊκή κοινότητα με πιο γνωστή αναφορά την αμερικανική σειρά Friends όπου οι πρωταγωνιστές δυσκολεύονται να μεταφέρουν έναν καναπέ σε ένα κτίριο από την σκάλα.Το Scientific American αστειεύτηκε ότι «για να εξηγηθεί το Pivot (περιστροφή) που φωνάζει ο Ρος Γκέλερ στη σκηνή απαιτήθηκε μια εργασία 119 σελίδων». Η σκηνή αυτή έχει αναδειχθεί σε μια από τις πιο αστείες και χαρακτηριστικές της σειράς που 20 χρόνια μετά το τέλος της εξακολουθεί να αποτελεί ορόσημο στην ιστορία της μικρής οθόνης. Μάλιστα η σκηνή δεν ήταν εύκολο να γυριστεί επειδή οι πρωταγωνιστές δεν μπορούσαν να σταματήσουν να γελούν κατά τη διάρκεια της και σταματούσε το γύρισμα.

 

Ο Δρ. Μπάεκ άρχισε να εργάζεται πάνω στο πρόβλημα ενώ υπηρετούσε ως ερευνητικός ειδικός κατά τη διάρκεια της υποχρεωτικής στρατιωτικής του θητείας και συνέχισε κατά τη διάρκεια των διδακτορικών του σπουδών στις ΗΠΑ και αργότερα ως μεταδιδακτορικός ερευνητής στη Νότια Κορέα.Πέρυσι επιλέχθηκε για το πρόγραμμα υποτροφιών June E Huh Fellow το οποίο υποστηρίζει μαθηματικούς κάτω των 39 ετών για έως και μία δεκαετία. Σήμερα συνεχίζει να εργάζεται πάνω σε προβλήματα βελτιστοποίησης και προκλήσεις στη συνδυαστική γεωμετρία.

https://www.naftemporiki.gr/techscience/2055214/etsi-lythike-o-tromeros-geometrikos-grifos-poy-egine-viral-apo-ta-filarakia/

[Δροσος Γεωργιος]

314 τρισεκατομμύρια ψηφία του π.

Σήμερα, 14 Μαρτίου 2026, παγκόσμια ημέρα του αριθμού π (Pi Day), έγινε γνωστό ένα εντυπωσιακό νέο παγκόσμιο ρεκόρ. Το εργαστήριο StorageReview κατάφερε να υπολογίσει 314 τρισεκατομμύρια ψηφία του αριθμού π, σπάζοντας το προηγούμενο ρεκόρ των 300 τρισεκατομμυρίων ψηφίων (από Kioxia και Linus Media Group) τον Μάιο του 2025.Χρησιμοποιήθηκε ένας ειδικά διαμορφωμένος διακομιστής (Dell PowerEdge R7725 με 2 επεξεργαστές AMD EPYC 192 πυρήνων) και δεκάδες εξαιρετικά γρήγοροι δίσκοι SSD. Ο υπολογισμός διήρκησε περίπου 110 ημέρες συνεχούς λειτουργίας. Ο αριθμός των 314 τρισεκατομμυρίων ψηφίων του π (=3,14…) προφανώς δεν επιλέχθηκε τυχαία.Η Backblaze και το StorageReview συνεργάστηκαν για να κάνουν τον υπολογισμό-παγκόσμιο ρεκόρ των τρισεκατομμυρίων ψηφίων του π διαθέσιμο στο ευρύ κοινό. Μπορείτε να αποκτήσετε πρόσβαση στον αριθμό π μέχρι και το 314-τρισεκατομμυριοστό ψηφίο του ΕΔΩ: https://www.backblaze.com/contact-sales/pi-day. Αν τα τυπώσετε σε ένα βιβλίο με γραμματοσειρά μεγέθους 6pt, θα χρειαστείτε πάνω από 5 δισεκατομμύρια σελίδες, καθώς το τελικό ψηφιακό αρχείο ξεπερνά σε μέγεθος τα 130 Terabytes!!

πηγή: https://www.storagereview.com/review/after-the-pi-record-serving-a-130-tb-dataset-with-backblaze-b2

[Δροσος Γεωργιος]

Το πιο σημαντικό μάθημα μαθηματικών του 21ου αιώνα βρίσκεται ένα κλικ μακριά μας.

Ένας καθηγητής του MIT δίδασκε το ίδιο μάθημα μαθηματικών για 62 χρόνια, και την ημέρα που συνταξιοδοτήθηκε, φοιτητές από κάθε χώρα της γης εμφανίστηκαν διαδικτυακά για να παρακολουθήσουν την τελευταία του διάλεξη. Το όνομά του είναι Gilbert Strang και το μάθημα είναι η Γραμμική Άλγεβρα (MIT 18.06). Γεννημένος το 1934 και κάτοχος διδακτορικού από το UCLA, ο Strang δεν ήταν απλώς ένας λαμπρός μαθηματικός. Ήταν ένας δάσκαλος με όλη τη σημασία της λέξης.Eιδικοί στη μηχανική μάθηση, επιστήμονες δεδομένων, αναλυτές ποσοτικών μοντέλων, αυτοδίδακτοι προγραμματιστές που κατανοούν πραγματικά πώς λειτουργεί η Τεχνητή Νοημοσύνη, έμαθαν τα μαθηματικά από αυτόν τον άνθρωπο. Οι περισσότεροι από αυτούς δεν πάτησαν ποτέ το πόδι τους στην πανεπιστημιούπολη του MIT. Απλώς άνοιξαν μια δωρεάν playlist στο YouTube και τον άφησαν να τους διδάξει.Ο Strang εντάχθηκε στο μαθηματικό τμήμα του MIT το 1962. Συνταξιοδοτήθηκε το 2023. Επί 61 χρόνια στεκόταν στον ίδιο μαυροπίνακα διδάσκοντας το ίδιο αντικείμενο σε 18χρονους.Όταν το 2002 στο MIT ξεκίνησε το OpenCourseWare, οι περισσότεροι καθηγητές ήταν σκεπτικοί. Ανησυχούσαν ότι βάζοντας τις διαλέξεις τους στο διαδίκτυο, θα έκαναν τις αίθουσές τους περιττές. Ο Strang δεν δίστασε. Είπε ότι η αποστολή της ζωής του ήταν να ανοίξει τα μαθηματικά σε φοιτητές παντού. Βιντεοσκόπησε κάθε διάλεξη και την πρόσφερε δωρεάν. Η απόφαση αυτή άλλαξε αθόρυβα τον τρόπο με τον οποίο ο κόσμος μαθαίνει μαθηματικά.Για δεκαετίες η γραμμική άλγεβρα διδασκόταν με τον λάθος τρόπο. Οι καθηγητές ξεκινούσαν με αφηρημένους διανυσματικούς χώρους και αποδείξεις για τα αξιώματα πεδίων. Οι φοιτητές πνίγονταν στην αφαίρεση. Οι περισσότεροι τα παρατούσαν. Έφευγαν πιστεύοντας ότι ήταν κακοί στα μαθηματικά, ενώ απλώς είχαν διδαχθεί με μια σειρά που κανενός ο εγκέφαλος δεν είναι φτιαγμένος να αφομοιώσει. Ο Strang αντέστρεψε ολόκληρο το πρόγραμμα σπουδών. Ξεκίνησε με τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Κάτι που μπορείς να γράψεις στο χαρτί. Κάτι που μπορείς να υπολογίσεις με το χέρι. Κάτι που μπορείς να δεις. Στη συνέχεια, έδειξε στους φοιτητές του ότι όλα τα υπόλοιπα στην γραμμική άλγεβρα – τα ιδιοδιανύσματα, η ορθογωνιότητα, η ιδιάζουσα παραγοντοποίηση πίνακα, οι τέσσερις θεμελιώδεις υπόχωροι – ήταν απλώς ένας διαφορετικός φακός για να κατανοήσεις τι πραγματικά έκανε ο πίνακας στο παρασκήνιο.Ο κανόνας του ήταν αυστηρός. Αν ένας φοιτητής δεν μπορούσε να εξηγήσει μια έννοια χρησιμοποιώντας ένα συγκεκριμένο παράδειγμα (έναν πίνακα 3×3), τότε ο φοιτητής αυτός δεν είχε κατανοήσει πραγματικά την έννοια. Η αφαίρεση έπρεπε να έρχεται τελευταία, όχι πρώτη. Η διαίσθηση ήταν το θεμέλιο. Οι αποδείξεις ήταν απλώς η επιβεβαίωση ότι η διαίσθηση ήταν σωστή.Το δεύτερο χαρακτηριστικό του Strang ότι στην τάξη του έλεγε «παρακαλώ» και «ευχαριστώ» στους μαθητές του. Σε κάθε διάλεξη. Σταματούσε στη μέση μιας παραγωγής μαθηματικού τύπου για να ρωτήσει «τα λέω καλά;» για να ελέγξει αν είχε χαθεί κανείς. Ποτέ δεν χρησιμοποίησε τη λέξη «προφανώς» ή «τετριμμένα», επειδή ήξερε ακριβώς τι κάνουν αυτές οι λέξεις σε έναν φοιτητή που βρίσκεται ένα βήμα πίσω. Αντιμετώπιζε 19χρονους που μάθαιναν μαθηματικά για πρώτη φορά με τον ίδιο τρόπο που αντιμετώπιζε τους συναδέλφους του. Με υπομονή. Με σεβασμό. Με την παραδοχή ότι η θέση τους ήταν μέσα σε αυτή την αίθουσα. Για 62 χρόνια.Το αποτέλεσμα είναι κάτι που δεν έχει συμβεί ποτέ στην ιστορία της εκπαίδευσης. Ένας μόνο καθηγητής μαθηματικών έγινε ο βασικός δάσκαλος του αντικειμένου του για ολόκληρο τον πλανήτη. Πανεπιστήμια στην Ινδία, την Κίνα, τη Βραζιλία, τη Νιγηρία, σε κάθε χώρα με τμήμα επιστήμης υπολογιστών, άρχισαν να λένε στους δικούς τους φοιτητές απλώς να παρακολουθούν τις διαλέξεις του Strang. Το Πανεπιστήμιο του Ιλινόις αναθεώρησε το μάθημα της γραμμικής άλγεβρας ώστε να μην έχει σχεδόν καμία δια ζώσης διάλεξη. Ο λόγος ήταν ειλικρινής. Ο καθηγητής είπε ότι δεν μπορούσαν να ανταγωνιστούν τα βίντεο.Η τελευταία του διάλεξη έγινε τον Μάιο του 2023. Το αμφιθέατρο ήταν γεμάτο με φοιτητές που δεν τον είχαν γνωρίσει ποτέ πριν. Περπάτησε μέχρι τον μαυροπίνακα, δίδαξε για μια ώρα, και στο τέλος ολόκληρη η αίθουσα σηκώθηκε όρθια και χειροκρότησε. Για μια στιγμή φάνηκε μπερδεμένος, σαν να μην καταλάβαινε ειλικρινά γιατί τον επευφημούσαν. Μετά χαμογέλασε, τους χαιρέτησε με το χέρι του και βγήκε έξω.Το γραπτό του σχόλιο κάτω από το βίντεο της τελευταίας διάλεξης στο YouTube αποτελούνταν από δυο προτάσεις. Είπε ότι η διδασκαλία ήταν μια υπέροχη ζωή. Είπε ότι ήταν ευγνώμων σε όλους όσους είδαν την σημασία της γραμμικής άλγεβρας. Αυτό ήταν όλο. Κανένας αποχαιρετιστήριος λόγος. Καμία προσπάθεια διαχείρισης της υστεροφημίας του. Ο άνθρωπος του οποίου η διδασκαλία αποτελεί το θεμέλιο της σύγχρονης Τεχνητής Νοημοσύνης, απλά ευχαρίστησε το κοινό και πήγε σπίτι του.

 

Ο πυρήνας της επανάστασης της Τεχνητής Νοημοσύνης στηρίζεται πάνω σε μαθηματικά που εκατομμύρια άνθρωποι έμαθαν δωρεάν από έναν χαμηλού προφίλ καθηγητή στο Cambridge. Το μάθημα βρίσκεται ακόμα στο MIT OpenCourseWare. Κάθε διάλεξη, κάθε σετ ασκήσεων, κάθε εξέταση, κάθε λύση. Δωρεάν. Το πιο σημαντικό μάθημα μαθηματικών του 21ου αιώνα βρίσκεται ένα κλικ μακριά μας. Αλλά οι περισσότεροι άνθρωποι δεν θα κάνουν ποτέ αυτό το κλικ.

πηγή: https://x.com/physicsgg/status/2048148198904988084

[Δροσος Γεωργιος]

Το μεγαλύτερο μέχρι σήμερα επίτευγμα της Τεχνητής Νοημοσύνης στα Μαθηματικά.

Για σχεδόν 80 χρόνια, οι μαθηματικοί μελετούν ένα φαινομενικά απλό ερώτημα: Αν τοποθετήσουμε οποιονδήποτε αριθμό κουκκίδων σε μια επίπεδη επιφάνεια, ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός αριθμός ζευγών που θα μπορούσαν να απέχουν μεταξύ τους μια συγκεκριμένη μοναδιαία απόσταση (π.χ. 1 εκατοστό). Το ερώτημα διατυπώθηκε το 1946 από τον Paul Erdos, έναν από τους σημαντικότερους μαθηματικούς του 20ού αιώνα.Για παράδειγμα, αν διαθέτουμε n=3 κουκκίδες, μπορούμε να τις τοποθετήσουμε στις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου ώστε να σχηματίζονται u(3)=3 ζεύγη που απέχουν μοναδιαία απόσταση. Αν έχουμε n=4 κουκκίδες, τότε η καλύτερη διευθέτηση είναι όπως στο παρακάτω σχήμα, όπου προκύπτουν u(4)=5 τέτοια ζεύγη, ενώ αν διαθέτουμε n=5 κουκκίδες, στην καλύτερη διευθέτηση επιτυγχάνονται u(5)=7 ζεύγη, κ.ο.κ.Βέβαια, καθώς αυξάνεται ο αριθμός των κουκκίδων τα σχήματα (στα οποία ζητείται να απέχουν μεταξύ τους μοναδιαία απόσταση όσο το δυνατόν περισσότερα ζεύγη), ξεφεύγουν από την παραπάνω συμμετρία και γίνονται όλο και πιο περίπλοκα.Ο Erdos υπέθεσε ένα συγκεκριμένο, δισδιάστατο πλέγμα ως την απόλυτα καλύτερη διάταξη που απαντά στο ερώτημα. Οι μαθηματικοί συμφωνούσαν με την εικασία του Erdos, θεωρώντας ότι ο μέγιστος αριθμός u(n) των ζευγών που ισαπέχουν, διαθέτει ένα κάτω και ένα πάνω όριο σύμφωνα με την εξής ανισότητα: . Και καθώς το n γίνεται όλοένα και μεγαλύτερο, το  στην ουσία τείνει στο μηδέν .

Τι πέτυχε η Τεχνητή Νοημοσύνη

Επί 80 χρόνια, κανένας μαθηματικός δεν μπόρεσε να βρει μια καλύτερη διάταξη, αλλά ούτε και να αποδείξει μαθηματικά ότι ο Erdos είχε όντως δίκιο. Όμως οι περισσότεροι θεωρούσαν δεδομένο ότι η εικασία του ήταν σωστή.Πριν από μερικές ημέρες ανακοινώθηκε ότι το μοντέλο τεχνητής νοημοσύνης της OpenAI διέψευσε τον Erdοs, ανακαλύπτοντας μια νέα κλάση κατασκευών. Αντί να προσπαθήσει να βελτιώσει τα δισδιάστατα πλέγματα, η Τεχνητή Νοημοσύνη έκανε το εξής: Κατασκεύασε ένα εξαιρετικά πολύπλοκο πλέγμα σε πολυδιάστατο χώρο, όπου ειδικές μαθηματικές συμμετρίες επέτρεψαν τη δημιουργία πολύ περισσότερων ζευγών στη ζητούμενη απόσταση. Στη συνέχεια, βρήκε έναν μαθηματικό τρόπο να προβάλει αυτό το πολυδιάστατο σχήμα πίσω στις δύο διαστάσεις. Η τελική διάταξη είναι τόσο περίπλοκη που είναι αδύνατον να σχεδιαστεί με το χέρι.Eκείνο που κατάφερε η Τεχνητή Νοημοσύνη τελικά ήταν να ανεβάσει το κάτω όριο ώστε: . Έτσι, ενώ η εικασία του Erdos έλεγε ότι «δεν μπορεί στο κάτω όριο, , να υπάρχει σταθερός εκθέτης μεγαλύτερος από το 1″, ο υπολογισμός της Τεχνητής Νοημοσύνης έδειξε ότι αυτό δεν ισχύει, αφού μπορεί να πάρει την τιμή 1,014, καταρρίπτοντας έτσι οριστικά την ιστορική εικασία.Το αποτέλεσμα αυτό είναι η πρώτη απόδειξη Τεχνητής Νοημοσύνης που πιθανότατα θα δημοσιευόταν σε κορυφαίο μαθηματικό περιοδικό, αν είχε επιτευχθεί αποκλειστικά από ανθρώπους. Οι μαθηματικοί χαρακτήρισαν τη μέθοδο της τεχνητής νοημοσύνης «έξυπνη» και «κομψή».«Καμία προηγούμενη απόδειξη που έχει δημιουργηθεί από ΤΝ δεν έχει πλησιάσει» στο να ικανοποιεί αυτά τα υψηλά πρότυπα, έγραψε ο Timothy Gowers, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ, σε σχόλιο που ζητήθηκε από την OpenAI.
«Αυτό είναι το μοναδικό ενδιαφέρον αποτέλεσμα που έχει παραχθεί αυτόνομα από την ΤΝ μέχρι στιγμής», λέει ο Daniel Litt, μαθηματικός στο Πανεπιστήμιο του Τορόντο, ο οποίος κλήθηκε από την OpenAI να επαληθεύσει την απόδειξη, χωρίς να έχει σχέση με την εταιρεία.

 

Το μέλλον εξακολουθεί να εξαρτάται από τον άνθρωπο

Ωστόσο, η ΤΝ δεν απέδειξε ότι η προσέγγισή της είναι η καλύτερη που μπορεί να επιτευχθεί. Μάλιστα, ο μαθηματικός Will Sawin έχει ήδη βελτιώσει το πλέγμα της ΤΝ [An explicit lower bound for the unit distance problem].Αρκετοί από τους ειδικούς που συμβουλεύτηκε η OpenAI σημείωσαν ότι, αν και το πρόβλημα ήταν ευρέως γνωστό, μια απόδειξη ότι ο Erdős είχε δίκιο θα ήταν μαθηματικά πολύ πιο πλούσια από ένα αντιπαράδειγμα. «Το μοντέλο της ΤΝ δεν εφηύρε κάτι ριζικά νέο που κανείς δεν είχε προβλέψει», λέει ο Sébastien Bubeck, μαθηματικός που ηγείται των μαθηματικών ερευνών της OpenAI. «Απλώς εκτέλεσε [το πρόβλημα] σαν ένας εκπληκτικός μαθηματικός».Οι ειδικοί έσπευσαν επίσης να προσθέσουν ότι, χωρίς την παρέμβαση των ανθρώπων για να «συμμαζέψουν» τη δουλειά της ΤΝ, το αποτέλεσμα δεν θα ήταν τόσο πειστικό. «Ο άνθρωπος εξακολουθεί να διαδραματίζει ζωτικό ρόλο στην συζήτηση, την κατανόηση και τη βελτίωση αυτής της απόδειξης, καθώς και στη διερεύνηση των συνεπειών της», έγραψε ο μαθηματικός Thomas Bloom.Η μαθηματικός του Πανεπιστημίου Χάρβαρντ, Melanie Matchett Wood, λέει ότι η πρόοδος των ανθρώπων πιθανότατα περιοριζόταν από την πεποίθησή τους ότι η εικασία ήταν αληθής. Αν όλοι οι ειδικοί είχαν αφιερώσει τον ίδιο χρόνο αναζητώντας ένα αντιπαράδειγμα, λέει, θα το είχαν βρει.Αυτό είναι εύλογο διότι η λύση της ΤΝ ήταν, εκ των υστέρων, μια άμεση προσέγγιση που κανένας άνθρωπος δεν είχε προσπαθήσει ποτέ, παρόλο που τα εργαλεία υπήρχαν ήδη. Πραγματικά νέες, πρωτοποριακές ιδέες παραμένουν πέρα από τις δυνατότητες της σημερινής ΤΝ, αφήνοντας αντ’ αυτού τις μηχανές να ερευνήσουν τη βιβλιογραφία για σπάνια «διαμάντια», όπου οι άνθρωποι αγνόησαν μια σχετικά απλή προσέγγιση. Ακόμα κι έτσι, ο Litt προσθέτει, «η μαντεψιά μου είναι ότι σύντομα θα διαπιστώσουμε πως τελικά δεν είναι και τόσο σπάνια».Τέλος, η Wood προειδοποιεί για τα λιγότερο επιθυμητά χαρακτηριστικά της ΤΝ: Η ΤΝ τείνει να παρουσιάζει κάθε ιδέα ως δική της. «Αναγνωρίσαμε ότι υπήρχαν πολύ παρόμοιες ιδέες στη βιβλιογραφία που δεν έλαβαν την ανάλογη αναφορά», λέει η Wood. «Αν ένας άνθρωπος το έκανε αυτό, θα αποτελούσε επαγγελματικό παράπτωμα». Η μαθηματική κοινότητα πρέπει επειγόντως να αποφασίσει πώς θα χειριστεί την μη τήρηση των ακαδημαϊκών κανόνων από την ΤΝ, διότι τα πράγματα αλλάζουν γρήγορα. «Κάθε μαθηματικός που δεν χρησιμοποιεί τα τελευταία μοντέλα θα πρέπει να εκπλαγεί», καταλήγει η Wood. «Είναι ένας εντελώς διαφορετικός κόσμος σε σχέση με τον Δεκέμβριο του περασμένου έτους».Το εν λόγω αποτέλεσμα δείχνει μια νέα μορφή συνεργασίας μεταξύ ΤΝ και μαθηματικών. Δεν λύνει μόνο ένα πρόβλημα, αλλά δημιουργεί νέες συνδέσεις μεταξύ πεδίων. Όπως γράφει ο Thomas Bloom: «Υπάρχουν πολύ περισσότερα που έχουν να πουν οι αριθμοθεωρητικές κατασκευές για τέτοια προβλήματα από ό,τι νομίζαμε…»Το μήνυμα είναι ευρύτερο: η καλύτερη μαθηματική σκέψη κάνει την TN ισχυρό συνεργάτη στην έρευνα. Μπορεί να συνδέει έννοιες, να εξερευνά πολύπλοκες ιδέες και να βοηθά στην επίλυση δύσκολων προβλημάτων. Αυτό δεν αφορά μόνο τα μαθηματικά αλλά και πεδία όπως η βιολογία, η φυσική, η μηχανική και η ιατρική. Το μέλλον εξακολουθεί να εξαρτάται από τον άνθρωπο: οι ειδικοί επιλέγουν τα σημαντικά προβλήματα, ερμηνεύουν τα αποτελέσματα και αποφασίζουν τα επόμενα βήματα.

Το πρόβλημα της «μοναδιαίας απόστασης» (unit distance) είναι απλό στην εξήγησή του, αλλά τρομερά δύσκολο στην επίλυσή του.

Μια κατασκευή μοναδιαίων αποστάσεων σε τετραγωνικό πλέγμα πολλών κουκκίδων. Για να βγάλετε κάποια άκρη με το παραπάνω σχήμα: αν θεωρήστε π.χ. την κάτω αριστερή γωνία ως αρχή των αξόνων (0,0), τότε η μοναδιαία απόσταση (με την οποία θέλουμε να ισαπέχουν οι περισσότερες κουκκίδες, όχι δυο διαδοχικές) ισούται με την απόσταση των κουκκίδων (8,1) ή (1,8) ή (4,7) και (7,4) από την αρχή (0,0).

διαβάστε περισσότερες λεπτομέρειες:
1. OpenAI announces AI’s biggest math breakthrough yet – https://www.scientificamerican.com/article/ai-just-solved-an-80-year-old-erdos-problem-and-mathematicians-are-amazed/
2. An OpenAI model has disproved a central conjecture in discrete geometry – https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/
3. REMARKS ON THE DISPROOF OF THE UNIT DISTANCE CONJECTURE – https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf